Метод Байеса, применительно к атеизму

Перекресный А.С.
Метод Байеса, применительно к атеизму.
По мотивам статьи Питера Д. Уилсона

Метод Байеса это аналитический метод, который очень полезен при сравнении гипотез. В этом методе вероятности всех возможных исходов эксперимента объединяются с гипотезами, известными до проведения эксперимента, и затем исчисляется вероятность того, что данные гипотезы подтвердятся в ходе эксперимента.

Метод исчерпывающе описывается теоремой Байеса:

где:

p(Hi|I) - начальная вероятность того, что гипотеза H верна, исходя из имеющегося опыта I;

p(Ui|I) - вероятность наблюдения события Ui, исходя только из опыта I.

p(Ui|HiI) - вероятность наблюдения события Ui, исходя как из опыта I, так и из гипотезы Hi.

p(Hi|UiI) - постериорная вероятность истинности гипотезы Hi на основании опыта I и полученных экспериментальных наблюдений Ui

Давайте выдвинем гипотезы: "Корова может летать"(H1=R) и "Корова не может летать"(H1=notR),

чтобы проиллюстрировать работу метода.

До эксперимента оценим априорную достоверность каждой из гипотез.

Поскольку корова либо способна летать, либо неспособна, сумма вероятностей истинности обеих гипотез составляет единицу. Поскольку летающая кругами корова поставила бы под сомнение ВСЕ, что мы знаем о полетах, оценим вероятность наличия летательных способностей у коров, как крайне малую, хотя и ненулевую величину R. Нулевую величину назначить нельзя до тех пор, пока мы не будем знать ВСЕ о ВСЕХ видах полетов.

P(H1|I) = R; R ~ 0;

Разумеется, вероятность отсуствия летательных способностей у коров составит близкую к единице величину 1-R или notR.

P(H2|I) = 1-R; 1-R ~ 1;

Оценим априорную вероятность обоих исходов эксперимента, исходя из имеющегося опыта. Эта вероятность вычисляется, как доля каждого из исходов в уже имеющихся наблюдениях. Для полета коровы (U1) такая доля равна нулю, поскольку никогда ранее летающая корова не наблюдалась, но чем черт не шутит:

P(U1|I) = 0;

Соответственно, все известные нам коровы не летали, и доля летальных исходов (U2) охватывает весь объем наблюдений I:

P(U2|I) = 1;

Теперь, оценим вероятность двух исходов на основе как опыта, так и гипотез. Начнем со второй гипотезы(о неспособности коров к полету). Данный случай более прост. Гипотеза (H2) утверждает, что корова погибнет безусловно, и предшествующий опыт (I) этому не противоречит. Поэтому летательный исход (U1) в рамках данной гипотезы (H2) имеет нулевую вероятность:

P(U1|H2I) = 0;

Разумеется, летальный исход (U2) в рамках данной гипотезы (H2) безусловен, и имеет вероятность равную единице:

P(U2|H2I) = 1;

В случае гипотезы о летании коров мы имеем более сложный случай. Вычислить вероятность выживания коровы в данном случае не так просто. Обстоятельства могут помешать корове показать себя во всей красе. Корова может погибнуть из-за нелетной погоды, или из-за внезапно проявившейся тяги к самоубийству. Или вражеские диверсанты впрыснут корове яд в летательную мышцу. Но поскольку у нас по прежнему всего два вероятных исхода, разделим общую единичную вероятность между этими двумя исходами поровну.

P(U1|H1I) = 0.5; // Полетела

P(U2|H1I) = 0.5; // Погибла

Итак, фифти-фифти. Замечу, что это еще очень приличные шансы. Вот только корову почему-то жалко.

Итак, предварительный этап завершен. Давайте разработаем методику эксперимента

Эксперимент заключается в следующем: серия коров сбрасывается с вертолета. Высота – 1км.

При этом подсчитывается распределение летальных и летательных исходов. Единственным свидетельством способности коров к полету будем считать наблюдение летящей коровы. Подразумевается полет горизонтальный или по восходящей, без применения технических средств.

/* Маленькая предосторожность от коров с парашютами и моторчиками a-la Карлссон */

Теперь приступаем к эксперименту (приглашенный оркестр играет траурный марш).

Рассмотрим оба возможных исхода:

Предположим, одна из коровок, плавно развернувшись и мягко коснувшись земли, после короткой пробежки замирает у стола, за которым заседает комиссия по исследованию сверхценных гипотез.

После такого исхода эксперимента, постериорная вероятность истинности гипотезы о приземленной сущности коровы, немедленно обратится в ноль:

p(H2=неспособна | а она U1=летает, хотя I=раньше не летала) = 0, или более формально:

А все потому, что априорная вероятность полета для данной гипотезы была нулевой:

p(U1|H2I) = 0.

Постериорная вероятность противоположной гипотезы отлична от нуля и равна единице, поскольку при таком раскладе истинность данной гипотезы есть непреложный факт.

Однако данный расклад есть тривиальный, и все столкновения идей, где он случился, давно и окончательно закончились победой одной из гипотез. Мы же имеем дело с гораздо более сложной ситуацией.

Если коровка разобьется, обе гипотезы будут иметь ненулевую постериорную вероятность, поскольку обе они допускали такое развитие событий. Сила метода Байеса заключается в том, что при результате, допустимом для обеих гипотез, мы станем обладателями относительной вероятности истинности двух гипотез.

Что же произошло с вероятностями истинности обеих гипотез после гибели коровки? Изменились ли они? А если да, то как?

Давайте сделаем простое численный расчет.

Предположим, что обе гипотезы примерно равноценны и имеют априорную вероятность истинности по 0.5.

Предположим даже, что весь имеющийся житейский опыт не позволяет нам оценить шансы исходов иначе, как фифти/фифти, то-есть по 0.5

Распределение же шансов в рамках гипотез оставим без изменений, поскольку эти шансы – неотъемлемая часть гипотез.

Чему же равна постериорная вероятность для каждой из гипотез после эксперимента?

На этом этапе можно провести нормализацию результатов, с тем, чтобы сумма этих вероятностей составляла единицу. Это, в общем, не есть необходимо, но в теории вероятностей так уж принято. Можете мне поверить, что никаких подвохов тут нет.

-

Итак, для первой гипотезы вероятность уменьшилась, а для второй – возросла. Нетрудно догадаться, что при каждом последующем смертельном исходе, вероятность гипотезы о нелетании коров буде становиться все выше и выше, а противоположной – все ниже и ниже. Может показаться удивительным, но всего двадцати коров, принесенных в жертву науке, достаточно, чтобы вторая гипотеза оказалась в МИЛЛИОН раз более вероятной, чем первая. И это при равных начальных шансах.

Вот как выглядит динамика распределения отношения вероятностей для описанного случая:

Все сомневающиеся могут проверить эти результаты в Мелкософтовсом Ёкселе:

Как видно из таблицы, уже пятнадцатый эксперимент низводит вероятность летания коров до нуля, с точностью до четвертого знака после запятой. А характер кривой подсказывает, что после убийства сотой несчастной коровки значащей цифре в этой вероятности будут предшествовать несколько сотен нулей.

Что же за результат мы получили?

А результат сводится вот к чему: результаты эксперимента могут не являться безусловным и однозначным доказательством или опровержением гипотезы, но они ВСЕГДА являются фактором, влияющим на вероятность истинности этой гипотезы. Причем, необходимо очень немного экспериментального материала, чтобы вероятность истинности некоторой гипотезы стала равной (или почти равной) нулю.

В примере с коровами гибель подопытных животных можно объяснить как неспособностью их к полету(в рамках одной гипотезы), так и третьими причинами( в рамках другой гипотезы). Сила гипотезы о неспособности коров летать заключается в том, что она не допускает неоднозначной трактовки экспериментальных результатов. Именно эта особенность данной гипотезы приводит к взрывному повышению вероятности ее истинности в ходе эксперимента. Между прочим, данный результат есть математическая иллюстрация известного заявления мистера Ш.Холмса:

"Отбросьте все невозможное, и то, что останется, будет ответом, как бы невероятен он ни казался"

Если гипотеза истинна, то начальная вероятность ее истинности может быть сколь угодно мала - в ходе экспериментов все другие гипотезы станут еще менее вероятны.

Что ж. Теперь обратимся к спору верующих и материалистов. Вряд ли кто-либо станет утверждать, что существуют безусловные и однозначные доказательства существования Бога. Если бы они существовали, материалистическая гипотеза была бы немедленно опровергнута, и спорить бы было не о чем.

В качестве доказательств существования Бога, как правило, приводятся примеры, допускающие неоднозначную трактовку. Материалистическая же позиция, напротив, трактует все наблюдения однозначно. Когда река течет вниз под действием силы тяжести, материалист говорит о действии законов природы. И нет оснований предполагать здесь божественное вмешательство. Если бы река вдруг потекла бы ВВЕРХ, это было бы несомненным чудом, безусловно опровергающим материалистическое мировоззрение и подтверждающим существование Бога. Но за всю историю изучения человечеством природы, подобных чудес документально не наблюдалось.

Легко видеть, что схемы "Бог есть - Бога нет" и "Коровы летают - коровы не летают" абсолютно идентичны. Естественно, идентична и динамика распределения вероятностей истинности. А поскольку простой житейский опыт каждого из нас есть непрерывной серией экспериментов с целью обнаружения божественного вмешательства, то после этих триллионов и триллионов экспериментов я могу сказать:

Не факт, что Бога нет. Не факт, что он существует. Но то, что вероятность его существования равна нулю с точностью до миллиардного знака после запятой - это факт.