Многое из того, что здесь произносится, я просто не понимаю. Это может быть объяснено мной как моим собственным недопониманием чужой мысли, так и возможно неясностью и даже неосознаваемой размытостью высказываний. Это была прелюдия.
Нет точного понятия "фундаментальный закон природы", хотя оно интуитивно понятно.
Но, если пока забыть про слово "фундаментальный" под ним, как мне кажется можно понимать по крайней мере текстовую модель, в которой с помощью синтаксических правил можно ПРЕДСКАЗЫВАТЬ появление новых текстов.
Некоторые из этих текстов, как говорят, "интерпретируются", как результаты физических измерений (а результаты физических измерений всегда представимы в виде хоть какого-то текста: "да-нет", "жёлтый-белый", "1285 см", "дрожание" и т.д.). Поэтому, как мне обоснованно видится, любые теории, если они теории, обязательно должны иметь синтаксическую модель, или говоря "умными" словами математиков, быть формализованы, что ОДНО И ТО ЖЕ.
Мы с первого класса в школе учимся пользоваться синтаксическими моделями - вычисляем, например в столбик.
Итак, синтаксическая модель - то есть игра в символы (в точности, как в игре в шахматы) используется для ПРЕДСКАЗАНИЙ того, что имея на входе одни синтаксические данные (символы, характеризующие результаты измерений), мы получаем на выходе другие символы, которые мы можем интерпретировать как новые результаты измерений и сравнивать их с реальностью.
Возвращаясь к слову "фундаментальный", и возможно даже понимая его несколько по разному, можно тем не менее отметить, что синтаксические (синонимы - механические, формальные, символические) модели физики могут отличаться по степени общности. Они могут включать, в частности, и как матрёшки друг в друга. Самые большие матрёшки - самые, что ни на есть фундаментальные.
В данном уточнении (а логики любят употреблять другое "умное" слово - "экспликации") понятия физической теории я специально обозначил очень конкретные аспекты:
Любая физическая теория должна или может иметь следующие свойства
1) Обязательно должна быть символической моделью с заданными правилами игры в ней как в шахматах (это было сказано образно, а если посерьёзней - то с заданными правилами преобразования символов). В этом смысле она НИЧЕМ не отличается от любой синтаксической математической теории (так задаются в математике группы, кольца, поля, векторы, тензоры и т.д.).
Принципиальный ньюанс задания правил манипулирования символами - они задаются неким конечным текстом - в терминологии Гильберта это обозначается, как финитность задания.
Например, установление истинности всех арифметических истин принципиально не может быть задано финитными средствами. (Если интересно я поясню, потом, почему такая формулировка намного глубже, чем более частная формулировка "в арифметике первого порядка не все истины доказуемы").
2) Обязательно должны быть выделены особые комбинации символов, которые мы интерпретируем как результаты измерений. Законы физики обязательно должны включать в явном виде или в логически выводимом виде правила предсказания - это способы получения новых комбинаций символов, которые мы интерпретируем как результаты измерений.
Там, где появляется слово "измерение", там и появляется физика.
Привязка к результатам измерений обычно носит явно неформальный характер, без которого, однако, физика немыслима. Это - весь наш опыт манипулирования с физическими объектами, а не только с теми, которыми мы можем в силу опять же нашего физического опыта принимать за то, что называют символами. Это конечно не означает, не может быть сформулирована символическая (формальная) теория, которая охватывает многие аспекты физического измерения, и такие теории существуют.
Кроме того, в физической теории может быть большое количество параметров, которые физики называют "скрытыми", то есть явно не измеряемыми. Бывает так, что две разные физические теории предсказывают одно и то же, но имеют не просто разные исходные модели, но даже модели, которые противоречат друг другу.
Пример. Насколько я знаю, есть более 10 различных моделей нерелятивисткой КМ. В одних запрещается такое понятие, как "траектория" частицы, в по крайней мере одной из них разрешается - в модели того самого Фейнмана. Здесь меня можете поправить, если я ошибаюсь. По крайней мере факт существования различных моделей КМ с идентичным спектром предсказаний широко обсуждается (статьи на эту тему, если интересно могу скинуть).
Маленькое отступление, не имеющее прямого отношения к теме: на ветке о природе математике я уже подчёркивал, что закономерности, проявляющиеся при оперировании с символами, носят ОБЪЕКТИВНЫЙ характер и являются частью ФИЗИЧЕСКОЙ, а не субъективной реальности. Почему? Главный тезис аргументации - потому что ЛЮБЫЕ синтаксические модели должны иметь ФИЗИЧЕСКИЙ аналог. Это - недоказуемый тезис, вроде тезиса Чёрча. Однако он хорошо иллюстрируется примерами - любые механические арифмометры, кубик Рубика, компьютер - это всё физические модели. Это - отдельная тема, но здесь я присоединяюсь к классикам, вроде фон Неймана, рассматривавших ИМЕННО ПОЭТОМУ, если не всю математику, то по крайней мере теорию формальных систем, как часть физики. В ЛОГИЧЕСКОМ ВЫВОДЕ НЕТ НИЧЕГО ТВОРЧЕСКОГО. Это - чисто МЕХАНИЧЕСКИЙ процесс.
Мы считаем, что в физическом мире, возможны физические процессы, задающие правила оперирования с объектами, как с символами - самые известные из таких объектов - голова человека и компьютер.
Возвращаюсь к атрибутам физической теории.
3) Первые два атрибута физической теории, на мой взгляд являются ОБЯЗАТЕЛЬНЫМИ. Помните известную фразу "Квантовую механику можно не понимать, но ей можно пользоваться"?
Третий же атрибут НЕ является обязательным атрибутам физической модели (читай - физической теории).
Физической модели пытаются дать какую-то "осязаемую" интерпретацию. Термин "осязаемый" очень расплывчат.
Проще показать примерами. Исторически известно, что вновь открытые законы физики в 19 веке пытались сначала переинтерпретировать в рамках пусть расширенной, но механики, затем электромагнетизма.
Не являясь физиком, всё же скажу, что некоторые процессы в электрическом токе вроде как переинтерпретируют в рамках гидродинамики и т.д.
Многим людям кажется, что они могут "понять" физику, если они имеют какую-то, как им субъективно кажется, наглядную модель.
Как и любая интерпретация, такие модели не меняют предсказательную силу формализма (то есть новых символических конструкций). Однако сами эти интерпретации могут дать толчок для строительства новых формализмов, то есть иметь эвристическую силу.
Пример - копенгагеновская и многомировая интерпретациии КМ.
Мало того, эти модели можно переписать в виде новых формализмов (символических конструкций вместе с правилами оперирования с символами), которые могут иметь одну и ту же силу предсказаний, сходную с исходной моделью.
Если есть какие-то возражения именно по этим пунктам, то пожалуйста приведите.
Опираясь на сформулированное, перейду ближе к теме.
автор: nan сообщение 26619 И поэтому, раз уж в этой теме говорится о теореме Геделя, стоит ограничить область ее применения именно субъективными абстракциями, но никак не физическим миром и его взаимодействиях.
Речь шла не о физическом мире самом по себе. Это - несколько другой и довольно тонкий вопрос. Речь шла ПРИНЦИПИАЛЬНО О ДРУГОМ. О физической теории. Я специально внятно обозначил, что такое физическая теория - это символическая модель, в которой что-то интерпретируется как физический процесс или свойства физических объектов. Например, в физической теории некоторые символы, которые мы называем результатами измерений, интерпретируются как параметры реальных физических явлений или объектов. Очень важно избавиться от соблазна - смешивать физические теории и физическую реальность. Иначе можно прийти к неадекватным выводам.
Теорема Геделя (и связанные с ней другие теоремы неполноты - Тарского, Чёрча, Чейтина) рассматривает связь между между правилами оперирования символами в символических моделях (и физические теории КАК РАЗ ЯВЛЯЮТСЯ таковыми) и теми результатами интерпретаций этих символических конструкций.
В частности, истинным в физической теории считается совпадение результатов предсказаний теорий с результатами, находящимися процессов, происходящих вне физической модели - процессами измерений - получения новых символов, которые мы можем включить в физическую модель.
Физическая теория потому может считаться таковой, что мы предполагаем, что окружающая нас реальность, даёт нам возможность фиксировать что-то в ней в виде абстракций (свойств).
Если выразить общими неконкретными словами суть этих теорем, то они гласят - методы выразимости различных свойств, методы вывода новых символических конструкций с помощью сформулированных правил никогда не позволят выразить не только все ДОПУСТИМЫЕ свойства систем (свойства - это действительно абстракции, но у нас нет другого описания физической реальности), но и даже охватить весь класс истинных высказываний об этих системах. Интерпретация всегда богаче возможностей символических построений, выражаемых финитными средствами.
А результаты измерений - всегда имеют интерпретации - это физические процессы.
Можно ли принципиально конечным способом ("финитными средствами") ВЫРАЗИТЬ и сформулировать исходную символическую модель, в которой с помощью заданных правил мы могли бы вывести все истины, относительно полученных фактов измерения? Вот на самом деле вопрос, который затрагивается, если анализировать - конечно ли число выразимых символически фундаментальных физических законов.
Опыт дедуктивного вывода показывает, что это невозможно сделать для систем, в которых будут истины арифметические соотношения с двумя операциями, например, сложения или умножения.
Этот вопрос я попытаюсь прояснить чуть подробнее.
Для многих математических исчислений можно построить МАТЕМАТИЧЕСКУЮ ЖЕ МОДЕЛЬ, где все истинные высказывания этой модели останутся истинными же, но в другом исчислении (формализме, синтаксической конструкции).
Пример. Для модели геометрии Римана можно построить модель в геометрии Эвклида на поверхности шара.
Другой пример. Для модели геометрии Эвклида можно построить арифметическую модель (причём более простую, чем обычная арифметика!) и т.д.
Так вот, если в рамках символической модели, составляющей физическую теорию, можно создать модель арифметики, то, (ключевая мысль) неполнота физической модели будет обязательна!
Здесь ситуация аналогична доказательству того факта, что арифметика действительных числах неполна. На них можно построить модель арифметики натуральных чисел.
Поэтому, можно сказать по другому, если в синтаксической модели, выражающей физическую теорию можно смоделировать свойства натуральных чисел, описываемой арифметикой с двумя арифметическими операциями, то она останется неполна. Всегда.
Это - аргумент неполноты для физических теорий, в которых моделируются арифметика. Такую арифметику можно смоделировать, даже механикой Ньютона.
В физической реальности арифметика моделируется ОЧЕНЬ ЛЕГКО. Не нужен даже компьютер, хотя и он является физическим объектом, моделирующим арифметику, то есть задающим такие свойства (только уже эмпирические, но читаемые нами в виде абстракций свойств), которые ЯВЛЯЮТСЯ арифметикой с двумя операциями.
Итак, если в физической реальности можно смоделировать правила арифметики с двумя операциями (это не обязательно компьютер или чернила в тетрадях, это могут быть очень многие процессы, которые как бы "вычисляют", то есть осуществляют действия, интерпретируемые нами как совокупность арифметических операций).
Это правда не единственный аргумент неполноты.
Есть теорема неполноты более сложная, но не учитывающая модель арифметики, но для её формулировки надо вводить понятие колмогоровской сложности.
