Ознакомьтесь с Условиями пребывания на сайте Форнит Игнорирование означет безусловное согласие. СОГЛАСЕН

Книги сайта: «Мировоззрение», «Познай себя», «Основы адаптологии»,
«Вне привычного», Лекторий МВАП, «Что такое Я», «Наука».

Этот материал взят из источника в свободном доступе интернета. Вся грамматика источника сохранена.

Зарядка конденсатора от источника постоянной ЭДС

Относится к «Про электронику и схемотехнику»

Рассмотренный в предыдущем разделе процесс зарядки конденсатора посредством перенесения заряда с одной обкладки на другую имеет исключительно теоретический интерес, как метод расчета энергии конденсатора. Реально конденсаторы заряжают, подключая их к источнику ЭДС, например, к гальванической батарее.

Пусть конденсатор емкостью C подключен к источнику, ЭДС которого равна e (Рис. 145). Полное электрическое сопротивление цепи (включающее и внутренне сопротивление источника) обозначим R. При замыкании ключа в цепи пойдет электрический ток, благодаря которому на обкладках конденсатора будет накапливаться электрический заряд. По закону Ома сумма напряжений на конденсаторе $~U_C = frac{q}{C}$ и резисторе $U R = I R$ равна ЭДС источника $varepsilon = U_C + U_R$ , что приводит к уравнению

$~IR = varepsilon - frac{q}{C}$ . (1)

В этом уравнении заряд конденсатора и сила тока зависят от времени. Скорость изменения заряда конденсатора по определению равна силе тока в цепи $~I = frac{Delta q}{Delta t}$ , что позволяет получить уравнение, описывающее изменение заряда конденсатора с течением времени

$~R frac{Delta q}{Delta t} = varepsilon - frac{q}{C}$ . (2)

Можно также получить уравнение, непосредственно описывающее изменение силы тока в цепи с течением времени. Для этого на основании уравнения (1) запишем уравнения для малых изменений входящих величин

$~Delta varepsilon = Delta (IR) + Delta left (frac{q}{C} right )$ .

Формально эту операцию можно описать следующим образом: уравнение (1) следует записать для двух моментов времени t и (t + Delta t), а затем из второго уравнения вычесть первое. Так как ЭДС источника постоянна, то ее изменение равно нулю Delta e = 0, сопротивление цепи и емкость конденсатора постоянны, поэтому их можно вынести из под знака изменения Delta, поэтому полученное уравнение приобретает вид

$~R Delta I = - frac{1}{C} Delta q$ .

Наконец разделим его на промежуток времени, в течение которого произошли эти изменения, в результате получаем искомое уравнение (с учетом связи между силой тока и изменения заряда)

$~frac{Delta I}{Delta t} = -frac{1}{RC} I$ . (3)

Математический смысл этого уравнения указывает, что скорость уменьшения тока пропорциональна самой силе тока. Для однозначного решения этого уравнения необходимо задать начальное условие – значение силы тока в начальный момент времени I₀ = I(0).

С уравнениями такого типа мы познакомились в «математическом отступлении», поэтому здесь его анализ проведем кратко. В начальный момент времени, когда заряд конденсатора равен нулю, скорость возрастания заряда (то есть сила тока) максимальна и равна $~I_0 = Delta left (frac{Delta q}{Delta t} right )_0 = frac{varepsilon}{R}$ . Затем по мере накопления заряда сила тока будет уменьшаться, когда напряжение на конденсаторе станет равным ЭДС источника, заряд конденсатора достигнет максимального стационарного значения $~overline{q} = Cvarepsilon$ и ток в цепи прекратится.

Схематически зависимости заряда конденсатора и силы тока в цепи от времени показаны на рис. 146. Для оценки времени зарядки конденсатора можно принять, что заряд возрастает до максимального значения с постоянной скоростью, равной силе тока в начальный момент времени. В этом случае

$~tau = frac{overline{q}}{I_0} = RC$ . (4)

Аналогичная оценка исчезновения тока, полученная на основании уравнения (3) приводит к этому же результату.

Строго говоря, время зарядки конденсатора, описываемой уравнением (2) равно бесконечности. Это парадокс можно исключить, если принять во внимание дискретность электрического заряда. Кроме того, заряд конденсатора, подключенного к батарее с течением времени случайным образом изменяется, флуктуирует, поэтому рассматриваемое уравнение описывает некоторые усредненные характеристики процесса. Тем не менее, полученная оценка времени RC широко применяется в приближенных расчетах, часто ее называют просто временем зарядки конденсатора.

Рассмотрим теперь превращения различных форм энергии в данном процессе. Понятно, что причиной тока в цепи и как следствие зарядки конденсатора являются сторонние силы источника. На первый взгляд, энергетический баланс включает определенное противоречие: если источник сообщил конденсатору заряд q, то сторонние силы совершили при этом работу A₀ = q_e , при этом энергия конденсатора стала равной $~W = frac{q^2}{2C} = frac{q varepsilon}{2}$ , что в два раза меньше работы совершенной источником. Противоречие исчезает, если принять во внимание, что в процессе зарядки по цепи течет электрический ток, поэтому на резисторе выделяется некоторое количество теплоты, то есть часть энергии источника переходит в тепловую. Мысленно разобьем время зарядки на малые промежутки Delta t_i (i = 1,2,3...). Перепишем уравнение (1) в виде

$~varepsilon = IR + frac{q}{C}$ , (5)

и умножим его на величину малой порции заряда, переносимого за малый промежуток времени Delta t_i, Delta q_i = I_i Delta t_i . В результате получим

$~varepsilon Delta q_i = I_i R Delta q_i + frac{q_i}{C} Delta q_i$ . (6)

Здесь обозначено q_i - заряд конденсатора перед перенесением рассматриваемой порции заряда. Каждый член полученного уравнения имеет явный физический смысл:

$~varepsilon Delta q_i = delta A$ - работа сторонних сил по перемещению порции заряда ?q_i;

$~frac{q_i}{C} Delta q_i = Delta W_C$ - увеличение энергии конденсатора при увеличении его заряда на Delta q_i;

$~I_i R Delta q_i = I^2_i R Delta t_i = delta Q$ - количество теплоты, выделившееся на резисторе, при протекании

порции заряда Delta q_i.

Таким образом, закон сохранения энергии, выражаемый уравнением баланса (6) для малого промежутка времени оказывается выполненным, следовательно, он будет выполнен и для всего процесса зарядки. Просуммируем выражение (5) по всем промежуткам времени зарядки, в результате чего получим:

$~sum_i varepsilon Delta q_i = varepsilon overline{q} = A$ - полная работа сторонних сил по перенесению электрического заряда, равного стационарному заряду конденсатора;

$~sum_i frac{q_i}{C} Delta q_i = frac{overline{q^2}}{2C} = frac{varepsilon overline{q}}{2} = frac{C varepsilon^2}{2}$ - энергия заряженного конденсатора;

наконец, $~sum_i I_i R Delta q_i = sum_i I^2_i R Delta t_i$ - количество выделившейся на резисторе теплоты.

Принимая во внимание уравнение (3) и формулы из «математического отступления», последнюю сумму можно выразить в виде

$~Q = R sum_i I^2_i Delta t_i = R frac{1}{2} I^2_0 tau = R frac{1}{2} left ( frac{varepsilon}{R} right )^2 RC = frac{C varepsilon^2}{2}$ . (6)

Эта сумма же может быть вычислена графически. Формула (1) задает зависимость напряжения на резисторе $U R = I R$ от заряда конденсатора. Эта зависимость линейна, ее график (Рис. 147) является отрезком прямой линии. За малый промежуток времени через резистор протечет малый заряд Delta q_i, при этом выделится количество теплоты $~delta Q_i = I_i R Delta q_i$ , которое численно равно площади узкой полоски, выделенной на рисунке. Полное количество теплоты, выделившейся при прохождении всего заряда численно равно площади треугольника под графиком зависимости U_R(q), то есть

$~Q = frac{1}{2} C varepsilon cdot varepsilon = frac{C varepsilon^2}{2} = frac{q^2_0}{2 C}$ . (7)

Таким образом, энергетический баланс полностью сходится и для всего процесса целиком: работа, совершенная источником равна сумме энергии конденсатора и количества выделившейся теплоты $A = W C + Q$ . Схематически преобразование энергии в этом процессе показано на рис. 148.

Интересно заметить, что количество теплоты, выделяющееся при зарядке, не зависит о сопротивления цепи и в точности равно энергии конденсатора. То есть, половина энергии источника переходит в энергию электрического поля, а вторая в тепловую энергию, выделяющуюся в цепи: природа требует своеобразный пятидесятипроцентный налог в виде тепловых потерь, не зависимо от сопротивления цепи и емкости конденсатора^[1].

Примечания

^ Но эти параметры цепи определяют время процесса.

Обсуждение Еще не было обсуждений.

Последнее редактирование: 2018-04-19

Оценить статью можно после того, как в обсуждении будет хотя бы одно сообщение.

Об авторе:
Этот материал взят из источника в свободном доступе интернета. Вся грамматика источника сохранена.

Тест: А не зомбируют ли меня? Тест: Определение веса ненаучности

В предметном указателе: графеновый суперконденсатор емкостью 10 тысяч (!) Фарад | графеновый суперконденсатор емкостью 10 тысяч (!) Фарад | Источники электропитания для д... | Источники сотворения | Гидротермальные источники — колыбель жизни на Земле? | Создан революционный источник света | Не являются ли источником ядерной, химической, термической, механической, гравитационной энергий одни и те же объекты? | Обсуждение Источники сотворения | Эксперимент по схеме Аспекта с источником псевдо-запутанных частиц или когда неравенства Белла не нарушаются (ppv) | Антигравитация | Гравитация | О постоянстве скорости света. Анализ постулатов Эйнштейна | О постоянстве скорости света. Анализ постулатов Эйнштейна

Последняя из новостей: Схемотехника адаптивных систем - Путь решения проблемы сознания.

Все новости

Создан синаптический коммутатор с автономной памятью и низким потреблением
Ученые Северо-Западного университета, Бостонского колледжа и Массачусетского технологического института создали новый синаптический транзистор, который имитирует работу синапсов в человеческом мозге.

Все статьи журнала

Тематическая статья: Рефлексы

Рецензия: Статья П.К.Анохина ФИЛОСОФСКИЙ СМЫСЛ ПРОБЛЕМЫ ЕСТЕСТВЕННОГО И ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА

	посетителей	заходов
сегодня:	4	4
вчера:	9	11
Всего:	84317	95625

Авторские права сайта Fornit