Тема форума: «Про математику»

автор: Синь сообщение 22063

>>> Ошибки доказательств и неопровержимость доказательств - это немного разные вещи. Если есть какие-то аргументы - то в студию пожалуйста. В чём разница?

Играем в шахматы. Делаем неправильный ход (неспециально), коня не туда поставили. Эта ошибка - не ошибка концепций, неправильной стратегии, она не опровергает решений многочисленных шахматных этюдов и законов эндшпилей. Такого рода ошибки подобны опечаткам в тексте. Мы имеем инструмент для однозначного их исправления.
Именно поэтому экспертная система по математическому доказательству имеет место быть.автор: Синь сообщение №22063

Можешь открыть, например, статью Nan. Там приводится пример: Теоремы софиста Горгия и современная математика. Дмитрий Германович Фон-Дер-Флаасс

Конечно же я читал эту статью, но какое отношение она имеет к теме? Нормальная беллетристика, со своими техническими ошибками (дробь не задаётся парой чисел, а классом эквивалентности, но для беллетристики такого рода неточности допустимы). Разве это что-то меняет?

автор: Синь сообщение №22063

Ну или, если у тебя таки всё-таки есть выход на всеобщее Информационное Поле Математиков, то думаю, что тобой очень бы заинтересовались историки математики, так как перед ними как раз-таки стоит проблема реконструкции математических представлений у разных народов мира в разное время.

Современной математике (способу формализации, в том числе фиксации правил вывода) с её методами формализаций и явной формулировке правил вывода около 120 лет. Труды предшественников, как оказалось, укладываются в эту формализацию - мы можем разделить исчисления вместе с теоремами и гипотезы.
автор: Синь сообщение №22063

При этом я не могу сказать, что эта проблема вообще не осознаётся и не анализируется, в том числе, математиками (математиками человеками имеется ввиду ). Нет. Это не так. Просто ты в силу каких-то, возможно, рациональных причин, абстрагировался в своих рассуждениях от проблем того, кто верифицирует утверждения, кто и как их сохраняет, передаёт и далее по списку.

Твоя мысль понятна. Ты прав в том, что любой человек делает ошибки.
Да, я абстрагируюсь от лавины текущих ошибок. Причина - у нас есть МЕТОД, позвляющий однозначно их исправить. В будущем, когда доказательства занимают не десятки, а тысячи страниц, проводить экспертизу живым людям станет нереально. Но главное, что я утверждаю - только две вещи:
1. ЕСТЬ МЕТОД, ПОЗВОЛЯЮЩИЙ ОДНОЗНАЧНО ОТЛИЧИТЬ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ НЕДОКАЗАТЕЛЬСТВА.
2. Полученный метод даёт железную надёжность подтверждения такого рода доказательств на том же уровне достоверности, на котором на позволяет анализ шахматной игры проводить анализ того, делали ли мы правильный ход.
Этот уровень достоверности, не смотря на возможность ошибки, которую технически мы можем однозначно исправить, позволяет говорить нам о том, что мы никогда не усомнимся в теореме Пифагора, алгоритме Евклида, существовании в трёхмерном пространстве ограниченного числа правильных многогранников, единственно навеки вечном правильном разложении в экспоненты в ряд Тейлора, sinx2+cosx2=1 и т.д.


Данная железобетонность выводов согласуется с тем, что математику относят нередко к универсальной науке. Науке - потому что для неё характерно обилие потенциально опровергаемых гипотез.
Универсальной - её выводы остаются неизменными вне зависимости развития физики.
Именно эту неизменность я и подчёркиваю. И эта неизменность нисколько не противоречит той самой "живости" и экспериментированию в математике, выдвижением и опровержением предположений.

Ответ на пример Лакатоса, связанные с рассужением о поиске доказательств (не путать с самим доказательством)

С педагогической точки зрения доказательство –– всего лишь один из жанров математического текста. Имеется и множество других жанров: вычисление, набросок доказательства с пояснениями, компьютерная программа, описание алгоритмического языка или такой пренебрегаемый сейчас жанр, как обсуждение связей между формальным определением и интуитивным понятием. У каждого из жанров есть свои законы, и в частности –– свои законы строгости; единственная причина, по которой они не кодифицированы, –– это то, что им не уделялось специального внимания.

Цель содержательного определения –– создание первоначального, еще не вполне оформленного образа, настройка разных индивидуальных сознаний на один лад, как камертоном. Формальное же определение вводит, собственно говоря, не понятие, а термин, не образ множества в структуру сознания, а слово множество в структуру допустимых языковых текстов о множествах

(Манин "Математика как метафора")

Примечание: некоторая напыщенность языка используется для того, чтобы не отпугнуть большим текстом, а также чтобы читающие могли получить определённые положительные эмоции.

Математика родилась как раздел физики. Древние шумеры, вавиловяне владели тайными рецептами вычислений. Рецепты эти были выведены чисто эмпирически и подтверждались результатами измерений. Теорема Пифагора была известна задолго до Пифагора как чисто эмпирический факт, но эмпирика эта была чисто физическая.

По существу, евклидова геометрия была также началом теоретической физики –– кинематики идеально твердых тел в двумерном или трехмерном гравитационном вакууме, –– а попытки связать формы с числами привели много позже к кристаллизации алгебраического, аналитического и вычислительного аппарата физики. Диагональ единичного квадрата корень из 2 и длина окружности единичного диаметра были изначально физическими константами, а привычные нам вещественные числа в истории математики медленно осознавались как огромное потенциальное вместилище для значений всех физических величин.

(Манин "Математика как метафора")
Однако древние греки обнаружили нечто новое:

Греки совершили открытие, величайшее из когда-либо совершённых человеком: они открыли могущество разума...Аристотель, а за ним и весь мир приняли неоспоримую истину, что применение правил дедуктивного вывода к любым посылкам гарантирует получение заключений, не уступающих по надёжности посылкам

(Клайн "Математика. Утрата определённости") Это было началом перехода от чисто эмпирической математики к дедуктивной. Однако этот переход был не скачкообразным, а постепенным.

Силлогизмы Аристотеля оказались таким же зачатком теории языка науки, как пифагорейские открытия –– зачатком теоретической физики. Медленно, через схоластов, Лейбница, Буля, Гёделя, фон Неймана и многих других, развивалось осознание того, что с текстами на языке науки можно обращаться так же, как с целыми числами.

Окончательное отделение геометрии от физики произошло только после опубликования работы Гильберта "Основания геометрии", где он дал ОКОНЧАТЕЛЬНО СТРОГОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ евклидовой геометрии, переведя её на формальный язык и оторвав от физической эмпирики. Отныне физическая эмпирика была сведена только к очень узкой части физического мира - символической эмпирики.

В результате как раз и сложилась ситуация, когда как воскликнул Д. Мамфорд

Как так может быть, что мы с одной стороны гордимся тем, что построили прекрасный мир, полностью отгороженный от запросов реальности, а с другой –– утверждаем, что наши идеи лежат в основе чуть ли не всех значительных технических достижений?

К началу 20 века пришло осознание того, что формализация доказательства - это по сути не просто символическое изложение, а непременное использование так называемых эффективных процедур, по другому алгоритмов, и без этого понятия мы не можем по другому выражать то, что мы называем строгостью доказательств.

С теоретической точки зрения можно сказать, что и Черч, и Тьюринг открыли, что существует окончательное понятие вычислимости, воплощенное в универсальной рекурсивной функции или универсальной машине Тьюринга. Это не математическая теорема –– скорее это - физическое открытие в метафизической области, которое обосновывается не доказательством, но тем фактом, что все последующие попытки дать альтернативное определение вычислимости приводили к равносильным понятиям.

(Манин "Математика как метафора")
Здесь мне кажется вместо слова "метафизический" правильнее было бы сказать "в ментальной, или мыслительной".


автор: nan сообщение 22067

Тут важно различать просто ошибки, которые могут быть исправлены алгоритмически, и недостаточность контекста, когда выясняется, что в данном контексте данное утверждение при вот таких-то неожиданных дополнительных условиях оказывается неверным. Вот это уже никак не может быть отслежено и исправлено никакими математическими формализациями.

Формулировка понятия дедуктивного вывода останется непоколебленной до тех пор, пока останется непоколебленной понятие "эффективной процедуры", то есть алгоритма.
Формальные системы окончательны в том смысле, что они не нуждаются в дополнительных контекстах (то есть ПОЛНОСТЬЮ САМОДОСТАТОЧНЫ В СМЫСЛЕ СТРОГОСТИ ВЫВОДА).

Однако эмпирический характер математики формализация не остановила и никогда не остановит. Это - два взаимодополняющих и взаимообогащающих источника развития математики.

Выдвину и сам одну математическую гипотезу, основанную на физическом опыте, которую вероятно очень сложно доказать, если возможно.

Введу в абстрактное трёхмерное пространство абстрактные упругие шарики с абстрактной массой, двигающиеся и соударяющиеся друг с другом. Позволю предположить, что для этих шариков будет справедлив принцип неубывания в математическом времени математической энтропии.

Вычислительные эксперименты на компьютерах подтверждают эту гипотезу для частных случаев.

Сам физический мир даёт нам возможность выдвигать массу чисто математических гипотез, хотя конечно интуиция в данном случае нас неоднократно обманывает.

Другой источник - экспериментирование лишь с малой частью проявлений физического мира - манипулирование только с макроскопическими дискретными объектами, для которые мы сами устанавливаем правила игры - будь то шахматы или один из вариантов формальной теории множеств. Как показывает опыт, этот вид вывода является существенно более надёжным. Мы верим, исходя из опыта в эту надёжность так же, как верим в непротиворечивость арифметики. Хотя не существует абсолютного доказательства ни того, ни другого. Но и первое, и второе - наиболее надёжная часть, в которой мы пока НЕ ПОЛУЧИЛИ НИ ОДНОГО ОПРОВЕРЖЕНИЯ - ни в надёжности символического вывода, ни в непротиворечивости арифметики. Нашу веру в надёжность манипуляциями символов подкрепляет исключительная простота и наглядность правил вывода, формулируемых в логике предикатов.

Так в первом классе раскладывают по кучкам палочки, чтобы уяснить смысл счета, целого числа, сложения и умножения, а также смысл арифметических тождеств. Поэтому разумно представлять себе, что арифметика целых чисел есть физика собирания предметов в кучки

(Манин)

Есть два вида манипуляций с символами - чисто дедуктивные - здесь мы получаем доказательства раз и навсегда, и эмпирические, позволяющие выявлять нам закономерности.

Дедуктивный вывод нам автоматически запрещает получать определённые комбинации формул - мы не получим никогда формулы решения уравнения 5-й степени (общий случай), никогда не получим никогда определённых комбинаций в шахматной игре, сколько бы мы ни старались.

Этим формулам мы можем придавать интерпретации - как математических абстрактных объектов (содержательный неформальный или же содержательный формальный, где мы манипулируем истинностью утверждений об абстрактных объектах, а не их синтаксической выводимостью, ) или даже физическую (делать привязку к измеряемым на опыте физическим величинам), придавая им статус проверяемой физической гипотезы.
Математическое рассуждение входит в физический текст вместе с актом его физического истолкования (придания физического смысла).

Условно их можно обозначить как содержательную истинность, формальную правильность, или доказуемость, и адекватность физической модели. Для математики, замкнутой в себе, существенны лишь первые два аспекта, и только двадцатый век принес понимание различия между ними. Рассмотрим такое просто формулируемое утверждение, как гипотезу Ферма. Хотя мы не знаем ни ее доказательства, ни опровержения, мы уверены, что она либо истинна, –– либо ложна. Эта уверенность основана на абстракции возможности произвести бесконечно много арифметических действий (или раскладываний на кучки), перебрав все суммы степеней пар целых чисел. Вообще, понятие об истинности (большинства) математических утверждений включает в себя представление о таких бесконечных сериях проверок. Между тем всякое математическое доказательство, т.е. рассуждение, состоящее из последовательного применения аксиом или логических правил вывода, есть существенно конечная процедура. К. Гедель доказал в тридцатых годах, что по этой причине доказуемость значительно уже содержательной истинности, даже когда речь идет лишь о целых числах. При этом совершенно безразлично, из каких аксиом мы исходим, лишь бы они были содержательно истинны и задавались конечным списком (или конечным числом правил их порождения). Это различие между содержательной истинностью и доказуемостью широко известно, но, кажется, его следствия поняты плохо.

Другими словами языковое понятие доказуемой истины намного уже, чем абстракция истины, выводимой через множество бесконечных проверок.


автор: nan сообщение 22067

все корректные утверждения, уже проверенные реальностью на истинность, не обязательно математические, не могут быть опровергнуты потому, что они в строго заданных условиях не могут выполняться иначе.

Вот только поиск таких истин, которые "не могут не выполняться иначе" - крайне нетрививальная задача, даже в арифметике.

Спасибо участникам темы за такую заинтересованную и содержательную дискуссию. Сразу скажу - для понимания сложно. Но, блин простые вещи неинтересны Правда, кое-где порой немножко проглядывается переход на личности... Рад, если ошибаюсь Просто не хотелось бы такого здесь. Разрешите высказать мнение со стороны, и ммм... неискушенного в математиках наблюдателя. Не судите строго, я в процессе выработки понимания и стыковки позиций перестреливающихся сторон.

Причиной спора, по-моему, является взаимная несогласованность условий применимости отстаиваемых точек зрения, методов и стратегий познания. Ну, вроде, Как и Синь говорят (насколько я понял их позицию):
- Нельзя увлекаться формализацией, математизировать все подряд, увлекаться обобщениями. Потому что это мешает видеть детали, которые могут оказаться существенными - детали, в которых можно добывать новые знания. [Эмоциональный контекст Как: математика - это гнусно и вообще - компромисс перед человеческой тупостью и порочностью. Даешь первичные рецепторы! А как их соединить потом в распознающе-реагирующие сети - дело второе].

А LUCA типа ответствует, опять же в моей интерпретации :
- Да нет же! Наука не может без обобщений и стремится к предельно возможным, чистым абстракциям, к моделям. И если мы начитались научных текстов в разных предметных областях, той же биологии, физике, астрологии (шут.) и начали замечать в них что-то общее, например методы доказательств, формы построения текстов, критерии непротиворечивости высказываний, - то грех этим не воспользоваться и не обобщить. (Если не начнем замечать общее, то у нас проблемы с мозгом Обобщив, стоит попробовать применять его к новым научным текстам и к другим предметным областям. [Эмоциональный контекст: математика - это совершенство, конкретная реальность - грязна, про нее можно в крайнем случае и забыть, потому что жить, играть в математической вселенной - удовольствие само по себе.]

По-моему, в вышесформулированных (мной так нагло) позициях, противоречат друг другу только эмоциональные контексты .

Собственно, мотивировка этого моего поста в проблеске понимания, где стыкуются позиции дискутирующих в этой теме сторон. За "проблеск" надо сказать спасибо Форниту. И он такой:

Познание включает не только активно-действенную фазу, проявленный процесс экспериментирования, проб и коррекций ошибок, формирования пар "восприятие-действие", распознавание значимых ситуаций и контекстов + выработку адаптивного автоматизма, не только сбор больших массивов данных - пищи для интуиции.

Познание включает еще неявный внутренний процесс - интеграцию нового знания со старым (фаза медленного сна?). И значимость этой фазы объективно растет, учитывая то как вырос объем располагаемой человечеством информации. И какими темпами расти продолжает. Как мне представляется процесс интеграции знаний:

Вот имеем какой-то объем данных - прекрасно. Но этим не удовлетворяемся - их нужно как-то зафиксировать, изложить - сформулировать. А сделать это можно очень по-разному, бесчисленным количеством способов. Что главное - от способа формализации очень сильно зависит эффективность=полезность знаний. Словом, одни и те же знания, без искажения истинности, можно записать ооочень длинно, а можно сжато. Для иллюстрации: могли ли древние римляне понять и использовать арабский способ нумерации? А изобрести "ноль", как индусы? - По-моему могли. Это сэкономило бы им килотонны времени! А вот не судьба... Короче, мы постоянно стремимся, осознанно или нет обобщить, экономно, но без искажений зафиксировать опыт. Чтобы эффективно передавать другим (своим детям, или продавать кому).

То же самое в лингвистике - если мы знаем много языков, а все мы отчасти "знаем" уже практически несколько языков - дошли до машинного перевода текстов, тех же сайтов практически на лету, в реальном времени и бесплатно - шутка ли! Раньше о таком мечтали? Ну так вот, мы просто неизбежно начинаем обращать внимание на общие правила языков. А а выделяя особенности - группировать и их. И задаваться вопросами, типа, а почему в этом языке грамматика такая, а здесь немного другая? А почему в этом языке обозначены 3 цвета, а в этом 11? При этом мы же не говорим, что этот язык более правильный, чем этот. Понимаем - просто разная "калибровка" / "дискретизация" / "квантование" континуума-реальности... А когда накопилось прилично обобщений о правилах и их модификациях, ну как не пытаться сформулировать формальный / чистый /абстрактный язык? Конечно, сразу вопрос - а зачем он нужен? Очевидно, что это формализация процесса познания. Понятно, что для кого-то это вторжение в святая святых (как в душу - в сапогах). А для других - очередное освобождение мозга от рутинных процедур, делегирование части мышления технике. Как раз чтобы иметь больше времени на чистую поэзию выработки гипотез. Так постоянно происходило в ходе НТП.

На мой взгляд здесь уместна такая компьютерная метафора. Обобщение, построение абстрактных описаний на новом уровне, можно представить как архивацию файлов. В общих чертах (Нан здесь профи - он поправит), в ряде данных выявляются общие места, повторы, которые затем обозначаются краткими (экономичными для компьютера = мозга) символами - аналог формирования абстракций. Потом выявляются повторяющиеся сочетания символов, очередное сжатие-абстрагирование итд. На коэффициент сжатия влияет выбор числа фрагментов сжимаемого ряда. Чем их больше, тем больше вероятность повторов. Но тем больше и уровней сжатия - абстрагирования. Контекст применимости абстракций данного уровня - множество абстракций предыдущего. Поскольку выбор числа фрагментов произволен и на корректность не влияет, то можно пробовать разные варианты, задавать разную точность описаний, подбирая оптимальную.

Но надо отметить - этот процесс для заданного, фиксированного объема знаний. А на практике он постоянно корректируется и растет. Поэтому требуется его "переархивировать". То есть новый опыт влияет на структуру старого. Это как постоянная перетряска своего "чердака". Поэтому у людей в возрасте новизна вызывает такой дискомфорт. У ученых и людей умственного труда, кстати, в меньшей степени. Это к другой теме - о пользе познавательной активности для здоровья, омолаживающее воздействие образования (см. здесь статью Нана "Энергетика организма").

Мне представляется, что математика и логика, о смысле и ценности которых говорит LUCA, обслуживают этот процесс. А состыкуются оппонирующие подходы где-нибудь в формализациях на языке "системной нейрофизиологики". При чем там не важно кто субъект - человек или кошка. Но до этого пока далеко. Хотя...

В заключение притча. Стоят два друга на улице, разговаривают:
- Смотри, кошка
- Да это же не кошка, а экскаватор
- Да не, кошка
- Экскаватор, я говорю
- Ты чо? Какой экскаватор? Это же живое существо
- Разуй глаза - никакое оно не живое!
...
- Но согласись, то что мы наблюдаем - объективная реальность.
- Согласен.
Жмут руки. Занавес.

Мудрая хитрая мораль: всегда можно договориться
И еще мораль-бонус - о контексте употребления понятия (способе распознавания) "объективная реальность".

автор: Синь сообщение 22081

литературы, которая до этого откладывалась; утромбовывается прочитанное;

во-во! УТРАМБОВКА лучше звучит, чем "интеграция".

автор: nan сообщение 22083

sergish, аналогии с архивированием ничем тобой не обоснованы, - просто вырвалась идея на волю

Да, "вырвалась на волю" - точнее не скажешь, не углядел
Может, я "архивирование" перепутал со "сжатием"? Теория вейвлетов - это близко?

Математика нередко становится очень наглядной, когда мы фактически её используем для изложения физической теории. Геометрией дело здесь конечно не исчерпывается.
Популярнейший пример - теория вероятностей, которая на популярном уровне излагается именно как часть физики. Однако многие даже не догадываются, что фактически теория вероятностей в чисто математическом виде представляет собой многозначную логику. В классической двузначной логике, как известно, каждому предложению сопоставляется два условных символа - 0 или 1, "истина" или "ложь".

В теории вероятностей каждой формуле p приписывается в качестве её вероятности некоторое число Pr(p), большее или равное нулю и меньшее или равное 1.
Вероятность, как функция, выражающая меру, удовлетворяет соотношению:
Pr(pИЛИq)=Pr(p)+Pr(q)-Pr(pИq).

Таким образом, в теории вероятности в отличие от интерпретации классической логики высказываний Pr(pИЛИq) определяется не только через Pr(p) и Pr(q)