Математические ляпы в электродинамике

Рубрика Опровержение классической науки в сборнике Теории мироздания

Здесь помещаются статьи, в которых делается попытка показать те или иные ошибки в классической науке. Эти статьи никак не рецензируются и не выражается к ним отношение. Но каждый может обсудить статью (внизу есть ссылка на обсуждение) и высказать свое мнение.

Авторы: Корнева М.В., Кулигин В.А., Кулигина Г.А.

Посвящается физикам-теоретикам

(Исследовательская группа АНАЛИЗ. http://kuligin.mylivepage.ru ; http://www.n-t.ru/ac/iga/)

Аннотация.  Рассматриваются некоторые математические некорректности, устранение которых радикально меняет наши представления об основах электродинамики.

Введение

Конечно, можно было бы озаглавить статью как «Проблемы или парадоксы электродинамики», но грубых ошибок накопилось столько, что рука не поднимается написать иначе. Наука интересна тем, что ошибки в теориях не просто накапливаются. Они тиражируются, нарастают как снежный ком, порождая все новые и новые. Мы опубликовали несколько статей с анализом ошибок. Например, долгое время ошибочно считалось (и считается до сих пор), что групповая скорость есть скорость переноса энергии волной [1]. До настоящего времени бытует ошибочное мнение, что волна при касании каустик изменяет свою фазу на π / 2, а при прохождении фокуса испытывает скачок фазы на π, хотя на самом деле никаких скачков фазы не существует [2], [3]. А релятивистский вариационный принцип? Он может служить образцом извращения классического вариационного исчисления [4]. Ниже мы рассмотрим несколько других ляп.

1.     Продольные волны

Проблема существования продольных волн неоднократно обсуждалась на многих форумах. Но эти обсуждения имели гипотетический характер, поскольку очень хорошо известно, что уравнения Максвелла продольных волн не описывают. Существует вектор Пойнтинга, вытекающий из уравнений Максвелла, существует строгое решение задачи об излучении диполя Герца. Зачем же сомневаться, когда все уже «хорошо известно и строго доказано»?

Это можно и нужно проверить. Рассмотрим электрон, который колеблется относительно начала координат, перемещаясь вдоль оси z. Выпишем его координаты и скорость

Вдали от точечного заряда, когда  b << R , поле волны должно запаздывать и убывать обратно пропорционально R. Для простоты рассмотрим поле на больших расстояниях от заряда  R >> b для нерелятивистского случая v = bω << c.  

Для вычислений воспользуемся потенциалами Льенара-Виехерта [5] (Параграф 63, формула (63.5)).

               (1.1)

где R – радиус-вектор, проведенный из точки нахождения заряда в точку наблюдения.

Значение векторного потенциала в точке наблюдения, отстоящей от начала координат на расстоянии R , должно быть взято с запаздыванием R / c, определяемым конечной величиной скорости распространения волны.

Поскольку векторный потенциал имеет составляющую только вдоль оси z, электрическое поле, вычисленное с точностью до членов R ^-2, имеет вид

         (1.2)

Других составляющих электрического поля в этом приближении нет. Строгое решение уравнений Максвелла в калибровке Лоренца для колеблющегося заряда дает такую же картину. Здесь мы не ставим вопроса о том, существуют ли реально такие продольные волны или нет? Если его поставить, то возникает новая проблема: насколько полно и точно эти уравнения описывают электромагнитные явления?

Итак:

1.      Вопреки распространенному мнению уравнения Максвелла в калибровке Лоренца все-таки описывают излучение и распространение продольных волн, которые порождаются ускоренно движущимся зарядом, т.е. волн распространяющихся вдоль оси z!

2.      Теорема Пойнтинга не полна, поскольку она не учитывает энергии, переносимой продольными волнами. Вектор Пойнтинга описывает плотность потока только для поперечной волны. Доказательство теоремы опирается на манипуляцию с  уравнениями, в то время как законы сохранения должны вытекать из тензора энергии-импульса электромагнитного поля [6]. А этого-то как раз и нет!

Конечно, релятивисты нам могут возразить: «В [5] приводится выражение, определяемое формулой (63.8), в которой продольные волны отсутствуют!». К сожалению, у нас нет возможности привести здесь анализ и показать, что этот «вывод» есть подгонка (фальсификация, если хотите) под «нужный результат». Желающие могут сами найти продольные волны (калибровка Лоренца!) для ускоренного заряда, воспользовавшись современными компьютерными программами (например, Mathematics Вольфрама).

Итак, утверждение, что уравнения Максвелла не могут описывать продольных волн – ляпа № 1.

2.     Потенциал движущегося заряда

Релятивистская идеология запрещает распространение любых полей и материальных тел со скоростями, превышающими скорость света в вакууме. Это в полной мере касается полей и мгновенных взаимодействий, присущих механике Ньютона и квазистатической электродинамике. Мгновенные взаимодействия описываются уравнениями эллиптического типа. Требование «релятивистской ковариантности» для таких уравнений не выполняется. Но последовательны ли релятивисты в своих принципах?

Рассмотрим скалярный потенциал равномерно движущегося заряда. С одной стороны, этот потенциал определяется формулой (1.1)  

,  где  R есть расстояние от заряда до точки, где измеряется потенциал.

Если точка наблюдения в начале координат, то ; (x,y,z) – координаты заряда.

С другой стороны, имеется формула Лоренца для потенциала равномерно движущегося заряда

   (2.1)

В формуле (1.1) потенциал является запаздывающим, а в формуле (2.1) он мгновенно действующий! Покажем это.

Действительно, в калибровке Лоренца потенциал должен удовлетворять уравнению

Представим потенциал в виде суммы запаздывающего и мгновенно действующего потенциалов φ = φ_r + φ_i и разделим для них уравнения

                            (2.2)

                 (2.3)

Учитывая условие неразрывности для потенциала , можно показать [7], что при равномерном движении вдоль оси z правая часть выражения (2.2) обращается в нуль, т.е. запаздывающих потенциалов не будет.  Левая часть уравнения (2.3) представляет собой уравнение эллиптического типа, решением которого является выражение (2.1), т.е. мгновенно действующий потенциал.

Итак, что бы ни доказывали релятивисты, как бы они ни жонглировали штрихами над переменными и ни манипулировали преобразованиями, выражение (2.1) есть мгновенно действующий потенциал! Это, как говорится, «медицинский факт».

Итак, утверждение релятивистов о том, что в их релятивистском арсенале только запаздывающие потенциалы, а мгновенно действующие потенциалы не «вписываются» в электродинамику СТО есть нонсенс – ляпа № 2.

3.     Математическая задача и физическая задача

Итак, мы имеем два различных результата (1.1) и (2.3), которые являются решением одной и той же задачи, одних и тех же уравнений. При этом пространство одно и то же для этих решений, время также одно. Невольно напрашивается вопрос: а как быть с теоремой о существовании и единственности решения, которая имеется в любом, уважающем себя учебнике по электродинамике? Не нарушается ли эта теорема?

Эта мысль показалась нам настолько очевидной, что мы опубликовали статьи, утверждая, что единственность решения задачи Коши не имеет места. Обсуждение этой проблемы на форумах и полученные нами отклики заставили пересмотреть справедливость нашего утверждения. Пользуясь случаем, мы благодарим наших оппонентов, за обсуждение и высказанные мнения. Теперь нам остается объяснить причину различия решений. Разграничим два подхода к постановке и решению конкретного уравнения или физической задачи.

Постановка математической задачи. Имеется неоднородное уравнение. Нам необходимо найти решение, удовлетворяющее заданным начальным и граничным условиям. В рамках такой постановки решение единственно и не зависит от выбора калибровки.

Постановка физической задачи.  Имеется источник (или движущиеся источники) полей. Необходимо найти поля, создаваемые этими источниками и удовлетворяющие заданным граничным условиям при следующих ограничениях. А) В решении должны быть поля только этих источников. Б) «Свободные» поля (поля без источников) и поля, создаваемые другими источниками, должны отсутствовать, поскольку они не представляют интереса в рамках поставленной задачи.

Как мы видим, различие в постановках задач весьма «небольшое», но весьма существенное. Постановка физической задачи игнорирует единство начальных условий при переходе от одной калибровки к другой. А это приводит к тому, что в разных калибровках мы будем иметь, вообще говоря, различные решения одной и той же задачи. Дело даже не в количественных соотношениях, а в том, что решения могут оказаться различными по функциональной зависимости. Например, как мы уже видели, решение одной и той же физической задачи может выражаться через запаздывающие потенциалы (потенциалы Лиенара-Виехерта) или же через мгновенно действующие потенциалы (решение Лоренца), и эти решения различны. Можно привести пример с продольными волнами, которые, как мы показали, предсказывает калибровка Лоренца, и которые отсутствуют в кулоновской калибровке.

При постановке физической задачи каждой калибровке будет отвечать вполне конкретная физическая модель, которая может существенно отличаться от моделей других калибровок. В этом смысле решение физических задач для уравнений Максвелла в калибровке Лоренца будет существенно отличаться от решения тех же задач в кулоновской калибровке!  Здесь всякие уверения и ссылки на теорему о существовании и единственности решения будут пустословием или демагогией, поскольку начальные условия оказываются различными. К сожалению, физики до сих пор не пришли к осознанию этого факта!

В наших статьях мы писали о нарушении единственности решения («нарушение единственности решения задачи Коши», «нарушение единственности решения волнового уравнения» и т.д.). Если эти фразы заменить следующим утверждением: «нарушение единственности решения при постановке физической задачи»,  то наши исследования сохраняют свою научную значимость. Это приятно.

Для иллюстрации рассмотрим кулоновскую калибровку. При переходе к электромагнитным потенциалам на дивергенцию векторного потенциала можно наложить некоторое произвольное условие. Как известно, если наложить условие

, то получим калибровку Лоренца. Если же положить divА = 0, то будем иметь кулоновскую калибровку. Запишем уравнения

При постановке физической задачи скалярный потенциал в этой калибровке оказывается мгновенно действующим. Источником поля векторного потенциала служит не только ток, но и изменение во времени поля этого мгновенно действующего потенциала. В калибровке же Лоренца источником поля векторного потенциала служит только ток. Решения в этих калибровках оказываются различными. Но сколько слов «доказать», что это не так, изливается на страницах!

Мы можем задать другое условие, например. , где λ любое действительное число и получить новую физическую модель для физической задачи с волнами, которые распространяются со скоростями, отличными от скорости света.

Такова важная особенность постановки физических задач.

Итак, утверждение, опирающееся на теорему о единственности решения, о том, что решения физических задач не зависят от выбора калибровки,  – ляпа № 3.

4.     Поле заряда и электромагнитная волна

Как мы видели, релятивисты крайне непоследовательны, пользуясь как запаздывающими потенциалами, так и мгновенно действующими потенциалами. В качестве иллюстрации мы можем сослаться на КЭД, где широко используется, рассмотренная выше, кулоновская калибровка с мгновенно действующими потенциалами и полями. Это не случайно.

Установлено, что заряд имеет электромагнитную массу. Однако все попытки «сконструировать» поле заряда из волн терпели неудачу. Такие «конструкции» буквально «расползались» при движении частицы в среде с дисперсией. Если же мы описываем поля зарядов с помощью мгновенно действующих потенциалов, проблемы исчезают [8].

Причина простая: если свойства полей различны, то различны и сами поля. Электромагнитная волна обладает нулевой массой покоя, а поля зарядов обуславливают существование инерциальной электромагнитной массы. Волна распространяется со скоростью света, а поля заряда жестко связаны со своим зарядом и т.д. Следовательно, единственно разумным заключением может служить утверждение, что поля заряда и электромагнитная волна это разные виды материи.

Релятивисты могут возразить, что существует «предельный переход» от волн к полям зарядов и он «доказывает» единство этих полей. «Красивый» самообман. Чтобы показать это, вернемся к уравнениям Максвелла в калибровке Лоренца. В этой калибровке плотность энергии поля заряженной частицы пропорциональна A_i j_i  (см. также [5]). Если расписать это выражение в классической форме, получим, что плотность энергии пропорциональна ρAv – ρφ.

Из формулы следует, что плотность энергии покоящегося заряда отрицательна , т.е. пропорциональна – ρφ. Это касается и энергии электростатического взаимодействия зарядов. Во всех же учебниках по электродинамике утверждается, что плотность энергии поля покоящегося заряда всегда положительна. Но, быть может, это не столь существенно и, поменяв знак плотности массы, мы ничего не потеряем? Напротив! Отрицательная энергия приводит, например, к «новой» формулировке закона Кулона, которая будет гласить: одноименные заряды притягиваются, а разноименные – отталкиваются! Вот так-то!

Никакой предельный переход не способен изменить знак этой плотности энергии с минуса на плюс! Как следствие, предельный переход незаконен, а поля различны.

Итак, утверждение, что поля зарядов и электромагнитные волны представляют единое целое и между ними существует связь через предельный переход, – ляпа № 4.

На этом остановимся, хотя мы рассмотрели далеко не все ляпы. Наиболее крупная ляпа 20 века есть СТО [9]. Но здесь при анализе придется столкнуться и с философскими ляпами (гносеологическими ошибками).

Источники информации

1         Кулигин В.А., Кулигина Г.А., Корнева М.В.  Фазовая скорость, групповая скорость и скорость переноса энергии. НиТ, 1997. (http://n-t.ru/tp/ns/fs.htm)

2         Кулигин В.А., Кулигина Г.А., Корнева М.В.  Волна в фокусе и функции Бесселя. 2006. (http://kuligin.mylovepage.ru/file/index)

3         Кулигин В.А., Кулигина Г.А., Корнева М.В. Варианты формулы Кирхгофа. 2006. (http://kuligin.mylovepage.ru/file/index)

4         Кулигин В.А., Кулигина Г.А., Корнева М.В. В.А. Кулигин., Г.А Кулигина., М.В. Корнева. Кризис релятивистских теорий. Часть 4, Вариационный принцип релятивистских теорий. НиТ, 2001.  (http://n-t.ru/tp/ns/krt.htm).   

5         Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. ГИФФМЛ, М. 1960.

6         Кулигин В.А., Кулигина Г.А., Корнева М.В. Ревизия теоретических основ релятивистской электродинамики. НиТ, 2005. (http://n-t.ru/tp/ns/rt)

7         Кулигин В.А., Кулигина Г.А., Корнева М.В. Проблемы волновой электродинамики, НиТ. 2003.  (http://n-t.ru/tp/ns/pve.htm)

8         Кулигин В.А., Кулигина Г.А., Корнева М.В. Кризис релятивистских теорий. Часть 5. (Электромагнитная масса). НиТ. 2001.  (http://n-t.ru/tp/ns/krt.htm).   

9         Кулигин В.А. Электродинамика отвергает теорию относительности. 2005.