Тема форума: «Об определениях.»

Синь, затронутая тобой тема невнятности-нечёткости определений в математике действительно очень интересна и нетривиальна.

Тоже позволю себе цитату из М.Клайн. "Математика. Утрата определённости":
"Математический анализ, ядро которого составляет дифференциальное и интегральное исчисление, - был построен на совсем не существующих логических основаниях арифметики и алгебры и на не вполне ясных основах евклидовой геометрии."

Попробуем поконкретнее понять, почему такое происходило, и означает ли это принципиальную неопределённость всех без исключений математических понятий.

Математика - экспериментальная наука не только в том смысле, в котором показана гипотетичность многих конкретных формулировок, как гипотеза Гольдбаха, например, или гипотеза "чисел градин - 3N+1".

Математика эмпирична и в другом. Нередко математики интуитивно нащупывают какую-то абстрактную структуру, которая вдруг оказывается необычайно эффективной.
Так, древние греки, которые даже не подозревали. что они древние, придумали способ бесконечно малых, с помощью которого вычислили формулу площади круга и других заумных фигур. Интуитивно этот метод вначале был ясен: чем меньше дуга окружности, тем больше она похожа на хорду. Главное, что он был эффективен.
Впоследствии этот метод был развит прежде всего Ньютоном и Лейбницем в основы дифференциального и интегрального исчисления. Ведь большинство людей производные и интегралы понимают не в термина эпсилон-дельта (через них определяются пределы), а в интуитивных представлениях о бесконечно малых величинах.
Далее из-за неоднозначного восприятия возникли разные уточнения-интерпретации этого понятия, пока не устаканились в окончательные формулировки.

Другими словами есть определения сформированные, устаканенные, а есть - интуитивные, находящиеся в процессе уточнения, в которых явно сформулирована только часть свойств (возможно даже логически противоречивых), а другая часть неявно обозначена.

Математика - экспериментальная наука. Она ищет не только доказательства, но и эффективные методы вычисления-построения абстрактных структур. Поэтому естественно, что так или иначе уточняются и критерии строгости, и логические критерии.

Но у математики есть и другая особенность - из-за стремления к чёткости и ясности определения так или иначе становятся настолько ясными, насколько это вообще возможно в человеческом мышлении.

Именно эта чёткость - причина того, что математические теоремы, доказанные две тысячи лет назад так и не опровергнуты.

Здесь важно понять, что
в действительности математики искали не определение чего-то ради определения, а эффективную абстрактную структуру, с помощью которой можно успешно решать какие-то задачи: что-то вычислить или доказать. Нужно ли ходить за примерами? Их тьма тьмущая.
Именно в этом смысле нужно в первую очередь понимать исторически существовавшее несовершенство многих понятий, таких как функция.

Сейчас понятие "функция" является вполне определённым, так же как и понятие натурального числа. И это не смотря на то, что из по прежнему ПО РАЗНОМУ (чаще всего ЭКВИВАЛЕНТНО) определяют в разных исчислениях. Не противоречит ли этот факт сказанному выше? Нисколько.

В каждом конкретном случае, данного определения является вполне достаточно для конкретного рассмотрения, если просто определённо фиксировать определение.

Конечно ни в коем случае нельзя определять как угодно и что угодно.

Это касается особенно очень широких универсалий, употребление которых приводит к противоречию, как было с канторовским понятием множества.

Отслеживание непротиворечивости определений - первый шаг к выяснению правомочности определения в математике.

автор: nan сообщение №21419

функция распознавания или вообще работает и тогда успешна или не работает Успешность можно интерпретировать в данном случае только вот так обезличено. Поэтому после замечания kak было использовано слово "адекватным", т.е. соответствует профиль на входе сигналу распознавания или нет.

nan и kak, спасибо за ответ. Мне тоже понравился этот вариант больше:
Определить - значить так задать параметры распознания чего-то, что распознание всегда будет адекватным. т.е. соответствует профиль на входе сигналу распознавания или нет..
Я правильно "распознал" суть формулировки?


Но определить - это не значит указать способ распознавания. Универсального для данного определения способа может и не быть.

Здесь важно слово "всегда" - это конечно идеализация. Но мы без идеализаций и мыслить-то не способны, так что это слово употреблено, как мне кажется к месту.

Как обычно, стараюсь "поиграться" с новыми (для меня) формулировками.

Выходит, если из определения следует. Если мы имеем две неких вполне адекватных личности, то они распознают ОДНО И ТО ЖЕ. Выглядит вполне корректным.


Интересно. Является ли данная формулировка понятия "определить" определением?

И ещё один важный вопрос:
Попробовал переформулировать это понятие чуть-чуть.
"Определить - значить так задать параметры распознания чего-то, что распознание всегда будет однозначным.
Исказил ли я что-нибудь?

автор: nan сообщение №21419

Не в качестве "ОПРЕДЕЛЕНИЯ истинности" (чем определения не занимаются

Если говорить об истинности вообще, широкое оперирование универсалиями или неоднозначно, или приводит к противоречиям.
Но, истинность арифметических формул конкретно подчиняется критерию "распознать адекватно и ОДНОЗНАЧНО (это вместо слова "всегда"), когда это возможно"
Поэтому исходя из этого критерия, формулировка истинности арифметических формул является определением.

автор: nan сообщение №21419

а в виде набора того, что формирует совокупность качеств (признаков), который является условием распознавания - по аналогии с распознавателями, реализуемым в мозге (а не множестве других принципов распознавания).

Хорошо сказано.

Для сочности восприятия можно было бы добавить "который является ДОСТАТОЧНЫМ условием распознавания"

автор: nan сообщение №21419

Т.к. логика нейросети строится с помощью единственного элемента - распознавателя (в отличие от булевой логики), однако субъективно именно такой логикой строится любая мыслимая вселенная (это - в противовес твоему: "...ты лишаешься тем самым целой вселенной").

У этого единственного элемента - распознавателя - есть одно хорошее свойство - распознавать структуру булевой логики, и как следствие...определять через эту структуру такие объекты, которые не обязательно будут распознаваться непосредственно. И тогда действительно мы не лишаемся этой вселенной. По-видимому в этом вопросе мы пришли к консенсусу?

Про жизнь в этой ветке говорить не буду, а хотел бы в заключение коснуться ещё другой тонкости определений.

Древние греки, открыв силу логики, внятно поняли, что все понятия определить нельзя. Должен существовать базис из неопределяемых понятий (сейчас мы их называем исходными термами и предикатами), через который мы определяем всё остальное.

А неопределяемые понятия связываем формальной структурой аксиом.
Получаются две системы распознавания объектов:
1. Через аксиомы. Удовлетворяет объект аксиомам Пеано, значит, он - есть множество натуральных чисел
2. Через другие понятия (базовые и производные от них).

При внимательном рассмотрении оказывается определённая эквивалентность этих подходов: мы всё формулируем через обозначения системы свойств этих объектов.

Можно сказать, что система распознавания символических и абстрактных конструкций в математике развита по чёткости и точности формулировок настолько, насколько это вообще сейчас возможно в человеческом мышлении. Хотя исторически эта система распознавания совершенствуется.

автор: kak сообщение 21446

но это не эмпирика, это семантическая игра

kak, если ты защищаешь некоторый взгляд, согласно которому не видишь эмпирики в математике, то простой заменой термина "эмпирика" на "семантическая игра" не обойтись.
Намного понятней выглядит терминология наших академиков-математиков (Гельфанада, Арнольда и др.) - "ментальный эксперимент", поскольку термин говорит сам за себя.

Хочешь оспорить эмпирический характер математики - изложи развёрнуто смысл своего термина, и явно изложи свою точку зрения.

автор: kak сообщение №21446

В последнее время все больше обнаруживается областей, где математика «отдыхает», либо ищет новые абстракции для объяснения отношений между обнаруженными неоднородностями.

Это оптимизм, основанный на незнании. Такое было всю историю математики.автор: kak сообщение №21446

Такие разделы, относящиеся к математике как фракталы, топология, фазовые пространства вообще служат как визуализация неких невычислимых процессов.

Исследование невычислимости процессов - одно из магистральных направлений математики с 30-х годов прошлого века. Это высказывание НИКАК не опровергает

Именно эта чёткость - причина того, что математические теоремы, доказанные две тысячи лет назад так и не опровергнуты

автор: kak сообщение 21446

Вот и появляется нечеткая, невычислимая логика и математика.

Про нечёткие множества давно слышал и шапочно знакомился с некоторыми статьями. Этот факт также нисколько не опровергает чёткость математических формулировок.

А вот про невычислимую логику, признаться, слышу в первый раз. Что это такое?
Невычислимость - это алгоритмическая неразрешимость какой-то задачи, из неё никак не следует нечёткость математических формулировок.
А вот невычислимая логика...

По поводу примеров. Я показал внятный примера эмпиричности математики - гипотезы Гольдбаха (гипотетичного выражения, которое подтверждается массой проверок - назови хоть "семантической игрой", а эти проверки экспериментальным подтверждением останутся). Могу с ходу по памяти назвать ещё больше десятка конкретных примеров и даже историю экспериментального обоснования этих гипотез. Что должно измениться от количества приведённых примеров?
За множеством следующих примеров - добро пожаловать на сайт "Журнала экспериментальной математики"
http://www.expmath.org/

Эмпиричность математики заключается в том, что:

1. В экспериментальном обосновании явно сформулированных гипотез - в том числе и на формальных искусственных языках, хотя и не обязательно.

2. Формализация языка каких-то математических исчислений - это в том числе и превращение вывода формул в игру символов. Символы - физические объекты. Игра сия оказывается очень нетривиальной и во многом экспериментальной. Принципиально манипулирование с символами или манипулирование с отображениями в голове человека - чисто физический процесс, который без эмпирики немыслим.

Близкий пример: закономерности шахматной игры - это одновременно и математический анализ, и эксперимент.

3. Как уже писал, не стоит сбрасывать со счетов и экспериментальный ПОИСК новых эффективных абстрактных структур, доказательств, вычислений.

Тем не менее, kak, я тебе благодарен за возражения. Потому что в дискуссии чётче очерчивается смысл определённых утверждений.

автор: kak сообщение 21456

Одним только утверждением: «Символы - физические объекты», ты все свои доказательства перечеркнул. Если символ физический объект, у него есть ФИЗИЧЕСКАЯ величина (параметр). Назови хотя бы одну физическую величину символа.

Твой вопрос выглядит странным.
1. Если твой вопрос воспринимать буквально, то любой символ в тексте обладает множеством физических свойств (состав, цвет и т.д)
2. Если предположить, что ты ПОДРАЗУМЕВАЛ значимые для математики физические величины, то значимыми величинами будут любые, которые позволяют нам сказать, одинаковы ли в тексте две буквы, или различны (Пример - горизонтальная черта, вертикальная черта, точка... и т.д - для каждого символа - свои значимые параметры).
3. Если бы символы не имели физических величин, они не могли бы служить символами. В этом плане твоё рассуждение звучит ВДВОЙНЕ ЗАГАДОЧНЕЙ
3. "все свои доказательства перечеркнул" - опять отсутствие логики. Предположим, что что действительно, символы вдруг не обладали бы физическими величинами (признаться, это - конечно бред, но просто предположим). Каким загадочным образом из этого должно следовать опровержение остальных двух пунктов?

Вспомнил байку, которая вроде как реальная история.

Сдаёт абитуриентка устный экзамен по математике. Формулирует пятый постулат Евклида.
"Через точку вне данной прямой можно провести только одну прямую, ЕСЛИ ОНА ПРОВЕДЕНА РОВНО"

Экзаменатор - что за чушь? Туда-сюда. Абитуриентка достаёт учебник и показывает:
"Через точку вне данной прямой можно проветси РОВНО одну прямую, параллельную данной"

автор: kak сообщение 21459

могут ОБОЗНАЧАТЬСЯ символом, например, облака похожие на верблюда

Такого рода символы тоже существуют. Они называются ИКОНИЧЕСКИЕ символы. Но они к предмету обсуждения не имеют никакого отношения.
автор: kak сообщение №21459

И твоя проблема в том, что ты путаешь причину и следствие. Сначала свойства, качества, события – это причина, а затем набор из этих причин (в зависимости от рецептивного поля) – это следствие, то есть реакция, поведенческий акт, символ.

Вчитываюсь, вчитываюсь, а понять не могу.
Можно поконкретней что из чего следует, и что именно КОНКРЕТНО опровергает или обосновывает. Какая связь с эмпирикой?
Просьба - не игнорировать и предыдущие вопросы.

автор: LUCA сообщение 21458

Вспомнил байку, которая вроде как реальная история.

Сидят в ресторане два профессора. Один сокрушается, что молодежь мол совсем не интересуется математикой ну и всё-такое.

Второй защищает, что мол еще есть интересующиеся и не все потеряно. Спорят, приводят аргументы друг другу...

И когда первый отходит в туалет, второй подзывает блондинистую официантку и говорит:

- девушка, когда вернется мой товарищ, то я вас подзову и задам заумный вопрос, на который вы должны ответить "треть икс куб". Сможете?

- Да, без  проблем

Ну, и когда товарищ возвращается, этот второй говорит, что все-таки я прав и в доказательство подзывает официантку и спрашивает: девушка, вот подскажите пожалуйста, чему равна первообразная от Х²?

Девушка отвечает, как и договаривались "треть икс куб"

У первого профессора глаза на лоб  у второго самодовольная ухмылка

Девушка уже почти отошла от стола, но потом оборачивается и добавляет: "Да, и плюс константа"

Теперь уже о обоих профессоров

Каковы бы ни были ПЕРЦЕПЦИИ, системы распознавания, математический эксперимент существовал всю историю математики. А сейчас он стал проводиться не только на бумаге и в голове, но и на другом физическом объекте - компьютере.
Компьютер - это другой чисто физический объект, оперирующих с символами.
Не бывает объектов, которые оперируют с символами и при этом нефизические.
От робкой проверки истинности гипотезы Гольбаха, "чисел-градин", теоремы Ферма (когда её ещё не доказали) до доказательства недоказанных до сих пор утверждений. Здесь перспектива, хотя и не ясная, но явно впечатляющая.
Возникают и казусы, когда компьютер выдаёт доказательство на сотни страниц, а человек не в состоянии его проверить.
Получается чисто физическое обоснование математической истины.

Примеры эти тоже хорошо известны - задача раскраски карты решена компьютером, но не проверена человеком, ввиду громоздкости доказательства и ограниченности человеческих мыслительных ресурсов.

Вот интересные размышления по этому поводу.
http://www.manwb.ru/articles/science/old_science/Mathem_BrDavis/

* Palarm "Галилей наблюдал падение пушинки в колбе с откачанным воздухом"

Это вранье в приведенной мной цитате, которое я не заметил: "и создав идеальные условия для падения тела без сопротивления обосновывает свою точку зрения". И ввел тебя в блуд.

Галилей не мог наблюдать падение пушинки, потому что первый вакуумный насос был сконструирован Отто фон Герике в 1650, а Галилей умер в 1642. Свой закон он сформулировал в результате мысленного, а не физического эксперимента.

* Palarm Странно утверждение "реально не наблюдается" - в смысле "невооруженным глазом"?

Еще раз читаем закон: "В пустоте все тела, независимо от их масс, падают с одинаковым ускорением."

Во Вселенной нет идеального вакуума. А закон сформулирован для идеальной пустоты. Поэтому и написано: "реально не наблюдается".

* nan "абстракции необходимы в формализациях и философы будут продолжать использовать их, хотя крутой исследователь постарается увидеть суть явления без таких шор."

По-твоему абстракции являются шорами, мешающими увидеть суть явления. А по-моему все наоборот. Абстрактное и есть суть явления. Галилей потому и понял суть свободного падения, что абстрагировался от атмосферы и описал падение в идеальной пустоте.

* nan "Так что поклеп не принимается "

Твой поклеп на абстракции тоже не принимается .