>>> По-моему, как раз-таки в случае математики это особенно верно. [картинка скрыта]
>>> А здесь нет. Ты уверен в этом, а можно привести убедительные аргументы?
Далее следует цитата из книги "Очерк истории теории функции действительной переменной", как пример одного из имеющихся ввиду аргументов. Красным выделено, то что представляется особо актуальным для обсуждения. Глава отсканирована, поэтому возможны опечатки. Сканирование заняло прилично времени, но что не сделаешь ради аргументов :)
Ссылка на книгу в издательстве: http://www.urss.ru/cgi-bin/db.pl?lang=Ru&blang=ru&page=Book&id=33734&list=48
Характер произвола в функциональном соответствии
Приведенные в предыдущем разделе определения понятия функции у Эйлера, Кондорсе, Лакруа и Фурье, казалось бы, не вызывают сомнения в том, что то представление о функциональной зависимости. которое теперь чаще всего называют понятием функции по Дирихле, начало складываться с середины XVIII в. и достигло определенной кульминации уже в 1822 г. в «Аналитической теорий теплоты», Однако сомнения в правомочности такого вывода существую, они большей частью высказываются неявно — самим фактом отнесения этого определения к Лобачевскому, Дирихле I или даже Больцано или общей оценкой характера научного творчества названных ученых вроде оценки Фурье у Дьедонне как математика XVIII в., но такие сомнения высказываются и явно, Последнее, быть может, наиболее четко сформулировано в книге Хокинса, и на этом мы остановимся подробнее.
Процитировав несколько мест из «Аналитической теории теплоты» Фурье, где говорится о понимании последним природы произвольной функции, в том числе и часть приведенной на стр. 42 цитаты, Хокинс продолжает: «Эти отрывки, особенно последнее высказывание, могут навести на мысль, что Фурье владел чрезвычайно общей концепцией функции. Фактически это не так. Концепция функции у Фурье была концепцией его предшественников восемнадцатого столетия» (стр. 6). Поскольку же Хокинс не рассматривал указывавшихся в предыдущем разделе определений Эйлера, Кондорсе и Лакруа, а привел лишь определение Эйлера 1748 г. (стр. 3—4), да указал на наличие у Эйлера концепции функции как кривой, проведенной свободным движением руки (стр. 4), то фактически им утверждается, что Фурье не пошел дальше Эйлера в отношении таких подходов. И даже отметив наличие у Фурье функций, имеющих конечное число разрывов в современном смысле пли недифференцируемых в конечном числе точек, Хокинс все же говорит: «Кажется поэтому, что Фурье имел в виду [в его приведенных Хокинсом определениях. — Ф. М.] функции, графиками которых являются гладкие кривые, за возможным исключением конечного числа исключительных точек» (стр. 6).
В пользу такого толкования понимания функциональной зависимости у Фурье Хокинс приводит следующие доводы. Во-первых, Фурьа использовал термин «разрывные функции» в смысле XVIII в, т.е. означающий функции, представимые на разных участках различными аналитическими выражениями. Во-вторых, Фурье, говоря о «произвольной» функции, имел якобы в виду «функцию, не задаваемую единым уравнением»; примера этому Хокинс, вопреки принятому им в его книге обычаю, не приводит; В-третьих, Фурье считал, будто произвольные функции ведут себя «очень хорошо», в подтверждение чего приводится утверждение Фурье, что произвольная функция представима интегралом Фурье. Наконец, последним доводом являются слова Фурье, относящиеся к преобразованию, носящему его имя: применив к функции f(х) свое преобразование, Фурье писал, что f(x) «приобретает благодаря этому преобразованию все свойства тригонометрических величин; таким образом, дифференцирование, интегрирование и суммирование рядов применимы к функциям вообще так же, как и экспоненциальным тригонометрическим функциям».
Вряд ли можно признать убедительными соображения Хокинса по поводу понятия функции в XVIII и начале XIX в., в частности у Фурье. Прежде чем рассматривать их подробнее, сделаем одно общее замечание.
Следует проводить различие между тем, какой смысл вообще вкладывает тот или иной математик в формулируемое им общее понятие, и тем понятием, с которым он фактически работает в своих исследованиях. Для того чтобы рассуждать о том или другом понятии, недостаточно понимать его во всей мыслимой в соответствующее время общности. Нужно еще, чтобы оно подчинялось принятым в эту эпоху правилам рассуждений, правилам аналитических выкладок, выражалось на общепринятом математическом языке. Естественно поэтому, что некоторые математики, например XVIII в., могли иметь очень общее понятие функции, но фактически работали с узким классом функций, ибо наличный матема-тический аппарат был неприменим к функциям более общего типа. И на основании того, что в их работах постоянно идет, речь о функциях относительно узкого класса, отрицать, что у них было более общее представление о функции, даже если они сформулировали его явно, было бы неверно, — это все равно, что отрицать наличие общего понятия функции в современной математике. Действительно, если рассмотреть совокупность математической литературы, где речь идет не об определениях понятия функции, а о фактическом изучении и применении их свойств, то в общем-то максимально общим понятием функции современной математики следует признать понятие измеримой функции. Литература, в которой рассматриваются неизмеримые функции, хоть таковая и есть, настолько растворена в общей массе книг и статей, посвященных измеримым функциям и даже функциям более узких классов, что на их фоне она остается незаметной, И это относится не только к понятию функции и не только в отношения измеримости.
Перейдем теперь к соображениям Хоккинса по поводу понятия функции Фурье.
Действительно, у последнего термин «разрывная функция» порой употребляется в указанном Хоккинсом смысле. А что ему оставалось делать? Таков был язык математической литературы того времени, другой смысл этого термина устанавливался позднее. Это не означает отсутствия у Фурье функций, разрывных в том смысле, что при непрерывном изменении аргумента функции совершает скачкообразное изменение. Такие Функции у Фурье были (Хокинс, как сказано выше, признает это), и он специально строит их аналитические представления, хотя они и не могут быть описаны «свободным движением руки». Правда, рассматриваемые Фурье функции принадлежат относительно узкому классу разрывных или недиффереицируемых в небольшом числе точек функций, но было бы неразумным требовать от Фурье большего.
Подобные разрывные или недифференцируемые в конечном числе точек функции далеко не впервые вводились Фурье. Напротив, весь пафос его усилий при рассмотрении таких функций относился к тому, что они могут быть представлены единым аналитическим выражением — тригонометрическим рядом, благодаря чему теряло смысл старое различие между разрывными и непрерывными функциями, и при желании сохранить прежние термины нужно было позаботиться о том, чтобы придать им новый смысл. И когда Хокинс утверждает, что Фурье, говоря о произвольной функции, имел в виду «функцию, не задаваемую единым уравнением», то этим своим утверждением он приписывает Фурье чрезвычайно общее понятие функции — функции, не представимой тригонометрическим рядом.
Не достигает цели и третий довод: при помощи интеграла Фурье можно представлять функции очень широких классов, особенно если понимать представимость в том или ином расширенном смысле, так что если считать поведение функций «очень хорошим», когда они представляются интегралом Фурье, то к функциям с таким подоведением нужно причислить гораздо более «произвольные» функции, чем это думает Хокинс, То, что Фурье недоказывал своего утверждения с желательной теперь строгостью - чего, кстати, он и не мог сделать, — не говорит против справедливости его высказывания в очень широких пределах, а тем более об узости его концепции функции.
Прав Фурье в своих словах, приведениях Хокинсом в качестве. четвертого довода, так как их можно интерпретировать в том смысле, что имелись в виду не сами «произвольные» функции, а их образы при преобразовании Фурье; такие образы по своим свойствам проще прообразов и над ними действительно можно осуществлять обычные аналитические преобразования, Если же учесть современные представления, например соображения Шварца о преобразовании, то заключительные слова Фурье можно отнести и к прообразам.
Сказанным мы не хотели бы создать впечатления, будто Фурье предвосхитил очень многое из теории функций и даже функционального анализа XX в. У него можно вычитать лишь теперь намеки на некоторые из современных воззрений, вроде представимости произвольной измеримой функции рядом Фурье иди идеи обобщенной функции, причем эти намеки не могли получить тогда развития вследствие неразвитости математического аппарата начала XIX в. Что же касается понятия функции одного действительного переменного, то с ним дело обстоит несколько сложнее.
Какую степень «произвола» в функциональном соответствии фактически мыслил Фурье в своих словах, сказать трудно. Если сопоставить эти слова с «определением Дирихле», то нельзя не поразиться не только их близости по внешнему виду, но и тому факту, что понимаемое буквально определение Фурье существенно общее (см. стр, 53). Однако то, что у Фурье значения функции следуют друг за другом совершенно произвольно, а каждое из них задается так, как если бы оно было единственным, что эти значения не подчиняются единому закону (кстати, последние слова Фурье у Хокнаса опущены), — все это звучит слишком современно, чтобы понимать их буквально и с точки зрения сегодняшнего дня. Достаточно поставить вопросы: допустимо ли, что Фурье, говоря о произвольности соответствия, мог мыслить это соответствие разрывным в каждой точке или представить такое соответствие, при котором функция принимает бесконечные значения на множестве положительной меры, — чтобы ответить на них отрицательно. Даше на вопросы о том, допускал ли Фурье в своем «произвольном» соответствии возможности наличия просто бесконечного числа разрывов или точек недифференцируемости, следует, видимо, ответить отрицательно.
Тем самым мы, казалось бы, приходим к выводу Хокинса о том, что функции у Фурье кусочно гладкие кривые, разве лишь с конечным числом разрывов, тем более что и работает он именно с такими функциями, а о более общих функциональных соответствиях он и не помышлял.
Все же с таким выводом трудно согласиться, так как вывод подобного типа характеризовал бы лишь половину, быть может даже меньшую часть фактического положения вещей. Дело в том, что вводимые математиками общие понятия почти всегда являются достаточно неопределенными, расплывчатыми, и лишь постепенно они приобретают более или менее четкие очертания, границы, а чем более общим является такое понятие, тем больше его неопре-деленность, тем дольше эта неопределенность сохраняется, — и это не недостаток, а скорее достоинство общих понятий. Именно неопределенность, гибкость новых концепций открывает им широкое поле приложений. Таким как раз было определение функционального соответствия у Фурье. Если на поставленные выше вопросы можно почти с достоверностью дать отрицательные ответы, то на такие гипотетические вопросы: отнес бы Фурье к объектам, подпадающим под его определение, функцию Дирихле, если бы она ему была предложена, признал бы Фурье непрерывную функцию. неимеющую производной на бесконечном множестве точек, если бы такая функция была построена в 1822 г., — следует, видимо, ответить положительно, Это подтверждается практикой первой половины XIX в., когда такие объекты были введены в математику.
Так что на вопрос о характере произвола в функциональном соответствии у Фурье мы могли бы ответить в дополнение к сказанному следующее: он не был у него жестко определенным, фиксированным какими-либо границами, и в случае необходимости мог быть расширен и углублен. Это относится не только к Фурье, но и к Эйлеру.
Действительно, опять, казалось бы, ясно: в 1748 г. Эйлер придерживается в основном взгляда на функцию как на аналитическое выражение, единую формулу; в 1755 г. он дает дефиницию общего понятия функции. Но что он мыслит под «чрезвычайно широким характером» функционального соответствия, под «всеми способами, какими одно количество может определяться с помощью других»? Ответить на это, вероятно, еще труднее, чем на аналогичный вопрос относительно формулировки Фурье. Достаточно спросить о том, допускал ли Эйлер функции, имеющие конечные разрывы, чтобы получить доводы в пользу одновременных «да» и «нет». Его кривые, «проведенные свободным движением руки», непрерывны в нашем смысле, и с некоторой определенностью можно было бы утверждать, что в практике его исследований более общие функции в общем не встречались. Но эти функции могут иметь производные, обладающие конечными разрывами в любом конечном числе точек, и о таких производных Эйлер говорил. Но включал ли он эти производные в класс объектов, характеризуемых им словом «функция»? Ведь их нельзя провести свободным движением руки, если это движение осуществлять непрерывно.
Характерен также и конкурс, объявленный в 1787 г. Петербургской Академией наук. Знаменитый спор о проблеме колеблющихся струн со всей остротой поставил проблему понимания «произвольной функции», входящей в интеграл уравнений в частных производных. К 1787 г. он был далек от своего решения, несмотря на усилия выдающихся аналитиков. Постановка темы и одно из предложенных решений достаточно интересны, чтобы остановиться на этом. Тема была предложена такая:
«Определить, являются ли произвольные функции, вводимые при интегрировании дифференциальных уравнений, которые содержат более двух переменных, принадлежащих произвольным кривым или поверхностям, алгебраическими, трансцендентными или механическими, или они разрывны, или получаются свободным движением руки; или же они законно могут быть отнесены лишь к непрерывным кривым, могущим быть выраженным алгебраическими или трансцендентными уравнениями.»
Здесь произвол функционального соответствия маслится не более общим, чем у кривой, начерченной свободным движением руки. Но в работе Арбогаста «Мемуар о природе произволиных функций входящих в интегралы уравнений в частных дифференциалах» премированной в 1790 г. Академией, этот произвол существенно расширяется. Прежде всего он показывает, что если функция образована частями различных аналитических кривых, то разрывы (в современном смысле) ее производной не препятствуют тому, чтобы эта функция удовлетворяла предложенному уравнению в частных производных. В этом Арбогаст еще не отходил от своих предшественников, так как функции с разрывными в нашем смысле производными допускали и Даламбер, и Лаплас, и Кондорсе. Любопытно в этом то, что — особенно это откосится к Деламберу — получалось, будто производные таких функций сами являются функциями.
Но Арбогаст пошел дальше, утверждая, что и разрывные в нашем смысле функции могут входить в интегралы уравнений в частных производных, и даже предложил для них специальный термин.
На эту тему можно писать сколько угодно, и вопрос до конца вряд ли будет выяснен. Как справедливо заметил Тимченко, «математики прошлого [т. е. XVIII. — Ф. М.] века не различали всех тех возможных особенностей в природе произвольных функций, которые с таким вниманием и тщательностью рассматриваются в наше время; вот почему рассуждения их всегда несколько неопределенны и их, иногда нелегко выразить в терминах, принятых современными математиками». К этому можно добавить, что сказанное Тимченко относится не только к математикам XVIII в.
