Тема форума: «Об определениях.»

>>> (LUCA) Именно в математике определения даются с особой тщательностью.

Навряд ли.

Встречалась работа "Очерк истории теории функций действительного переменного" Ф.А. Медведева, в которой довольно дотошно были проанализированы этапы развития таких понятий. как лимит, производная, непрерывность функции, понимание того, что значит "задать функцию" и так далее. Так вот в работе автор между делом показал, что во-первых, математики довольно легко делают определения из разряда, кто во что горазд; во-вторых, зачастую выбранное определение оказывается сильно шире того, что в реальности использует автор на практике; что четкость определения порой может навредить и увести исследователя от многих интересных вопросов, с которыми он иначе мог бы соприкоснутся; что порой автор использует понятие шире, чем его принято определять в его время (а он его вообще может не определять и как он его использует ясно только из анализа его работ); что в истории математики известны примеры, когда ошибки в рассуждениях не замечались десятилетиями в том числе из-за путаницы в определениях - это к вопросу об оценке "тщательности".

От условно говоря "человеческого фактора" не уйти нигде, в том числе и в Математике, если под ней понимать живую науку, которая развивается живыми людьми, каждый из которых чудит (и иногда это идёт на пользу науке) по-своему.

>>> (NAN) Определить - значить так задать параметры распознания чего-то, что распознание всегда будет успешным.

Вообще говоря, определение это инструмент и как следствие, требование "всегда будет" может сильно ограничивать возможности инструмента :) Определение должно способствовать развитию понимания у сообщества исследователей и отбрасываться, когда будут найдены более качественные абстракции, вот и всё. :)

Более широкое определение, или не соответствующее моде, заданное без требуемой "тщательности", недопонятое определение и случайно использованное не так, как у всех, может через какое-то время подвести исследователя к новым интересным вопросам. По-моему, как раз-таки в случае математики это особенно верно. :)

>>> Ты оперируешь:1) Авторитетом Ф.А.Медведева

Я бы сказал, что я излагаю свои мысли, ссылаясь при этом для удобства на книгу, в большей степени для того, чтобы между делом, за одно, рассказать о неплохой книге :)

>>> СИЛЬНО УСОМНИТЬСЯ ... определение истинности формул в арифметике ...

Перед нами есть предмет исследования "арифметика", которая вообще говоря родилась из житейских рассуждений о том, что орех и орех - это орех-орех; палка и палка - это палка-палка; и что между этим делом есть что-то общее :) То есть вообще говоря арифметика появилась из быта, а не из гхм... "В метаязыке задаётся алфавит, правила построения формул, правила "распознавания" тех формул, которые мы условно называем утверждениями (в формальном языке это просто последовательности символов), правила "распознавания" тех текстов, которые являются доказательствами теорем."

То есть предмет исследования вполне себе физичен, наблюдаем, его можно пожевать или поносить с собой, его нельзя вынести в "мета" уровень и там задать "мета" критерий истинности того, что в реальном мире :) Просто от того, что яблоки они вполне себе реальны и их можно есть и именно это есть критерий истинности, никакой другой простой люд не устроит, народ сразу что-то заподозрит и будет прав )))

Проблема состоит в том, что математики в последнее время начали сильно отвлекаться от быта, от реалий предмета, который они исследуют, грубо говоря, математики забывают корни своей науки, из чего и как она появилась, чему она служит.

Далее без отсылка к авторитетам, а как развитие мысли:

http://www.ega-math.narod.ru/Arnold2.htm

Математика – часть физики. Физика – экспериментальная, естественная наука, часть естествознания. Математика – это та часть физики, в которой эксперименты дёшевы.

...

Здесь в математике разработана специальная технология, которая, в применении к реальному миру, иногда полезна, а иногда может приводить и к самообману. Эта технология называется моделированием. При построении модели происходит следующая идеализация: некоторые факты, известные лишь с некоторой долей вероятия или лишь с некоторой точностью, признаются «абсолютно» верными и принимаются за «аксиомы». Смысл этой «абсолютности» состоит ровно в том, что мы позволяем себе оперировать с этими «фактами» по правилам формальной логики, объявляя «теоремами» всё то, что из них можно вывести.

Понятное дело, что ни в какой реальной деятельности полностью полагаться на подобные дедукции невозможно. Причиной является хотя бы то, что параметры изучаемых явлений никогда не бывают известными нам абсолютно точно, а небольшое изменение параметров (например, начальных условий процесса) может совершенно изменить результат. Скажем, по этой причине надёжный долгосрочный динамический прогноз погоды невозможен и останется невозможным, сколь бы ни совершенствовались компьютеры и регистрирующие начальные условия датчики.

Совершенно таким же образом небольшое изменение аксиом (в которых ведь мы точно уверены быть не можем) способно, вообще говоря, привести к иным выводам, чем дают выведенные из принятых аксиом теоремы. И чем длиннее и искуснее цепь выводов («доказательств»), тем менее надёжен окончательный результат.

Сложные модели редко бывают полезными (разве что для диссертантов).

Математическая технология моделирования состоит в том, чтобы от этой неприятности отвлечься и говорить о своей дедуктивной модели так, как если бы она совпадала с реальностью. Тот факт, что этот – явно неправильный с точки зрения естествознания – путь часто приводит к полезным результатам в физике, называют «непостижимой эффективностью математики в естественных науках» (или «принципом Вигнера»).

Здесь можно добавить замечание, принадлежащее И. М. Гельфанду: существует ещё один феномен, сравнимый по непостижимости с отмеченной Вигнером непостижимой эффективностью математики в физике – это столь же непостижимая неэффективность математики в биологии.

«Тонкий яд математического образования» (по выражению Ф. Клейна) для физика состоит именно в том, что абсолютизируемая модель отрывается от реальности и перестаёт с нею сравниваться. Вот самый простой пример: математика учит нас, что решение уравнения Мальтуса dx/dt = x однозначно определяется начальными условиями (т.е. что соответствующие интегральные кривые на плоскости (t, x) не пересекают друг друга). Этот вывод математической модели имеет мало отношения к реальности. Компьютерный эксперимент показывает, что все эти интегральные кривые имеют общие точки на отрицательной полуоси t. И действительно, скажем, кривые с начальными условиями x(0) = 0 и x(0) = 1 при t = –10 практически пересекаются, а при t = –100 между ними нельзя вставить и атома. Свойства пространства на столь малых расстояниях вовсе не описываются евклидовой геометрией. Применение теоремы единственности в этой ситуации – явное превышение точности модели. При практическом применении модели это надо иметь в виду, иначе можно столкнуться с серьёзными неприятностями.

Это я к чему. Нельзя задать "истинность" в неких мета правилах, истинность - это как раз таки соприкосновение с реальностью. В своих рассуждениях мы можем задать правила вывода определённого инструмента для анализа реальности. Предмет же исследования, в том числе арифметика, это вполне себе живая, повседневная вещь, которая появилась из быта и актуальна в быте. :)

Возможно это крайне неудобное рассуждение раздражает, что мол как же так, арифметика - это не исключительно область математического аппарата, что предмет гораздо шире и на деле не сводим к математике, но это проблемы Математики. Проблема того, что если дать Пете два яблока и спросить через десять минут у Пети сколько у него яблок, то он ответит не два (как предсказывает мат аппарат), а одно :)

А всё от того, что у каждого математического аппарата есть границы его использования, а сам предмет находится вне математики и любых сколь угодно усердных упражнений с абстракциями :) И в этом смысле "СИЛЬНО УСОМНИТЬСЯ ... определение истинности формул в арифметике ..." делает баба Маня, живой человек, математики же лишь подбирает способ найти формулы, которые при прочих равных скорее всего окажутся истинными :)

Надеюсь, что смогу привести более четкие примеры, чуть позже. Сейчас быт, работа, отвлекают.

>>Звучит действительно привлекательно. Но действительно ли это так?

Я это не фантазировал :) дело в том, что когда мы мыслим, наш мозг использует только распознаватели, и определения - это - система символических условий распознавателя предмета определения, который и в самом деле формируется при фиксации понятия определения. Поэтому распознаватели - это некая ипостась для представлений определения в самой что ни на есть прагматической форме. И совершенно ясно становится как и почему определение контекстно-зависимо, т.е. для того, чтобы быть переносимым от личности к личности корректно и полно требует столько же полной формализации этих условий.

>> Мы ОПРЕДЕЛЯЕМ (именно так это слово и звучит в математике), что такое истинное суждение. Именно в математике определения даются с особой тщательностью.

И когда такие определения читает человек, не причастный к этой предметной области, он их не понимает потому, что очень многого нет в самих определениях, а есть - в умолчательном контексте, который, часто, не замечают математики потому, что для них это - само собой разумеющееся.

>> Фишка в том, что не смотря на то, что любая формула оказывается однозначно или истинной, или не истинной, НЕ СУЩЕСТВУЕТ АЛГОРИТМА, с помощью которого мы могли бы "распознать" эту истинность.... понятие истинности формул арифметики можно определить ТОЛЬКО В МЕТАЯЗЫКЕ ...ПОДМЕНЯЕШЬ понятие некой философской (или где-то уточняемого понятия) истинности вообще с понятием истины в арифметике.

А я не говорю про алгоритм и его возможность реализации в определенных случаях. Делаю утверждение: истина - всегда - положительный результат операции сравнения: истина или ложь. Это - так же самым наинепосредственным образом взято из самой основы адаптивности поведения и, в частности, размышлений - как субъективной части поведения. Поэтому полностью разделяю высказывание Синь: "Нельзя задать "истинность" в неких мета правилах, истинность - это как раз таки соприкосновение с реальностью." Я бы добавил: в том числе и субъективной реальностью, т.к. сопоставить можно и с нею, вот только это так и останется субъективистким достижением, пока не будет сопоставления с объективной реальностью.

>> * LUKA: "Это - фактически возражение другому утверждению nan "Математика - продвинутая философия"."

nan заодно перечеркнул и всю теоретическую физику. Потому что там, как и в математике, в основе лежат абстрактные понятия: сила, энергия, материальная точка, абсолютно твердое тело и т.д. И законы физики сформулированы для идеальных случаев.

Можно, напомню оригинальную формулировку в Сообщение № 21267 :) "...абстракции необходимы в формализациях и философы будут продолжать использовать их, хотя крутой исследователь постарается увидеть суть явления без таких шор. Наиболее сильной и продвинутой философией абстракций является математика." Так что поклеп не принимается :)

>>> По-моему, как раз-таки в случае математики это особенно верно.

>>> А здесь нет. Ты уверен в этом, а можно привести убедительные аргументы?

Далее следует цитата из книги "Очерк истории теории функции действительной переменной", как пример одного из имеющихся ввиду аргументов. Красным выделено, то что представляется особо актуальным для обсуждения. Глава отсканирована, поэтому возможны опечатки. Сканирование заняло прилично времени, но что не сделаешь ради аргументов :)

Ссылка на книгу в издательстве: http://www.urss.ru/cgi-bin/db.pl?lang=Ru&blang=ru&page=Book&id=33734&list=48

Характер произвола в функциональном соответствии

Приведенные в предыдущем разделе определения понятия функции у Эйлера, Кондорсе, Лакруа и Фурье, казалось бы, не вызывают сомнения в том, что то представление о функциональной зависимости. которое теперь чаще всего называют понятием функции по Дирихле, начало складываться с середины XVIII в. и достигло определенной кульминации уже в 1822 г. в «Аналитической теорий теплоты», Однако сомнения в правомочности такого вывода существую, они большей частью высказываются неявно — самим фактом отнесения этого определения к Лобачевскому, Дирихле I или даже Больцано или общей оценкой характера научного творчества названных ученых вроде оценки Фурье у Дьедонне как математика XVIII в., но такие сомнения высказываются и явно, Последнее, быть может, наиболее четко сформулировано в книге Хокинса, и на этом мы остановимся подробнее.

Процитировав несколько мест из «Аналитической теории теплоты» Фурье, где говорится о понимании последним природы произвольной функции, в том числе и часть приведенной на стр. 42 цитаты, Хокинс продолжает: «Эти отрывки, особенно последнее высказывание, могут навести на мысль, что Фурье владел чрезвычайно общей концепцией функции. Фактически это не так. Концепция функции у Фурье была концепцией его предшественников восемнадцатого столетия» (стр. 6). Поскольку же Хокинс не рассматривал указывавшихся в предыдущем разделе определений Эйлера, Кондорсе и Лакруа, а привел лишь определение Эйлера 1748 г. (стр. 3—4), да указал на наличие у Эйлера концепции функции как кривой, проведенной свободным движением руки (стр. 4), то фактически им утверждается, что Фурье не пошел дальше Эйлера в отношении таких подходов. И даже отметив наличие у Фурье функций, имеющих конечное число разрывов в современном смысле пли недифференцируемых в конечном числе точек, Хокинс все же говорит: «Кажется поэтому, что Фурье имел в виду [в его приведенных Хокинсом определениях. — Ф. М.] функции, графиками которых являются гладкие кривые, за возможным исключением конечного числа исключительных точек» (стр. 6).

В пользу такого толкования понимания функциональной зависимости у Фурье Хокинс приводит следующие доводы. Во-первых, Фурьа использовал термин «разрывные функции» в смысле XVIII в, т.е. означающий функции, представимые на разных участках различными аналитическими выражениями. Во-вторых, Фурье, говоря о «произвольной» функции, имел якобы в виду «функцию, не задаваемую единым уравнением»; примера этому Хокинс, вопреки принятому им в его книге обычаю, не приводит; В-третьих, Фурье считал, будто произвольные функции ведут себя «очень хорошо», в подтверждение чего приводится утверждение Фурье, что произвольная функция представима интегралом Фурье. Наконец, последним доводом являются слова Фурье, относящиеся к преобразованию, носящему его имя: применив к функции f(х) свое преобразование, Фурье писал, что f(x) «приобретает благодаря этому преобразованию все свойства тригонометрических величин; таким образом, дифференцирование, интегрирование и суммирование рядов применимы к функциям вообще так же, как и экспоненциальным тригонометрическим функциям».

Вряд ли можно признать убедительными соображения Хокинса по поводу понятия функции в XVIII и начале XIX в., в частности у Фурье. Прежде чем рассматривать их подробнее, сделаем одно общее замечание.

Следует проводить различие между тем, какой смысл вообще вкладывает тот или иной математик в формулируемое им общее понятие, и тем понятием, с которым он фактически работает в своих исследованиях. Для того чтобы рассуждать о том или другом понятии, недостаточно понимать его во всей мыслимой в соответствующее время общности. Нужно еще, чтобы оно подчинялось принятым в эту эпоху правилам рассуждений, правилам аналитических выкладок, выражалось на общепринятом математическом языке. Естественно поэтому, что некоторые математики, например XVIII в., могли иметь очень общее понятие функции, но фактически работали с узким классом функций, ибо наличный матема-тический аппарат был неприменим к функциям более общего типа. И на основании того, что в их работах постоянно идет, речь о функциях относительно узкого класса, отрицать, что у них было более общее представление о функции, даже если они сформулировали его явно, было бы неверно, — это все равно, что отрицать наличие общего понятия функции в современной математике. Действительно, если рассмотреть совокупность математической литературы, где речь идет не об определениях понятия функции, а о фактическом изучении и применении их свойств, то в общем-то максимально общим понятием функции современной математики следует признать понятие измеримой функции. Литература, в которой рассматриваются неизмеримые функции, хоть таковая и есть, настолько растворена в общей массе книг и статей, посвященных измеримым функциям и даже функциям более узких классов, что на их фоне она остается незаметной, И это относится не только к понятию функции и не только в отношения измеримости.

Перейдем теперь к соображениям Хоккинса по поводу понятия функции Фурье.

Действительно, у последнего термин «разрывная функция» порой употребляется в указанном Хоккинсом смысле. А что ему оставалось делать? Таков был язык математической литературы того времени, другой смысл этого термина устанавливался позднее. Это не означает отсутствия у Фурье функций, разрывных в том смысле, что при непрерывном изменении аргумента функции совершает скачкообразное изменение. Такие Функции у Фурье были (Хокинс, как сказано выше, признает это), и он специально строит их аналитические представления, хотя они и не могут быть описаны «свободным движением руки». Правда, рассматриваемые Фурье функции принадлежат относительно узкому классу разрывных или недиффереицируемых в небольшом числе точек функций, но было бы неразумным требовать от Фурье большего.

Подобные разрывные или недифференцируемые в конечном числе точек функции далеко не впервые вводились Фурье. Напротив, весь пафос его усилий при рассмотрении таких функций относился к тому, что они могут быть представлены единым аналитическим выражением — тригонометрическим рядом, благодаря чему теряло смысл старое различие между разрывными и непрерывными функциями, и при желании сохранить прежние термины нужно было позаботиться о том, чтобы придать им новый смысл. И когда Хокинс утверждает, что Фурье, говоря о произвольной функции, имел в виду «функцию, не задаваемую единым уравнением», то этим своим утверждением он приписывает Фурье чрезвычайно общее понятие функции — функции, не представимой тригонометрическим рядом.

Не достигает цели и третий довод: при помощи интеграла Фурье можно представлять функции очень широких классов, особенно если понимать представимость в том или ином расширенном смысле, так что если считать поведение функций «очень хорошим», когда они представляются интегралом Фурье, то к функциям с таким подоведением нужно причислить гораздо более «произвольные» функции, чем это думает Хокинс, То, что Фурье недоказывал своего утверждения с желательной теперь строгостью - чего, кстати, он и не мог сделать, — не говорит против справедливости его высказывания в очень широких пределах, а тем более об узости его концепции функции.

Прав Фурье в своих словах, приведениях Хокинсом в качестве. четвертого довода, так как их можно интерпретировать в том смысле, что имелись в виду не сами «произвольные» функции, а их образы при преобразовании Фурье; такие образы по своим свойствам проще прообразов и над ними действительно можно осуществлять обычные аналитические преобразования, Если же учесть современные представления, например соображения Шварца о преобразовании, то заключительные слова Фурье можно отнести и к прообразам.

Сказанным мы не хотели бы создать впечатления, будто Фурье предвосхитил очень многое из теории функций и даже функционального анализа XX в. У него можно вычитать лишь теперь намеки на некоторые из современных воззрений, вроде представимости произвольной измеримой функции рядом Фурье иди идеи обобщенной функции, причем эти намеки не могли получить тогда развития вследствие неразвитости математического аппарата начала XIX в. Что же касается понятия функции одного действительного переменного, то с ним дело обстоит несколько сложнее.

Какую степень «произвола» в функциональном соответствии фактически мыслил Фурье в своих словах, сказать трудно. Если сопоставить эти слова с «определением Дирихле», то нельзя не поразиться не только их близости по внешнему виду, но и тому факту, что понимаемое буквально определение Фурье существенно общее (см. стр, 53). Однако то, что у Фурье значения функции следуют друг за другом совершенно произвольно, а каждое из них задается так, как если бы оно было единственным, что эти значения не подчиняются единому закону (кстати, последние слова Фурье у Хокнаса опущены), — все это звучит слишком современно, чтобы понимать их буквально и с точки зрения сегодняшнего дня. Достаточно поставить вопросы: допустимо ли, что Фурье, говоря о произвольности соответствия, мог мыслить это соответствие разрывным в каждой точке или представить такое соответствие, при котором функция принимает бесконечные значения на множестве положительной меры, — чтобы ответить на них отрицательно. Даше на вопросы о том, допускал ли Фурье в своем «произвольном» соответствии возможности наличия просто бесконечного числа разрывов или точек недифференцируемости, следует, видимо, ответить отрицательно.

Тем самым мы, казалось бы, приходим к выводу Хокинса о том, что функции у Фурье кусочно гладкие кривые, разве лишь с конечным числом разрывов, тем более что и работает он именно с такими функциями, а о более общих функциональных соответствиях он и не помышлял.

Все же с таким выводом трудно согласиться, так как вывод подобного типа характеризовал бы лишь половину, быть может даже меньшую часть фактического положения вещей. Дело в том, что вводимые математиками общие понятия почти всегда являются достаточно неопределенными, расплывчатыми, и лишь постепенно они приобретают более или менее четкие очертания, границы, а чем более общим является такое понятие, тем больше его неопре-деленность, тем дольше эта неопределенность сохраняется, — и это не недостаток, а скорее достоинство общих понятий. Именно неопределенность, гибкость новых концепций открывает им широкое поле приложений. Таким как раз было определение функционального соответствия у Фурье. Если на поставленные выше вопросы можно почти с достоверностью дать отрицательные ответы, то на такие гипотетические вопросы: отнес бы Фурье к объектам, подпадающим под его определение, функцию Дирихле, если бы она ему была предложена, признал бы Фурье непрерывную функцию. неимеющую производной на бесконечном множестве точек, если бы такая функция была построена в 1822 г., — следует, видимо, ответить положительно, Это подтверждается практикой первой половины XIX в., когда такие объекты были введены в математику.

Так что на вопрос о характере произвола в функциональном соответствии у Фурье мы могли бы ответить в дополнение к сказанному следующее: он не был у него жестко определенным, фиксированным какими-либо границами, и в случае необходимости мог быть расширен и углублен. Это относится не только к Фурье, но и к Эйлеру.

Действительно, опять, казалось бы, ясно: в 1748 г. Эйлер придерживается в основном взгляда на функцию как на аналитическое выражение, единую формулу; в 1755 г. он дает дефиницию общего понятия функции. Но что он мыслит под «чрезвычайно широким характером» функционального соответствия, под «всеми способами, какими одно количество может определяться с помощью других»? Ответить на это, вероятно, еще труднее, чем на аналогичный вопрос относительно формулировки Фурье. Достаточно спросить о том, допускал ли Эйлер функции, имеющие конечные разрывы, чтобы получить доводы в пользу одновременных «да» и «нет». Его кривые, «проведенные свободным движением руки», непрерывны в нашем смысле, и с некоторой определенностью можно было бы утверждать, что в практике его исследований более общие функции в общем не встречались. Но эти функции могут иметь производные, обладающие конечными разрывами в любом конечном числе точек, и о таких производных Эйлер говорил. Но включал ли он эти производные в класс объектов, характеризуемых им словом «функция»? Ведь их нельзя провести свободным движением руки, если это движение осуществлять непрерывно.

Характерен также и конкурс, объявленный в 1787 г. Петербургской Академией наук. Знаменитый спор о проблеме колеблющихся струн со всей остротой поставил проблему понимания «произвольной функции», входящей в интеграл уравнений в частных производных. К 1787 г. он был далек от своего решения, несмотря на усилия выдающихся аналитиков. Постановка темы и одно из предложенных решений достаточно интересны, чтобы остановиться на этом. Тема была предложена такая:

«Определить, являются ли произвольные функции, вводимые при интегрировании дифференциальных уравнений, которые содержат более двух переменных, принадлежащих произвольным кривым или поверхностям, алгебраическими, трансцендентными или механическими, или они разрывны, или получаются свободным движением руки; или же они законно могут быть отнесены лишь к непрерывным кривым, могущим быть выраженным алгебраическими или трансцендентными уравнениями.»

Здесь произвол функционального соответствия маслится не более общим, чем у кривой, начерченной свободным движением руки. Но в работе Арбогаста «Мемуар о природе произволиных функций входящих в интегралы уравнений в частных дифференциалах» премированной в 1790 г. Академией, этот произвол существенно расширяется. Прежде всего он показывает, что если функция образована частями различных аналитических кривых, то разрывы (в современном смысле) ее производной не препятствуют тому, чтобы эта функция удовлетворяла предложенному уравнению в частных производных. В этом Арбогаст еще не отходил от своих предшественников, так как функции с разрывными в нашем смысле производными допускали и Даламбер, и Лаплас, и Кондорсе. Любопытно в этом то, что — особенно это откосится к Деламберу — получалось, будто производные таких функций сами являются функциями.

Но Арбогаст пошел дальше, утверждая, что и разрывные в нашем смысле функции могут входить в интегралы уравнений в частных производных, и даже предложил для них специальный термин.

На эту тему можно писать сколько угодно, и вопрос до конца вряд ли будет выяснен. Как справедливо заметил Тимченко, «математики прошлого [т. е. XVIII. — Ф. М.] века не различали всех тех возможных особенностей в природе произвольных функций, которые с таким вниманием и тщательностью рассматриваются в наше время; вот почему рассуждения их всегда несколько неопределенны и их, иногда нелегко выразить в терминах, принятых современными математиками». К этому можно добавить, что сказанное Тимченко относится не только к математикам XVIII в.

>>Возникает вопрос, как именно распознавание ВСЕГДА будет успешным, если для бесконечного множества случаев оно принципиально не успешно?

функция распознавания или вообще работает и тогда успешна или не работает :) Успешность можно интерпретировать в данном случае только вот так обезличено. Поэтому после замечания kak было использовано слово "адекватным", т.е. соответствует профиль на входе сигналу распознавания или нет.  

>>Данная формулировка для меня выглядит ясной и понятной, и у меня нет резона ей возражать.

Хорошо, тогда можно сделать еще шажок и предложить альтернативную форму определений :) Не в качестве "ОПРЕДЕЛЕНИЯ истинности" (чем определения не занимаются :)  а в виде набора того, что формирует совокупность качеств (признаков), который является условием распознавания - по аналогии с распознавателями, реализуемым в мозге (а не множестве других принципов распознавания). Т.к. логика нейросети строится с помощью единственного элемента - распознавателя (в отличие от булевой логики), однако субъективно именно такой логикой строится любая мыслимая вселенная (это - в противовес твоему: "...ты лишаешься тем самым целой вселенной").

Итак, чтобы дать такое определение, которое корректно коррелирует с заданием совокупности признаков распознавания, нужно иметь признаки плюсующие веса и признаки минусующие веса из общего суммарного вклада, когда при превышении заданного порога распознавания можно сказать: вот эта совокупность распознана. При этом для распознавания совершенно не  важно, относятся ли признаки непосредственно к свойствам распознаваемого или они характеризуют условия, контекст. Это позволяет условно разделять признаки на основные и те, от которых зависят граничные условия распознавания основных - контекст.

Например, определение: "вечереет" распознается при наличии главного признака:  положение солнца - низко над горизонтом. Но это распознавание может оказаться неверным в условиях полярной ночи и потребуются признаки условий. Такое определение станет применимо к большему числу случаев и не требует уточнения, если не возникают условий, нарушающих адекватность распознавания. Это естественным образом лимитирует достаточность определения, хотя во многих случаях полная строгость определения (для любых условий) может быть принципиально не достижима. Поэтому прагматически у определения есть свойство достаточности его адаптивности для конкретики использования. Если возникает ситуация неадекватности  распознавания становится необходимым учитывать новые условия.

Из этой модели наглядно понимаемы возможные иллюзии распознавания - порочности определений :)

В случае определения "живой" как раз имеем дело со случаем, когда для определенных целей имеем достаточность распознавания (юридически, например), но попытка дать строго-универсальное определение по понятным причинам неосуществима.