Тема форума: «Про математику»

Этот вопрос не ко мне, а к спецам по квантовой химии. Классикой предсталений являются энергетические диаграммы - зависимости высоты фиксированных энергетических уровней электронных орбиталей от расстояния между молекулами.

В случае сближения отдельных атомов энергетические уровни для для каждой из орбиталей расщепляются на низкоэнергетические (связывающие) и высокоэнергетические (разрыхляющие).

При сближении молекул в диаграммах зависимости от расстояний с помощью теплового движения преодолеваются небольшие энергетические барьеры.

автор: corowew сообщение 22127

Кажется в теме о физическом смысле 2-го закона ньютона прозвучало то, что нан в своих суждениях оглядывается на существование первопричины, а Луке вполне достаточно того что имеется

Ты прав. Я дал на конкретный вопрос (о физ. смысле второго закона Ньютона) такой же конкретный ответ, не выходящий за рамки данной теории. Теорию либо понимаешь, либо не понимаешь.
Третьего не дано.
Кроме того, без всякой философии и "личностного смысла" дал вполне чёткое истолокование физического смысла, как соответсвтие мат. структуры опытно измеряемым физ. величинам (см. прошлая страница или тема о физ. смысле 2-го закона Ньютона).

автор: Синь сообщение 23377

>>> (LUCA) Существует более тонкая связь реального физического мира с миром абстракций, показывающая как ещё по другому могут быть вплетены математические истины в наш физический мир и как это проявляется в логической непротиворечивости мира. Об этом чуть позднее. Пока лишь внятно выложил тезис: многие физические объекты могут служить символами. Следствие - истины, устанавливаемые для символов (законы шахматной комбинации, например) в физическом мире, верны и для мира математического.Лука, ты обещался раскрыть свою мысль чуть позднее, но видимо мы отвлеклись и ты не договорил. Я сегодня шёл, думал, вспоминал твои слова. Можешь дорассказать?

Тонкость здесь следующая. Итак, мы говорили об экспериментальной проверке математических гипотез, носящих чисто символический характер (шахматы, домино, закономерности теории графов, словесные конструкции) - короче любые дискретные конструкции. Мы можем экспериментально находить какие-то закономерности и выдвигать гипотезы и можем эти гипотезы проверять экспериментально.
Но только ли гипотезы относительно дискретных объектов мы способны проверить?

Рассмотрим обычную метрику в евклидовом пространстве. Расстояние между точками (подобно массе, скорости и др. физ. величинам) обычно выражается действительными числами. Здесь дискретности нет. Можем ли мы и в этом случае делать экспериментальную проверку каких-то метрический свойств?
Линейка (и её аналоги - радиолокатор, например) способны представлять результат измерения всегда только в виде конечной последовательности символов, то есть результаты измерений не выражают всё возможное множество действительных чисел, а лишь приближённо экстраполируют их. Тем не менее такого рода физическими экспериментами мы можем потенциально опровергнуть множество чисто математических гипотез, касающихся свойств действительных чисел, если будем учитывать точность наших измерений.
Простой пример - мы можем взять любой треугольник (неважно, правит ли нашим миром геометрия Лобачевского или ещё какая) и можем опровергнуть утверждение - сумма длин двух сторон треугольника всегда меньше длины третьей стороны.
Потенциальная опровергаемость гипотез - ключевой признак научности.
Резюме - физическими экспериментами мы можем потенциально опровергать (или косвенно подтверждать) не только утверждение о дискретных объектах, но и проводя измерения опровергать или подтверждать утверждения, касающиеся и других типов множеств (например, действительных чисел), и фактически вести поиск математических закономерностей (эти закономерности безусловно возможны только при нашей эмпирической уверенности в каких-то свойствах физ. мира, например, уверенности в введении метрики обычного трёхмерного пространства - не обязательно евклидовой в общем случае, и я не рассматриваю здесь совсем другую метрику пространства-времени).
Сама геометрия возникла не как дедуктивная наука, а как чисто экспериментальная.
Чисто вычислительный эксперимент аналогичен процедуре оперирования с измеренными физическими величинами также позволяет делать утвверждения о такого рода множествах.
Что я понимаю под логической непротиворечивостью. В логике их дают несколько. Одно из них - запрет на истинность некоторых выражений.
Логическая непротиворечивость физического мира - это запрет на выполнение каких-то свойств математического характера, не обязательно чисто дискретного (как шахматы), но свойств других множеств (например, метрических свойств пространства - при задании евклидовой метрики неравенство треугольника будет выполняться автоматически, то есть существует логический запрет на его невыполнение).

Сходные рассуждения описаны у Г. Вейля, я лишь изложил эти взгляды своими словами.

О том, как дискретный случай может "перекрыть" непрерывный см. обсуждения на элементах http://elementy.ru/blogs/users/rwsh/17325/

Резюме: учитывая потенциальную опровергаемость математических утверждений, возможность выдвижения, подтверждения или опровержения математических гипотез и постановки эксперимента я не вижу причин не считать математику наукой.

автор: nan сообщение 23393

Однако, тема не раскрыта, а она сильно сакраментально воспринимается (думаю поэтому и было спрошено пояснение

nan, поясню различие в наших способах восприятия.
Ты довольно часто употребляешь такие понятия, вроде "сакраментальный", "каббала" и прочее. Я к ним практически равнодушен. Мне интересна не столько некая внутренняя сущность, сколько функциональность.
На этот раз ты не употребил (очень часто его употребляешь) слово "существует" - я к такого рода словам прибегаю очень редко (если речь конечно не идёт о теоремах существования). Это тобой также часто употребляемое слово я заторону в связи с тем, что большинство собственно математиков - стихийные платонисты, к коим себя также не причисляю, ибо плохо себе представляю конкретику такого раплывчатого универсалия, как "существует" (не путать с известным квантором, или с конкретными интерпретациями в рамках конструктивной математики).
Думаю, что крайне расплывчатую абстракцию "существует" в довольно многих случаях можно заменить более конкретным понятием "объективность" (результата исследования, например), которая выражается в том, что разные люди приходят независимо друг от друга к одному и тому же выводу и могут вырабатывать достаточно однозначные критерии такого рода независимости (например, эксперитза того, является ли данный текст доказательством теоремы или нет).
Дело не в в каких-то сущностях, а во внутренней структуре математики, поиск истинных утверждений в которой основан в том числе и на корректирующихся (опытом!) критериях ясности и строгости формулировок каких-то утверждений.

Судя по той литературе, которую мне приходилось читать, а также из реалий живого общения основные точки зрения на математику можно свести к двум альтернативным:
1)

я утверждаю, что математика есть язык, к которому прибегает наука для выражения тех или иных закономерностей, объективно существующих в окружающем нас мире. И я считаю в принципе невозможным подменять языком ту сущность, которую он выражает. В противном случае можно погрязнуть в бесплодных попытках навязывать природе чуждые ей закономерности и усматривать в математических уравнениях магический смысл, которого в действительности нет.

http://www.veinik.ru/lib/articles/article/230.html
Эта точка зрения довольно распространённая, встречается среди многих людей с математическим образованием, но среди профессиональных математиков очень редко приходилось встречать эту точку зрения (возможно кто-то меня поправит)
2) Математика - экспериментальная наука (впрочем науки без эксперимента не бывает). Этой точки зрения придерживается пожалуй большинство профессиональных математиков (от талантливого математика-эмпирика Эйлера и до наших дней - см. Арнольд, Гельфанд). Многие физики также придерживаются этой точки зрения.
Однако эта точка зрения имеет множество разветвлений:
Математика - наука об универсальных закономерностях, истинных в любом возможном мире. В этом случае её даже рассматривают не как естественную (в противовес гуманитарным) науку, а как принципиально третью ветвь - некую универсальную науку. Это - пожалуй самая распространённая точка зрения.
Математика - раздел физики (Эйнштейн, Арнольд), относится к ествественным наукам.
В любом случае остаётся дискуссионным вопрос о характере математической эмпирики.
Что касается утверждения, что "математика - это философия", пусть даже и с смягчающим эпитетом "продвинутая", то, признаться, эту точку зрения мне больше не приходилось нигде встречать, и мне она не понятна. Здесь должен признаться, что я - довольно плохой философ, поскольку практически не оперирую "сущностями", "первичностями", их просто не понимаю, даже интуитивно, в отличие, скажем от тех понятий, которые связаны, скажем, с физикой. Но те книги, учебники, которые мне приходилось читать по философии никак также относили математику к разделу философии.

понятие науки исчерпывается лишь критерием опровергаемости? Что такое наука, можно определение (достаточно полный набор свойств и граничных условий их использования)?

Я не берусь дать исчерпывающее некое определение науки, поскольку некоторые так называемые критерии носят расплывчатый характер (о расплывчатости чуть ниже). Уверен, что многие критерии научности будут уточнены и конкретизированы, исходя опять же из практики, а сами критерии демаркации в рамках научного метода являются эмпирически корректируемыми.
Однако безусловным считаю ключевым коррекцию эмпирикой, которая более конкретно выражается в возможности находить (фактически экспериментально подтверждать) закономерности, которые могут быть сформулированы в потенциально опровергаемой форме. Главное, что полученные закономерности носят объективный характер. Математика в этом смысле полностью удовлетворяет данному критерию – недаром огромное количество теорем носят имя не одного, а двух или нескольких первооткрывателей: теорема Банаха-Тарского, Больцано-Коши и т.д.

В связи с указанными особенностями диссонансом выглядит (впрочем это вроде как музыкальный термин, значит – звучит) утверждение о том, что такого рода находки носят некий исключительно языковой характер (а что тогда такое языковой?).
Один из факторов расплывчатости понятия науки - это относительная универсальность научных принципов, знаний, утверждений. Так, весьма трудно провести границу между изобретением и научным открытием. Группы фактов можно упорядочивать по степени универсальности (последовательность генов одного организма - частный факт, усреднённая последовательность организмов одного вида - более общий факт и т.д.).
Законы Ньютона мы можем считать универсальными (пусть в ограниченной области), но то, насколько универсальным будет описание явлений, мыслимых как единичные или почти единичные - исторические события, эволюция и т.д. обладает существенной раплвычатостью, хотя мы можем в огромном количестве частных случаев структурировать понятие "универсальность рассуждений" (так же, кстати, как и с многими другими понятями "сложность" и т.д.) частично упорядочённым множеством.

Мы можем находить закономерности не только в фактах непосредственных показаний (а где она, эта непосредственность в показаниях - на сетчатке глаза, в затылочных долях, на стрелке прибора, на выходе после компьютерной обработки телескопа Хаббл) измерительных и регистрирующих приборов (человеческий глаз, ухо, линейка, количество объектов и т.д.).
Относительность понятия "непосредственное измерение" довольно существенна, хотя наверно можно говорить об уровнях измерения (выборка из геномов отдельных особей, усреднения для видов, родов и т.д.).
Мы можем эмпирически связывать не только данные более низких уровней, но и находить закономерности в закономерностях и они носят такой же эмпирический характер. И здесь те же критерии научности срабатывают.
Пример - формулировка того, как могут быть сформулирована одна (очень обширная) группа законов физики в теории физических структур или бинарной геометрофизике.
Вспомните пример с формулировкой 2-го закона Ньютона а11ха22 - а12ха21. ТФС ЗАПРЕЩАЕТ (!) наличие в природе закона относительно определённого круга физических объектов, который можно было бы сформулировать закон как а11ха22 + а12ха21 для множеств двух объектов (типа ускоряемых тел и ускорителей и т.д.).
Это - положение теоретической физики и оно научно в этом же самом смысле - возможность находить закономерности между эмпирическими величинами, фактами, формулировать их в потенциально опроверганемой форме, возможность корреткировать (уточнять, развивать, обобщать) результаты эмпирики на более общие случаи, возможность предсказывать и обязательно что-то запрещать.

Я крайне скептически отношусь к всякого рода "запретам" к научным методам, запрещающих что-то, если сам запрет основан на запрещающих критериях.
Пример - логический позитивизм - "все положения, отличные от тех, которые описывают или предсказывают наблюдения, не только излишни, но и бессмысленны". В соответствии со своим же собственным критерием в этой доктрине отсутствует смысл.
Твои рассуждения о математике и теоретической физике напоминают этот же порочный круг - пренебрегая философией, ты нередко пользуешься такой философской категорией, как "существование", "в основе всего лежит" и т.п., что делает в соответствии с твоими же критериями эти утвреждения научно бессмысленными. Примеры:

Но как-то образ вплетения в мир чего-то представляется лишней абстракцией

Поэтому говорить, что в основе всего лежит строгая закономерность, описываемая математикой - все равно, что говорить, что в основе психики лежит строгий набор формализованных образов- слов, используемых литературой в попытках описать проявления этой самой психики

Здесь, как обычно, используются некие расплывчатые философские критерии - "не вплетена", "не существует" и т.д.
Сам отношусь к философии положительно, но для конструктивного вывода всё-таки необходима опора на более конкретные (менее расплывчатые) абстракции.

Кстати
автор: nan сообщение 4712

ведь в алгебре оперируют только с принципиально вычислимыми величинами, которые поначалу обозначают именем переменной.

В алгебре сплошь и рядом оперируют с принципиально невычислимыми величинами. Пример - десятая проблема Гильберта, которая была решена в 1970 году доказательством принципиальной невычислимости решений диофантовых уравнений определённого вида.

автор: Синь сообщение 23395

Да, меня как раз-таки интересовала та часть утверждения, на которую в итоге указал Nan. Не спора ради, правда интересно

Насколько я понял, тебя интересует связь (соотношение) физической эмпирики и математической истины.
Если я правильно тебя понял, то сначала вспомним, что такое абстракция.
Нередко под абстракцией понимают то, что связано с выделением одних свойств в объектах и пренебрежением других (абстрактный стул, жёлтый и т.д.).
Такого рода понятие должно иметь более широкое истолкование - не только выделение, но и ПРИПИСЫВАНИЕ.
Мы можем знаку "1" приписать некое свойство "быть единицей", которое уточняется какими-то соотношениями либо с самим символом 1 (синтаксический метод), либо с тем объектом, который мы приписали (семантический метод).
В данном случае не уместно говорить о выделении свойств такого физического объекта, как, скажем, клякса "1", но можно говорить о действительно ВЫДЕЛЕННЫХ свойствах.
Казалось бы - вот оно - торжество этой самой ВЫДЕЛЕННОСТИ в человеческом рассуждении. Да, оно выделено. Но (!) сама по себе выделенность рассуждений НЕ является опровержением научности.

В физических утвреждениях мы видим аналогичную картину.
Приведу пример из СТО.
Одна из формулировок СТО - инвариантность так называемого "интервала" в четрыёхмерном пространстве-времени.
Простым языком эту инвариантность можно выразить так:
Каковы бы ни были два события (смерть Наполеона и взрывом какой-то сверхновой) для двух разных систем отсчёта ОНИ ВСЕГДА БУДУТ СВЯЗАНЫ СООТНОШЕНИЕМ:
∆х2 +∆y2+∆z2-C2∆t2=const, где
∆х2, ∆y2, ∆z2, ∆t2 - квадраты разностей пространственных и временной координат.
Фактически это - тоже связь между событиями - смертью Наполеона и взрывом сверхновой, интуитивно кажущимися нам "совершенно независимыми" и она безусловно выделенная. Но она такая же объективная и это - такой же научный факт, как теорема Пифагора в евклидовой геометрии.
Но на объективность (связь с эмпирикой, к которой люди могут приходить независимо) это - никак не влияет. В той или иной математической форме люди могли бы прийти к аналогичной (или эквивалентной) формулировке о связи между событиями.
Итак, выделенность не означает необъективности.

автор: nan сообщение 23407

абстракция "существует"  - это больше того, что показывается в воспроизводимом опыте многих. Эта абстракция предполагает, что нечто имеет место и время быть в реальности в виде неких процессов, которые по каким-то признакам можно условно выделить как "объект".

Пока не увидел это "больше", так как не вижу разницу между "процессами, которые можно выделить как объект" и опытом. Где эта разница. Неужели какие -то процессы выделяются вне опыта?автор: nan сообщение №23407

Истинность предположения существования чего-то никогда не может быть проверена окончательно в силу невозможности заранее четко ограничить условиями систему признаков распознавания сущности. Поэтому всегда может быть новая итерация познания сущности в несколько дополненных или измененных условиях, для чего нам и нужно сознание. К сожалению, все это продолжает ускользать в твоем восприятии

Это не так, я никогда не утверждал, того, что истинность предположения существования чего-то не может быть проверена окончательно. Мало того, я уже неоднократно подчёркивал, что избегаю такой универсалии, как "существует". Если я не прав, то процитируй меня.
Конечно я не имею в виду использование конкретного квантора существования в конкретных формальных доказательствах утрверждениий о существовании математических объектов с какими-то свойствами. Здесь ошибочность доказательств ограничена случайной синтаксической ошибкой, обусловленной синтаксической сложностью текста доказательства (в первую очередь его размеров).

автор: nan сообщение №23407

Вот когда такое предположительное выделение совпадает в опыте с реальностью

Ты опять уходишь в тот самый порочный круг. Только теперь вместо универсалия существования оперируешь связью с реальностью. Конкретизируй пожалуйста эту асбтакцию "связь с реальностью". Я не отвергаю применимость этого понятия, однако оно звучит слишком обще, а, значит, не позволяет делать определённые выводы. Если просто воспринимать эту абстракцию интуитивно, то математика как раз и "совпадает в опыте с реальностью", о котором уже и говорил.
автор: nan сообщение №23407

Ну а критерии ясности и строгости вообще не определены объективно, это - плод чисто субъективного, индивидуального опыта.

.
Констркутивность рассуждений и дискуссий основана на конретизации понятий. Если человек вводит понятия сложности алгоритма, то это не значит, что он оперирует понятием сложности вообще, критерии которого "вообще не ясны".
То же самое и с математикой. Я же не говорил о критериях ясности вообще, а говорил о неких ВПОЛНЕ КОНКРЕТНЫХ критериях ясности в математике. Такие действительно оттачивлись со временем (например, непременная алгоритмическая разрешимость понятия аксиомы и целый ряд других и ВЕДЬ МЫ ИХ УЖЕ ОБСУЖДАЛИ - могу и процитировать). автор: nan сообщение №23407

Но основа - чистая философия со всеми присущими философии критериями (уже перечислялось).

Без конкретного раскрытия этого вопроса (в том числе и примерами) ПРИ ОБЯЗАТЕЛЬНОМ СРАВНЕНИИ, допустим с физикой это утвреждение выглядит субъективным. Возникают множество вопросов:
1) Какие такие связи математики с философией (давай назвйм их "порочащими связями") позволяют говорить о том, что вот, здесь же физика НУ НИКАК НЕ СВЯЗАНА С ФИЛОСОФИЕЙ