Тема форума: «Про математику»

Возможно, я был слишком краток, т. к. приведённые мне возражения имхо не следуют из моего текста. )
(и похоже, я отстал от диалога))

Наше непосредственное представление о реальности является психической абстракцией - выделением личным отношением неких свойств реальности из всей остальной её физической сущности. То есть любое представление о реальности обладает всеми признаками абстрактной формы, в той или иной степени отражающей полноту реального параметра.
Различие между непосредственным представлением о реальности и математическими объектами заключено в "той или иной степени" - математические абстракции являются дальнейшим абстрагированием непосредственных представлений о реальности. Другими словами, числа, фигуры, функции, операторы, множества и все другие математические объекты и отношения также наполнены смысловым содержанием, взятым из окружающей действительности.

Реальность же доступна нам только с некоторой точностью. Следовательно, математика фактически оперирует приближёнными данными, приближёнными абстрактными формами реальности. Ведь в реальности нет идеальных фигур или, например, сложения - эти абстрактные формы выделены человеком из единства физических взаимодействий. Поэтому все математические объекты, включая логику (классическая логика, например, несогласуется с измерением дополнительных переменных в квантовой физике - квантовая логика в стадии разработки имхо) так или иначе не соответствуют реальности.

Таким образом, математика описывает не реальный мир, а возможный. Тот, который может быть реализован в принятой системе аксиом. Чем точнее (полнее) представления о реальности, которые легли в основу аксиом, тем точнее выводимые математические соотношения будут отражать реальность.
Именно из-за этой зависимости нельзя вывести всё множество физических соотношений реальности простым оперированием с математическими объектами. Вернее, мы ограничены в таком выводе аксиомами, которые являются "элементарным" основанием математики и, следовательно, невыводимы "сами из себя". Другими словами, мы не сможем математическими методами проникнуть в физическую суть тех процессов и отношений, что приняты в качестве аксиом. (Из этого также следует, что количество выводимых формул конечно в ограниченной аксиоматике).
Для этого нам потребуются новые аксиомы - новые математические абстракции, которые можно получить только через наблюдение реальности, то есть в физическом эксперименте.
(Связь с Гёделем очевидна, имхо)

Давид Гильберт, доклад "Математические проблемы", посвящённый 23 проблемам математики, произнесенный на II Международном Конгрессе математиков в 1900 году:
"...Кроме того, математик должен, подобно тому как это сделано в геометрии, принимать во внимание не только факты реальной действительности, но и все логически возможные теории и особенно быть внимательным к тому, чтобы получить наиболее полный обзор совокупности следствий, которые вытекают из принятой системы аксиом.
Далее, кроме физических методов изучения задачи, перед математиком всякий раз возникает задача — точно доказать, что вновь присоединенная аксиома не находится в противоречии с прежними аксиомами.
Физик часто находится во власти результатов своего эксперимента, с помощью которого и во время которого он вынужден в развитии своей теории делать новые допущения; при этом в отсутствии противоречия вновь принятого допущения с прежними его убеждает только или сам эксперимент, или некоторая физическая интуиция — обстоятельство, которое при строго логическом построении теории недопустимо. Доказательство непротиворечивости всех принятых допущений кажется мне очень важным, поскольку само стремление провести такое доказательство наиболее действенно побуждает нас к точной формулировке аксиом."
http://booklists.narod.ru/M_Mathematics/Aleksandrov_P.S.__red.__Problemy_Gil_berta__sbornik_statej__2000__ru__L__T__134s_.1.htm

Предметом исследования математики является взаимоотношение математических объектов. Предметом исследования физики - взаимоотношение реальных сущностей. Так как и математические объекты, и реальные сущности представлены нам в изоморфных (по определённому смысловому наполнению) абстракциях, то и речь может идти только о степени абстрагирования в каждой из наук, а не о принципиальном различии между физикой и математикой. Таким образом, разделение физики и математики может быть только на уровне большей или меньшей отвлечённости от "внешней" сущности исследуемых явлений.
Чем глубже относительный уровень физических исследований, тем сложнее и необычнее становятся выявляемые закономерности. Как следствие, логические - то есть математические выводы затруднены. В результате, складывается впечатление, что математика, в отличии от физики, исследует какой-то свой "математический" мир, где всё логично и взаимосвязанно, по сравнению с реальным миром. Но дело в том, имхо, что пока логика происходящего в эксперименте не понятна, невозможна и формализация явления до полноценного математического объекта. Когда же такая логика выявлена и математический объект создан, то в нём уже сложно узнать его естественный физический прообраз (но не учёному математику, конечно) из-за максимальной абстрагированности математического языка. В этом, по-моему, причины представления математики как о мало привязанной к реальности игре ума.

Сравнение математики с философией имхо правомерно, если признать математику "предельным" случаем философии. То есть полностью формализованным протоколом, а не просто текстом, допускающим толкования. (В этом смысле язык и математика обладают симметрией относительно правил семантики).