Тема форума: «Про математику»

LUCA и nan, спасибо, что вернулись к этой интереснейшей теме.

LUCA, осмелюсь сформулировать твою позицию (гипотезу) в этом обсуждении, ну или следствие / вывод из нее. Как мне представляется на своем, довольно суконном уровне знаний

"Слабая" версия: в математике (в ее наиболее абстрактных разделах, таких как матлогика, теория множеств, алгоритмов) есть все базовые понятия и операторы (и соответствующие им символы), достаточные для описания всего, что будет познано (в физике). То есть уже достигнут некий предельный уровень абстрактности описаний.

"Сильная" версия: Любое непротиворечивое (математическое) высказывание имеет соответствие в реальности (физике), независимо от того, известно оно на данный момент или нет. То есть математика способна (по/пре)дсказывать (все?!) принципиально ВОЗМОЖНЫЕ явления.

Нет?

автор: sergish сообщение 29169

спасибо, что вернулись к этой интереснейшей теме.

То, что тема интереснейшая - вне всякого сомнения.автор: sergish сообщение № 29169

в ее наиболее абстрактных разделах, таких как матлогика, теория множеств, алгоритмов)

Всё-таки насколько по разному мы воспринимаем. Мне матлогика и теория алгоритмов видятся как раз наиболее "приземлёнными" - они "прогоняются" мной через наглядные образы (машины Тьюринга, абаки, да и сама примитивная рекурсия явно не выглядит очень уж навороченной). Теория множеств? Часто её ставят в основу математики (все индивиды в математике - множества, а единственный предикат, из которого можно выразить все остальные свойства - это предикат принадлежности элемента множеству), успешно при этом выражая все остальные математические понятия. Этот подход красивый, привлекательный - прекрасно описан в старом школьном учебнике по геометрии, который написал Колмогоров, а реализовала со страшным фанатизмом определённая часть математиков, получивших общую кликуху "Николо Бурбаки".
Однако математика конечно может строится и без использования множества как первичного понятия. Та же арифметика, или же ТМ рассматривается не как база, а как служанка, обслуживающая разные области, скажем, теорию групп.
Арифметику, теорию групп или теорию колец, тел, полей, векторов и тензоров чаще вводят типографским (слово взял у Хофштадтера, а чаще говорят - "синтаксическим") методом - то есть теория множеств нам здесь и не нужна.
Иногда математические объекты вводят через уже готовые конструкции из множеств. Например, что нам важно для введения понятия функций? Нам нужно определить, что такое упорядочённая пара <x,y>. Но ведь через теорию множеств это можно сделать по разному - <x,y>={x, {x,y}} или же {{x,y} {y}}, но ведь первое не равно второму. Мы ввели понятие упорядочённой пары через готовую теоретико-множественную модель, поэтому говорим, что ввели её не типографским способом, а семантическим. Хотя можно легко ввести понятие упорядочённой пары <x,y> чисто типографским способом, задав условие ДЛЯ СИМВОЛОВ, что из <x1,y1>=<x2,y2> следует, что x1=x2 И y1=y2.
Мы можем понятие предела формулировать классически, как изучают во всех технических вузах, а можем и другими методами, как, например, в нестандартном анализе, хотя, в целом придём к сходным результатам, используя разную базу построений. Образно говоря, для математики чаще оказывается важен не базис построения, а отношения между объектами "на верхнем уровне" иерархии. Можно комплексные числа ввести чисто алгебраически, а можно - как матрицы 2Х2 определённого вида. Но структура этих матриц нам также не важна в общем случае, как структура упорядочённой пары, нам лишь надо смоделировать её свойства.
Да и само понятие множества уже давно не претендует на категорию универсалии. Мало того, что теорию множеств можно строить очень разными способами, как выяснилось, математика "склеивается" и при введении других базовых понятий - категории и функтора. И через эти понятия можно также "сжать" спектр возможных математических структур.

автор: sergish сообщение № 29169

в математике (в ее наиболее абстрактных разделах, таких как матлогика, теория множеств, алгоритмов) есть все базовые понятия и операторы (и соответствующие им символы), достаточные для описания всего, что будет познано (в физике). То есть уже достигнут некий предельный уровень абстрактности описаний.

Очень сомневаюсь, что достигнут. Давно ли в логике учитывали такое второстепенное понятие, как вычислимость? Только в 1912 году Борель догадался, что это - очень важное понятие в математике, хотя описывается оно чаще на языке команд. А в 20-е-30-е годы Тьюринг и Пост догадались о том, что без этого понятия дедуктику просто не построить.

А потом выяснилось, что вычислимость - такое же неотъемлемое понятие логики, как доказуемость, истинность, выразимость.

Мне кажется, что физика будет обогащаться со временем новыми абстракциями, ещё не рождёнными, или незамеченными.
А сугубо моё мнение - понятие вычислимости будет вплетено в физику будущего, как это описано здесь http://ivanem.chat.ru/godel1.htm Кто знает, возможно для моделирования физических процессов, лежащих далеко за пределами горошин, будет применимо это понятие.

автор: sergish сообщение № 29169

"Сильная" версия: Любое непротиворечивое (математическое) высказывание имеет соответствие в реальности (физике), независимо от того, известно оно на данный момент или нет. То есть математика способна (по/пре)дсказывать (все?!) принципиально ВОЗМОЖНЫЕ явления.

Полностью соглашаясь с первым, выражу сомнение во втором. Вряд ли средства математики оказутся предсказывать все возможные явления.
Неполнота арифметики (физика горошин) - это только вершина айсберга.
Сведение к финитной (формулируемой за конечное число шагов) аксиоматике не всегда возможно для слишком сложных объектов, а слишком сложные объекты оказываются "несжимаемы", то есть логически слабо архивируемыми - неполнота по Чейтину.

П.Дэвис и Р.Херш говорили, что мы изучаем идеи, с которыми можно обращаться так, как если бы они были реальными предметами - некими «умственными объектами с воспроизводимыми свойствами»).
Рискну обратить эти свойства - мы изучаем реальные предметы так, как если бы они были идеями.
Каждая такая идея должна быть достаточно жесткой, чтобы сохранять свою форму во всяком контексте, где она может быть использована. Эта жёсткость обеспечивается чаще всего типографскими правилами.

В продолжение разговора о том, что даёт математика и как нужно относиться к "правильности" математического построения процитирую одну монографию (Р.Голдблатт "Категорный анализ логики"):

Было бы неправильно делать отсюда вывод, что системы оснований математики — первичный фундамент, на котором математика фактически создана. Искусственность такой точки зрения станет очевидной, если вспомнить о том, что основное содержание математики существовало и до подведения фундамента и его существование не зависит от этого фундамента. Например, вещественные числа можно мыслить как бесконечные десятичные дроби или как точки числовой прямой. По-другому их можно ввести как элементы некоторого полного упорядоченного поля или как классы эквивалентности последовательностей Коши, или, наконец, как сечения Дедекинда. Ни один из этих подходов нельзя назвать единственно правильным для объяснения того, что же такое вещественные числа. Каждый из них воплощает одно из интуитивных пониманий, и оцениваем мы эти воплощения не в аспекте их правильности, а скорее с точки зрения их эффективности при объяснении природы системы вещественных чисел.

Признаться, у меня вызывает недоумение, когда действительными числами НАЗЫВАЮТ дедекинодовы сечения или классы эквивалентностей Коши. Структура этих сечений или классов эквивалентностей становится малоинтересной после выяснения основных свойств, которые мы приписываем действительным числам. А приведённые объекты - ЛИШЬ МОДЕЛИ (это и есть семантический подход к построению математических конструкций), позволяющие выделить ключевые свойства действительных чисел. Множество свойств элементов этой модели ОКАЗЫВАЮТСЯ НЕСУЩЕСТВЕННЫМИ при построении теории действительных чисел.
Поэтому часто оказывается более удобным и наверно более правильным с точки зрения неприумножения сущностей без надобности просто вводить аксиомы дейсвительных чисел без всяких построений, как это сделано, например, в известном трёхтомнике Кудрявцева по математическому анализу:

Теория вещественного числа излагается аксиоматическим методом. Этот метод, являясь наиболее коротким, логически равноправен другим методам введения понятия числа: с помощью ли бесконечных десятичных дробей, с помощью ли классов фундаментальных последовательностей рациональных чисел, с помощью ли сечений в множестве рациональных чисел. Равноправен в том смысле, что ни при одном из этих способов не доказывается существование (непротиворечивость) множества вещественных чисел.

Чем же тогда будут дедекиндовы сечения или классы эквивалентностей Коши? Это будут просто некие объекты, которые обладают свойством "быть действительным числом", то есть по сути объекты ЛЮБОЙ ПРИРОДЫ могут быть действительными числами.

Приведу ещё один наглядный пример: аксиомы Пеано. Натуральным числом называется множество, удовлетворяющее аксиомам Пеано. Возьмите множество простых чисел - они ТОЖЕ "перекроют" всё множество натуральных чисел, поскольку легко установить на на них естественный порядок, который удовлетворяет аксиомам Пеано.

Чтобы подчеркнуть несуразность такого подхода с ОТОЖДЕСТВЛЕНИЕМ действительных чисел с дедекиндовыми сечениями или классами эквивалентностей последовательностей Коши, приведу один очень-очень простой пример из книги Нагеля и Ньюмена: теорема Геделя. Прошу не бояться "сложных" формулировок написанного, для тех, кто не читал эту книгу, так как эти формулировки становятся моментально понятными, если указать наглядную модель, о которой здесь умолчу, но напишу ниже.

Там задаются в качестве примера следующие аксиомы для двух классов объектов - K и L, "подлинная природа которых неизвестна":

1.Любые два различных члена класса К принадлежат в точности одному члену класса L. 2. Ни один член класса К не принадлежит более чем двум различным членам класса L 3. Не все члены класса К принадлежат одному и тому же классу L 4. Любым двум членам класса L принадлежит в точности один член класса К 5. Ни одному члену класса L не принадлежит более, чем два элемента класса К

Мудрёные формулировки? Вникать приходится, хотя при усвоении правил игры с ними, как с шахматами можно и поднатореть в выводе теорем.

Однако эта система становится понятной, если ввести её через модель (семантически), сказав, что К - это просто вершины некоторого треугольника, а L - стороны этого треугольника, и многие "мудрёные" теоремы окажутся тут же наглядны.
Потому то семантический подход не смотря на свою "излишность" оказывается таким привлекательным - он бывает очень наглядным.

Но для большей строгости и для избавления от введения новых "сущностей без надобности" приходится иногда "сделать строгое лицо" и ввести всё строго, зато сразу не очень понятно, ибо надобность в этих сущностях всё-таки есть - без неё мы бы лишены были рая наглядности и они помогают быстро схватывать, поэтому какими бы строгими формалистами мы себя ни корчили, наше воображение должно работать на всю катушку, облегчая нам жизнь в виде этих выдуманных сущностей, а иногда и давая нам возможность к творчеству.
Именно поэтому, в частности, я вижу большую пользу во всякого рода "интерпретациях" квантовой механики, которые, будучи изоэмпиричны, тем не менее дают толчок, подсказывают нам новые идеи, как идея мультивёрса, подсказала Дойчу квантовые вычисления - по сути - раздел математики.автор: kovip сообщение 29179

1 Вычисление - это разновидность измерения. Навряд ли. На, мой взгляд, вычисление, это часть измерения и не более того. Поскольку, в основе измерения всегда лежит физическое взаимодействие.

А вычисление и есть физический процесс. Причём имеющий свою временную хронологию. Теперь могу процитировать Ю.Манина по этому поводу

Тьюринговское представление о конечном автомате, передвигающемся дискретными шагами вдоль одномерной лентыи записывающем на ней биты или стирающего их, вместе с теоремой существования универсальной машины такого типа, подчеркивает именно этот временной аспект всякого вычисления. Еще важнее то обстоятельство, что представление о вычислении как о физическом процессе не только помогло сконструировать современные компьютеры, но и открыло пути для продумывания в физических терминах (как классических, так и квантовых) общих закономерностей хранения и обработки информации.

автор: kak сообщение 29194

Есть ли вечные объекты и если нет, то откуда они берутся и куда исчезают?

Свои 5 копеек /можна?/.
Объектов вечных НЕТ, думаю. Вот ПРОЦЕССЫ, в которых задействованы эти объекты, могут быть вечными. Пускай и относительно.
Допустим - все мы смертны, но - у всех есть дети /допустим/, а у них будут свои дети и так далее. И вот это уже - "вечно". А значит, в какой-то мере и каждый из "объектов", задействованный в этом процессе.

И, если по каим-либо причинам процесс не прервется /то есть "исчезнет"/, то, принципиальная возможность "быть вечным" у него есть. Или у КАКИХ-то процессов. И, далее - если считать процесс объектом, то он тоже может быть вечным. Соответственно )

* LUCA: "Однако эта система становится понятной, если ввести её через модель (семантически), сказав, что К - это просто вершины некоторого треугольника, а L - стороны этого треугольника"

Получается следующее:

1. Любые две различных вершины треугольника принадлежат в точности одной стороне.
2. Ни одна вершина треугольника не принадлежит более чем двум различным сторонам
3. Не все вершины треугольника принадлежат одной и той же стороне
4. Любым двум сторонам треугольника принадлежит в точности одина вершина
5. Ни одной стороне треугольника не принадлежат более, чем две вершины

автор: usr сообщение 29196

Получается следующее: 1. Любые две различных вершины треугольника принадлежат в точности одной стороне. 2. Ни одна вершина треугольника не принадлежит более чем двум различным сторонам 3. Не все вершины треугольника принадлежат одной и той же стороне 4. Любым двум сторонам треугольника принадлежит в точности одна вершина 5. Ни одной стороне треугольника не принадлежат более, чем две вершины

В таком варианте аксиомы моментально становятся "понятными".

...понимание заключается в сведении одного типа реальности к другому.

(Клод Леви-Стросс)

Понимание - это нахождение изоморфизма

(д. Хофштадтер).
Однако не стоит считать, что это - аксиомы - определение треугольника, ибо при определённом изощрении можно придумать немало новых моделей для этой системы аксиом. Да и сами треугольники не могут служить определением структуры, созданной данными аксиомами - они всего лишь модель, подобно тому, как модель из дедекиндовых сечений даёт аксиоматику действительных чисел. А сами треугольники обладают кучей "несущественных" для данной аксиоматики свойств подобно тому, как матрицы 2Х2 особого вида обладают "излишней" структурой для описания существенных свойств комплексных чисел.

автор: usr сообщение 29196

1. Любые две различных вершины треугольника принадлежат в точности одной стороне.2. Ни одна вершина треугольника не принадлежит более чем двум различным сторонам3. Не все вершины треугольника принадлежат одной и той же стороне4. Любым двум сторонам треугольника принадлежит в точности одина вершина5. Ни одной стороне треугольника не принадлежат более, чем две вершины

Если пользоваться понятиями "вершина" и "сторона" (а тем более "треугольник"), то весь остальной текст становится излишним, поскольку эти понятия уже подразумевают определяемый класс "треугольник". Поэтому использование именно таких более широких, абстрактных, нейтральных понятий как "класс" и "член класса" оправдано, в отличие от первых двух.

автор: Синь сообщение 29199

LUCA, а что за "физика горошин"?

ну арифметика же

автор: Синь сообщение 29199

LUCA, а что за "физика горошин"?

Возобновление обсуждения началось с этого поста:

Вопросы в аудиторию. Возьмите мешок горошин. Высыпте горох на ровную поверхность. Будут ли следующие параметры ФИЗИЧЕСКИМИ ПАРАМЕТРАМИ? 1. Число горошин. 2. Способность разделить одну кучу горошин на две или больше кучки горошин с ОДИНАКОВЫМ количеством бОльшим 1 (быть или не быть простым числом) с помощью внятно предписанной процедуры? 3. Способность разделить одну кучу горошин на множество кучек ОДНОГО вида - состоящих только из двух горошин (частный случай второй задачи - быть чётным числом). Будет ли данная гипотеза говорить именно о ФИЗИЧЕСКОМ мире горошин? 4. Если мы сможем разделить кучу горошин на множество кучек состоящих только из двух горошин, то мы сможем также разделить эту кучу на две кучи, каждая из которых не разделяется на более мелкие кучки с равным числом горошин, но больше 1. Будет ли гипотезой о физическом мире это свойство горошин? (Гипотеза - каждое чётное число равно сумме двух простых). Здесь внятно формулируется потенциально опровергаемое предоположение, относительно наших возможностей ФИЗИЧЕСКОГО манипулирования с горошинами. ????????

Почему количество горошин НЕ такой же физический параметр, как количество молекул в газе, или же показания линейки или часов?
Провокационный характер этого вопроса был связан с тем, что эти физические параметры, одновременно могут характеризовать и чисто абстрактные понятия: мы можем говорить о количестве горошин, но можем говорить о количестве элементов в конечном числовом множестве. Можем говорить о том, что молекулы определённого вида принадлежат множеству молекул из данного сосуда, но можем говорить, что элементы произвольных абстрактных множеств принадлежат другим множествам. Другими словами, была иллюстрация того, что некоторые понятия, являющиеся физическими параметрами, могут одновременно описывать свойства абстрактных объектов. Здесь я иду в разрез с частым утверждением относительно мнимой непересекаемости классов абстракций описывающих исключительно другие абстракции и физические объекты.

Далее на примере горошин я формулирую явно математическую и не доказанную никем гипотезу Гольдбаха (чётное число равно сумме двух простых, или же другую гипотезу "3N+1"), которые не смотря на свой казалось бы чисто математический характер НАПРЯМУЮ говорят о возможностях предсказания, связанном с измерением параметров физического мира.

Таким образом, физика горошин - это раздел физики, точнее частный раздел кинематики макроскопических твёрдых тел, который позволяет в том числе и на основе физического измерения получать и предсказывать факты, тех или иных состояний (например, собирать в кучки по определённым правилам и получать при этом определённые запреты или закономерности, связанные с использованием такого эмпирически измеряемого физического параметра, как "число горошин". В общем случае эти манипуляции с горошинами уместно объединить таким понятием, как "вычисление" и я мыслю оное только как ФИЗИЧЕСКИЙ процесс, не привнося в него излишние сущности вроде "субъетивизации", могущие так обязательно и специфически отделить математику от других эмприрических наук, сделав её не наукой, а "философией"

автор: Синь сообщение 29206

LUCA, на практике, насколько я понимаю, квантовый компьютер может реализовать такого рода подход к математике достаточно успешно?

Квантовые вычисления это - ОДНОВРЕМЕННО раздел математики, имеющий соприкосновение с физической эмпирикой. Однако квантовая машина Тьюринга, имея в некоторых случаях более эффективные алгоритмы в смысле затраты ресурсов, вовсе не превосходит классическую машину Тьюринга в потенциальных возможностях (если абстрагироваться от затрачиваемых ресурсах на вычисление). Тезись Чёрча здесь работает.
Однако потенциально да - однозначно может. Хотя, как выразился известный специалист в этой области Шэнь, произойдёт это очень нескоро на практике. См. видео http://www.ecolife.ru/video/2596/
Метод Тьюринга основывался на том, чтобы в терминах чисто физических действий сформулировать понятия "вычисление" и "логическое доказательство".
Произошла "механизация" процедур, связанных с логическим выводом. Квантовые же вычисления дают новые возможности для реализации этих механических процедур. Математическое доказательство стало механически воспроизводимым, а потому экспериментально проверяемым. Реальные физические машины оказались включены в процесс математического доказательства. Теперь не только математика оказалась эффективной в остальной физике, но и сами воспроизводимые физические процессы оказались эффективными в математике.
В этом смысле очень наглядно пишет Д.Дойч с соавторами в следующей статье http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/d62fb03e-a780-11dc-945c-d34917fee0be/i6047060.pdf

Здесь другими примерами показывается переплетение логической и физической эмпирики например, проблема остановки запрещает физически создать машины, способные определить по тексту программы, остановится ли машина. Это - запрет на физический мир.

Мы вынуждены признать зависимость математического знания от физики. А раз так, пора отказываться от классической точки зрения на вычисление как на чисто логическое понятие, не зависящее от физической природы вычислителя.

В данной статье предпринята попытка показать, как квантовая механика меняет понимание природы вычисления. Как возможны новые физические процессы, дающие нам в общем виде вычисления и вывод.
Очень наглядно показано, что последовательное двух полупрозрачных зеркал (с одной стороны такая же метафора, как абстрактная машина Тьюринга, с другой - реальное физической устройство) - приводит неожиданно к логическому вычислению функции отрицания.

Это нельзя получить ни из теории вероятностей, ни из любой другой математической конструкции... Следовательно, на основании физических экспериментов, подтверждающих эту теорию, логики вправе ввести ранее немыслимый логический оператор, обозначаемый как корень из отрицания

(этот оператор, будучи применён однократно, даёт случайный ответ на вход 0 или 1 - то есть случайно 0 или 1. Но, будучи применён дважды, даёт оператор отрицания!
Статья понятная и наглядная. Показано, что мы складываем не вероятности, а амплитуды вероятностей, что и приводит к создании РАНЕЕ НЕМЫСЛИМЫХ математических конструкций. Очень показательный пример эмпирического построения математики.

А ТЕПЕРЬ САМОЕ ИНТЕРЕСНОЕ:

Наряду с прочими приложениями, квантовые вычисления существенно повлияли на понятие математического доказательства.

Если в классическом случае подразумевалось, что доказательство должно быть ПРОТОКОЛИРУЕМОЕ, то есть каждый шаг должен быть записан, то в квантовом случае протокол окажется "вне наблюдаемой части вселенной".

Теперь мы вынуждены отказаться от такого определения. Отныне доказательство должно рассматривать как процесс - то есть вычисление самое по себе. Мы должны признать, что в будущем квантовые комьютеры будут доказывать теоремы методами, КОТОРЫЕ НЕЛЬЗЯ БУДЕТ ПРОВЕРЯТЬ ПОШАГОВО...

Ну и поскольку держу сейчас в руках монографию "Классические и квантовые вычисления", то позволю по этому поводу процитировать из неё комментарий Шэня:

Нельзя отсоединить квантовый принтер от квантового компьютера, пока идёт работа, иначе один или оба прибора испортятся..."

(стр.54)
Здесь нарушается непременное условие классического алгоритма - выполнение так называемой аксиомы протокола, описанной у Успенского в книге "Теорема Геделя о неполноте". Там использование этой аксиомы было обязательным для получения доказательства теоремы Геделя.

Впрочем и слишком большое классическое доказательство, выполненное компьютером, также оказывается уже недоступным для проверки человеком, как, например, доказательство теоремы о раскраске карты.
Как после этого утверждать, что вычисление и логический вывод - это не ФИЗИЧЕСКИЕ процессы, а сам ФИЗИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ - не поставщик математических истин?

автор: Синь сообщение 29206

Вместе с тем, думаю, что если ты всерьёз вознамеришься проверять гипотезу Гольдбаха горошинами, то в какой-то момент чорная дыра, которая начнёт появляться в скоплении горошин, заставит тебя приостановить эксперимент и обратить внимание на другие физические свойства горошин

Самому Гольдбаху было достаточно если не горошин, то их физических аналогов, для эмпирического подтверждения своей гипотезы. Не докажем, так продемонстрируем опытными фактами - так и движется наука, к которой слово "эмпирическое" не надо приписывать, поскольку неэмпирической науки не бывает.