Тема форума: «Про математику»

Ну вот, получилось, что опять я замутил волнение :) Попробую не запутать дальше.

Было сказано про "полное редуцирование смысла личности" в специфике понимания семантики математиками - по отношению к более общему понимаю семантики. В частности, по ярким примерам противопоставлений семантического и синтаксического LUCA получается, что под семантическим в математике понимается только то, что имеет соответствие в объективной реальности. Это выводит из семантического все то, что продуцировано субъективно без такого соответствия - "чистые" абстракции.

Т.е. если бы математик вдруг решил начать применять значения абстракций для абстракций, то формально это уже бы не вписалось в это ограничение. Но, думаю, что не моргнув, математика не остановит это :) и окажется, что описание абстракций - так же возможно семантически. Т.е. критерий разделения семантического от синтаксического  окажется вырожденным. Я не хочу акцентировать на то, что как-то осталась не замеченной симметричная фраза: Точно так же, он не может обойтись и без синтаксических условностей.

Итак, что же хочу выразить я всем этим. Во-первых, не покушаюсь на очень хорошо утоптанную область математики, где уже достаточно взаимопонимаемы те умолчательные контексты и признаки, на которых базируется математика (это = какое ни на есть - большое достижение), и если для кошки в алгебраическом символосочетании нет никакого смысла, то для математиков он есть, несмотря на то, что "они им не заворачиваются".

Ну и ради аллаха, не нужно заморачиваться тем, что может помешать уже взаимопонимаемому и его прогрессу :) Пусть, не заморачиваясь, они предпочитают одни "чисто синтаксические" символы другим там, где их применение привычно-понимаемо и сразу наводит на мысль. Пусть сам смысл применяемого символа, при всей его условной инвариантности, все же есть, и это требует некоторого предварительного понимания в развитии представлений. Но если математика это сбивает с толку, пусть он как бы не замечает этого (тем самым очерчивая довольно жестко круг возможного развития математики).

Но тем, кто желает учитывать это и находит силы и интерес прослеживать такие связи и их последствия, тоже никто не может запретить этого удовольствия :)

LUCA, спасибо за наводку про Геделя, теперь на сайте есть этот док: Э.Нагель, Р.Нюмен Теорема Геделя - djvu Оттуда:

"Однако в момент опубликования ни название гёделев-ской работы, ни содержание ее ничего не говорили большинству математиков. "

>>> (Лука) В одном отношении математика стоит особняком среди других наук: никакой её результат не может быть зачеркнут дальнейшим развитием науки. Однажды доказанная теорема уже никогда не станет неверной, хотя впоследствии может выясниться, что она является лишь тривиальным частным случаем какой-то более общей истины. Математические знания не подлежат пересмотру, и общий их запас может лишь возрастать

Уж очень режет слух... Лука, ведь это утверждение просто тупо противоречит истории математики и здравому смыслу. Вывод о том, что теорема доказана принимает человек, а люди ошибаются и при этом постоянно.

Или у математиков есть выход на Господь Бога и главный жрец математиков раз в день отправляет Господу теоремы с их доказательством, а Господь отвечает ему: истина/ложь? =/

>>> Математические знания не подлежат пересмотру, и общий их запас может лишь возрастать

А это вообще вышебленный из реалий тезис. С каких пор у математиков появилась ВиКиПедия математических истин, кто главный коллекционер? Зачем тогда люди ездят в загранкомандировки, участвуют в семинарах, если нет проблемы сохранения и передачи приобретенных знаний?

Может все математики ежедневно садятся в позу Лотоса, подключаются к всеобщему информационному полю Акаши настраеваясь на Дух Господень и пополняя Акаши узнанным? о_О

Ей Богу, даны какие-то выкинутые из реалий утверждения... :)

>>> а есть примеры в истории математики, когда математическая теорема, раз доказанная и принятая, потом вдруг оказывалась неверной?

Принятая кем?

Нету всеобщего математического разума, который бы ставил штампы "принято" :) Есть конкретные люди, конкретные группы математиков, которые проверяют те или иные утверждения и либо замечают ошибки и не используют утверждения для своих дальнейших рассуждений, либо не замечают их и начинают пользоваться, как ни в чём не бывало.

>>> Приведи один на вскидку

По-хорошему, нужно было бы отсканировать часть книги, но сейчас такой возможности нет (если кому-то будет интересно, то могу скинуть фотографии страниц вечером). А пока кратко, маленькие нарезки цитат из книги по истории математики:

Историю понятия равномерной сходимости начинают обычно с 1821 г., когда Коши в своём "Алгебраическом анализе" опубликовал доказательство ошибочного утверждения, что сходящийся всюду ряд непрерывных функций имеет суммой непрерывную же функцию. В 1826 г. Абель осторожно заметил, что, как ему кажется, "эта теорема имеет исключения" и привёл пример ряда...

[прошло 30 лет]

Более удивительным является то, что осталась незамеченной и работа Коши 1853 г., хотя он в ней исправил свою ошибочную теорему 1821 г., явно ввёл равномерную сходимость [...] Как отметил Коши, поводом для этой статьи послужило  замечание Брио и Буке о том, что формулировка его теоремы 1821 г. оправдывается только для степенных рядом. [...] Однако, как мы сказали, математики сумели (sic!!!) "просмотреть" статью Коши, и начался ещё цикл исследований по внедрению равномерной сходимости.

[прошло ещё 20 лет]

Переломным моментом в отношении математиков к равномерной сходимости оказались 1874-1875 гг.

Опровергнуть - показать неадекватность предположения его выполнению в реальности, если предположение было сформулировано корректно: однозначно понимаемо, т.е.  имело четко определенную границу использования в которой оказалось не выполнимым.

Опровергнуть субъективное предположение субъективно можно лишь тогда, когда были определены границы использования (контекст понимания), которые возможно реализовать субъективно.

Поэтому все корректные утверждения, уже проверенные реальностью на истинность, не обязательно математические, не могут быть опровергнуты потому, что они в строго заданных условиях не могут выполняться иначе.

Но математики - тоже люди. Никто не зарекал их не делать недоопределенные и недоограниченные утверждения. А если это - чисто субъективная абстракция, то речь может идти о ее воспоизводимости только в рамках строго согласованных условий (контекста понимания).

Вот что есть по поводу методов доказательств и опровержений в математике у классика научно методологии И.Лакатоса: http://www.gumer.info/bibliotek_Buks/Science/Lakatos/dokaz.php

Всякий раз, когда математический догматизм попадал в «кризис», какая-нибудь новая версия снова придавала ему подлинную строгость и настоящие основы, восстанавливая образ авторитарной, непогрешимой, неопровержимой математики — «единственной науки, которую Бог захотел дать человечеству» (Гоббс, 1651). Большая часть скептиков примирилась с неприступностью этой крепости догматистской теории познания. Бросить этому вызов — давно уже стало необходимым.

Вот еще: http://iph.ras.ru/uplfile/logic/log11/Li_11_Znatnov.pdf

Т.е. понятие опровержения в математике существует и используется.

Понравилось:

«проверка обычного доказательства часто представляет очень деликатное предприятие, и, чтобы на­пасть на „ошибку“, требуется столько же интуиции и счастья, сколько и для того, чтобы натолкнуться на доказательство; от­крытие „ошибок“ в неформальных доказательствах иногда может потребовать десятилетий, если не столетий. Неформальная квазиэмпирическая математика не развивается как монотонное возрастание количества несомненно доказанных теорем, но только через непрерывное улучшение догадок при помощи размышления и критики, при помощи логики доказательств и опровержений».

Приятно, что Лакатос учился в том числе в МГУ :) Поражаюсь, насколько нелегко ему пришлось по жизни...