Тема форума: «Про математику»

а давайте не переводить стрелки обсуждения вопроса, заданного Синь на вопросы о полезности математики или философии :)

corowew, прежде чем предъявлять претензии и давать советы стоило бы сначала самому разобраться о чем речь. Вопрос задал не я, а Синь. Я этот вопрос уточнил и с этим уточнением Синь согласился что да, он как раз об этом и спрашивал. Не нужно флудить, если трудно понять, в этом состоит элементарная этика обсуждений.

>>Я не предъявлять претензии и не даю советы.

ага, ладно, я закрою глаза на написанное тобой :)

Нет, на таком уровне непонимания я не берусь продолжать обсуждение в этой теме и, пожалуй, свалю :) Тем более, что зачинщик Синь молчит :)

А чтобы непонимающие меня лучше поняли хотя бы контекст, скажу только, что в пользе математики и философии не сомневаюсь, в пользе LUCA на этом сайте - тоже. Вопрос Синя был совсем не об этом...

>>> Я так понял Синь задал вопрос о ток каким это образом теоретические вычисления связанны с реальным миром?

Вопрос был о том насколько математика вплетена в реальность.

Я сейчас читаю Пенроуза, а до этого читал Грина, и заметно, что оба автора крайне уважительно относятся к математике, возлагая на неё большие надежды.

Мне кажется, что у Дэвида Дойча хорошо получилось выразить суть ожиданий Пенроуза (и, возможно, Грина):

http://www.termoreactor.ru/01_210.html

В любом случае Пенроуз надеется на новую фундаментальную те­орию физики, которая заменит как квантовую теорию, так и общую теорию относительности. Она давала бы новые предсказания, которые можно проверить, хотя она, безусловно, не противоречила бы ни кван­товой теории, ни теории относительности во всех существующих на­блюдениях. (Не существует известных экспериментальных примеров, опровергающих такие теории). Однако мир Пенроуза по своей сути весьма отличен от того, что описывает существующая физика. Его ос­новной структурой реальности является то, что мы называем миром математических абстракций. В этом отношении Пенроуз, реальность которого включает все математические абстракции, но, вероятно, не все абстракции (подобные чести и справедливости), находится где-то между Платоном и Пифагором. То, что мы называем физическим ми­ром, является для него вполне реальным (еще одно отличие от Пла­тона), но каким-то образом это является частью самой математики, или вытекает из нее. Более того, в его мире не существует универ­сальности; в частности, не существует машины, способной передать все возможные мыслительные процессы людей. Однако мир (конечно, в особенности его математическое основание), тем не менее, остает­ся постижимым. Его постижимость гарантирована не универсальнос­тью вычислений, а явлением, достаточно новым для физики (хотя и не для Платона): математические категории напрямую взаимодействуют с человеческим мозгом через физические процессы, которые еще пред­стоит открыть. Таким образом, мозг, по Пенроузу, занимается матема­тикой, ссылаясь не только на то, что мы сейчас называем физическим миром. Он имеет прямой доступ к реальности математических Форм Платона и может постичь там математические истины (за исключени­ем грубых ошибок) с абсолютной определенностью.

Мне показалось, что Луке близка такая точка зрения.

У меня самого нет какого-то сформировавшегося мнения, как о роли математики, так и о путях развития науки и того, что она из себя представляет, я не могу с полной уверенностью говорить о том, как лучше исследовать мир и смело отбрасывать или наоборот поощрять философию, чистую математику, я пока не разобрался, интуитивно мне кажется, что разные подходы в разные моменты истории могли сыграть и могут сыграть свою положительную роль. Точка зрения nan-а мне близка, хотя у меня и не получается так здорово всё излагать, а Луку хочется понять, так как чувствую, что в его словах что-то есть, что-то цепляет...

Ещё раз процитирую:

>>> Я так понял Синь задал вопрос о ток каким это образом теоретические вычисления связанны с реальным миром?

Я такого вопроса не задавал, но вопрос интересный. Вот, например, есть проблема трёх тел (далее цитата из ВиКи):

Задача трёх тел (в астрономии) — частная задача небесной механики, состоящая в определении относительного движения трёх тел (материальных точек), взаимодействующих по закону тяготения Ньютона (например, Солнца, Земли и Луны). В общем случае не существует решения этой задачи в виде конечных аналитических выражений. Известно только 5 точных решений для специальных начальных скоростей и координат объектов.

Вопрос: не может ли отсутствие точного решения для этой задачи говорить о том, что мы используем не совсем адекватную модель для предсказания движения трёх физических объектов?

Насколько я могу судить, таким вопросом задаётся Грин, по-моему, вопрос интересный и связан с вопросом о том насколько математика вплетена в реальность. :)

>> математические истины объективны в той же степени, в какой объективны физические закономерности

Физические закономерности субъективны потому, что нигде, кроме нашего ума, они не формализованы просто потому, что истина - наша абстракция и не существует сама по себе в какой-то форме в природе (надеюсь, LUCA, все же, понятие "существую" мне удалось раскрыть в достаточной степени? :). Взаимодействия в реальном мире (для тех, кто хочет пофилософствовать о том, что мы называем реальным миром >>) не нуждаются в математических формализациях.

Однако, Пенроуз очень радикален в этом. Фраза LUCA он бы выразил так:

математические истины объективны в той же степени, в какой объективны физические процессы.

Дополню сказанное Синем выдержками из самого Пенроуза. В статье Квантовая запутанность:

Что же касается подхода Р.Пенроуза и т.п. интерпретаторов, то из его работы Penrouz.djvu постараюсь выделить то основополагающее отношение (мировоззрение), которое напрямую приводит к мистическим взглядам о нелокальности (с моими комментарниями):

Необходимо было отыскать способ, который позволил бы отделять истину от предположений в математике, — некую формальную процедуру, применив которую можно было бы с уверенностью сказать, является данное математическое утверждение истинным или нет (возражение см. Метод Аристотеля и Истина, критерии истины). Пока эта задача должным образом не разрешена, вряд ли можно всерьез надеяться на успех в решении других, значительно более сложных, задач — тех, что касаются природы движущих миром сил, какие бы взаимоотношения эти самые силы с математической истиной ни связывали. Осознание того, что ключом к пониманию Вселенной является неопровержимая математика, является, пожалуй, первым из важнейших прорывов в науке вообще. О математических истинах самого разного рода догадывались еще древние египтяне и вавилоняне, однако первый камень в фундамент математического понимания...
... людей впервые появилась возможность формулировать достоверные и заведомо неопровержимые утверждения — утверждения, истинность которых не вызывает сомнений и сегодня, несмотря на то что наука с тех времен шагнула далеко вперед. Людям впервые приоткрылась поистине вневременная природа математики.
Что же это такое — математическое доказательство? В математике доказательством называют безупречное рассуждение, использующее лишь приемы чистой логики (чистой логики не существует. Логика - аксиоматическая формализация найденных в природе закономерностей и взаимосвязей) позволяющее сделать однозначный вывод о справедливости того или иного математического утверждения на основании справедливости каких-либо других математических утверждений, либо заранее установленной аналогичным образом, либо не требующей доказательства вовсе (особые элементарные утверждения, истинность которых, по общему мнению, самоочевидна, называются аксиомами). Доказанное математическое утверждение принято называть теоремой. Вот тут я его не понимаю: есть ведь и просто высказанные, но не доказанные теоремы.
... Объективные математические понятия следует представлять как вневременные объекты; не нужно думать, будто их существование начинается в тот момент, как только они в том или ином виде возникают в человеческом воображении.
... Таким образом, математическое существование отличается не только от существования физического, но и от того существования, которым способно наделить объект наше сознательное восприятие. Тем не менее оно явно связано с двумя последними формами существования — т. е. с физическим и ментальным существованием связь - вполне физическое понятие, что имеет в виду здесь Пенроуз? — причем соответствующие связи настолько же фундаментальны, насколько и загадочны.
Рис. 1.3. Три «мира» — платоновский математический, физический и ментальный — и три связывающие их фундаментальные загадки...
... Итак, согласно изображенной на рис. 1.3 схеме, весь физический мир управляется математическими законами. В последующих главах книги мы увидим, что имеются веские (хоть и неполные) свидетельства в поддержку такой точки зрения. Если верить этим свидетельствам, то приходится признать, что все, существующее в физической Вселенной, вплоть до самых мельчайших мелочей, и в самом деле управляется точными математическими принципами — может быть, уравнениями. Тут я просто тихо балдею....
...Если это так, то и наши с вами физические действия целиком и полностью подчинены такому всеобщему математическому контролю, хотя «контроль» этот все же допускает определенную случайность в поведении, управляемую строгими вероятностными принципами.
Многие люди от таких предположений начинают чувствовать себя очень неуютно; у меня и у самого, признаться, эти мысли вызывают некоторое беспокойство.
... Возможно, в некотором смысле три мира вовсе не являются отдельными сущностями, но лишь отражают различные аспекты некоей более фундаментальной ИСТИНЫ (выделил я), описывающей мир, как целое, — истины, о которой в настоящее время мы не имеем ни малейшего понятия. - чистая мистика....
.................
Оказывается даже, что на экране имеются области, не достижимые для частиц, испускаемых источником, несмотря на тот факт, что частицы могли вполне успешно попадать в эти области, когда была открыта лишь одна из щелей! Хотя пятна появляются на экране по одному в локализованных положениях и хотя каждой встрече частицы с экраном можно сопоставить определенный акт испускания частицы источником, поведение частицы между источником и экраном, включая неоднозначность, связанную с наличием двух щелей в барьере, подобно поведению волны, при котором волна-частица при столкновении с экраном чувствует сразу обе щели. Более того (и это особенно важно для наших непосредственных целей), расстояние между полосами на экране соответствует длине волны Л нашей волны-частицы, связанной с импульсом частиц р прежней формулой ХХХХ.
Всё это вполне возможно, скажет трезвомыслящий скептик, но это еще не заставляет нас проводить такое абсурдно выглядящее отождествление энергии-импульса с каким-то оператором! Да, именно так и хочется сказать: оператор - лишь формализм для описания явления в определенных его рамках, а не тождество с явлением.
Конечно, не заставляет, но должны ли мы отворачиваться от чуда, когда оно является нам?! В чем же состоит это чудо? Чудом является то, что эта кажущаяся абсурдность экспериментального факта (волны оказываются частицами, а частицы — волнами) может быть приведена в систему с помощью красивого математического формализма, в котором импульс действительно отождествляется с «дифференцированием по координате», а энергия — с «дифференцированием по времени».
... Всё это прекрасно, но как быть с вектором состояния? Что мешает признать, что он представляет реальность? Почему физики зачастую крайне неохотно принимают такую философскую позицию? Не просто физики, а те, у кого все в порядке с целостным мировоззрением и не склонны вестись на недоопределнные рассуждения.
.... При желании можно представить себе, что волновая функция фотона выходит из источника в виде четко очерченного волнового пакета малых размеров, затем, после встречи с расщепителем луча, она делится на две части, одна из которых отражается от расщепителя, а другая проходит сквозь него, например, в перпендикулярном направлении. В обоих мы заставляли волновую функцию разделиться на две части в первом расщепителе луча... Аксиома 1: квант не делится. Человек, говорящий про половинки кванта вне его длины волны воспринимается мной с не меньшим скептицизмом, чем человек, создающий новую вселенную при каждом изменении состояния кванта. Аксиома 2: фотон не меняет траекторию, а если она изменилась, то это - переизлучение фотона электроном. Потому как квант - не упругая частица и нет ничего, от чего бы он отскочил. Почему-то во всех описаниях подобных опытов эти две вещи избегается упоминать, хотя они имеют более базовое значение, чем те эффекты, которые описываются. Не понимаю, почему так говорит Пенроуз, он же не может не знать про неделимость кванта, мало того, он упоминал это в двухщелевом описании. В подобных чудесных случаях нужно все же стараться оставаться в рамках базовых аксиом и если они вступают в какое-то противоречие с опытом, это повод более тщательно подумать о методике и интерпретации.
Давайте пока примем, хотя бы в качестве математической модели квантового мира, это курьезное описание, согласно которому квантовое состояние эволюционирует какое-то время в виде волновой функции, обычно «размазанной» по всему пространству (но с возможностью фокусировки в более ограниченной области), а затем, когда проводится измерение, это состояние превращается в нечто локализованное и вполне определенное.
Т.е. всерьез говорится о возможности размазанности чего-то на несколько световых лет с возможностью мнгновенного взаимного изменения. Такое можно представить чисто абстрактно - как сохранение формализованного описания на каждой из сторон, но никак не в виде какой-то реальной сущности, представленной природой кванта. Здесь - явная преемственность идеи о реальности существования математических формализмов.

Вот почему я воспринимаю как Пенроуза, так и других подобных промистически мыслящих физиков очень скептически, несмотря на их очень громкий авторитет...

 Вот из всего этого и возник интерес к утверждению LUCA о том насколько математика вплетена в реальность.

Да, мне тоже кажется, что LUCA близок к понимаю Пенроуза потому, что:

С одной стороны структура математического мира налагает запреты на определённые события или закономерности в физическом мире

От такого натурализма я фигею... :)