Fornit
 

Этот материал взят из источника:
http://www.physbook.ru/index.php/%D0%A1%D0%BB%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B4%D1%8F%D0%BD%D1%8E%D0%BA_%D0%90.%D0%98._%D0%A4%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_10/16.4
Список основных тематических статей >>

Этот документ использован в разделе "Про электронику и схемотехнику"

Распечатать
Добавить в личную закладку.

Зарядка конденсатора от источника постоянной ЭДС

Рассмотренный в предыдущем разделе процесс зарядки конденсатора посредством перенесения заряда с одной обкладки на другую имеет исключительно теоретический интерес, как метод расчета энергии конденсатора. Реально конденсаторы заряжают, подключая их к источнику ЭДС, например, к гальванической батарее.

Пусть конденсатор емкостью C подключен к источнику, ЭДС которого равна e (Рис. 145). Полное электрическое сопротивление цепи (включающее и внутренне сопротивление источника) обозначим R. При замыкании ключа в цепи пойдет электрический ток, благодаря которому на обкладках конденсатора будет накапливаться электрический заряд. По закону Ома сумма напряжений на конденсаторе ~U_C = \frac{q}{C} и резисторе UR = IR равна ЭДС источника \varepsilon = U_C + U_R, что приводит к уравнению

~IR = \varepsilon - \frac{q}{C} . (1)

В этом уравнении заряд конденсатора и сила тока зависят от времени. Скорость изменения заряда конденсатора по определению равна силе тока в цепи ~I = \frac{\Delta q}{\Delta t}, что позволяет получить уравнение, описывающее изменение заряда конденсатора с течением времени

~R \frac{\Delta q}{\Delta t} = \varepsilon - \frac{q}{C} . (2)

Можно также получить уравнение, непосредственно описывающее изменение силы тока в цепи с течением времени. Для этого на основании уравнения (1) запишем уравнения для малых изменений входящих величин

~\Delta \varepsilon = \Delta (IR) + \Delta \left (\frac{q}{C} \right ) .

Формально эту операцию можно описать следующим образом: уравнение (1) следует записать для двух моментов времени t и (t + Delta t), а затем из второго уравнения вычесть первое. Так как ЭДС источника постоянна, то ее изменение равно нулю Delta e = 0, сопротивление цепи и емкость конденсатора постоянны, поэтому их можно вынести из под знака изменения Delta, поэтому полученное уравнение приобретает вид

~R \Delta I = - \frac{1}{C} \Delta q .

Наконец разделим его на промежуток времени, в течение которого произошли эти изменения, в результате получаем искомое уравнение (с учетом связи между силой тока и изменения заряда)

~\frac{\Delta I}{\Delta t} = -\frac{1}{RC} I . (3)

Математическая смысл этого уравнения указывает, что скорость уменьшения тока пропорциональна самой силе тока. Для однозначного решения этого уравнения необходимо задать начальное условие – значение силы тока в начальный момент времени I0 = I(0).

С уравнениями такого типа мы познакомились в «математическом отступлении», поэтому здесь его анализ проведем кратко. В начальный момент времени, когда заряд конденсатора равен нулю, скорость возрастания заряда (то есть сила тока) максимальна и равна ~I_0 =  \Delta \left (\frac{\Delta q}{\Delta t} \right )_0 = \frac{\varepsilon}{R}. Затем по мере накопления заряда сила тока будет уменьшаться, когда напряжение на конденсаторе станет равным ЭДС источника, заряд конденсатора достигнет максимального стационарного значения ~\overline{q} = C\varepsilon и ток в цепи прекратится.

Схематически зависимости заряда конденсатора и силы тока в цепи от времени показаны на рис. 146. Для оценки времени зарядки конденсатора можно принять, что заряд возрастает до максимального значения с постоянной скоростью, равной силе тока в начальный момент времени. В этом случае

~\tau = \frac{\overline{q}}{I_0} = RC . (4)

Аналогичная оценка исчезновения тока, полученная на основании уравнения (3) приводит к этому же результату.

Строго говоря, время зарядки конденсатора, описываемой уравнением (2) равно бесконечности. Это парадокс можно исключить, если принять во внимание дискретность электрического заряда. Кроме того, заряд конденсатора, подключенного к батарее с течением времени случайным образом изменяется, флуктуирует, поэтому рассматриваемое уравнение описывает некоторые усредненные характеристики процесса. Тем не менее, полученная оценка времени RC широко применяется в приближенных расчетах, часто ее называют просто временем зарядки конденсатора.

Рассмотрим теперь превращения различных форм энергии в данном процессе. Понятно, что причиной тока в цепи и как следствие зарядки конденсатора являются сторонние силы источника. На первый взгляд, энергетический баланс включает определенное противоречие: если источник сообщил конденсатору заряд q, то сторонние силы совершили при этом работу A0 = qe , при этом энергия конденсатора стала равной ~W = \frac{q^2}{2C} = \frac{q \varepsilon}{2} , что в два раза меньше работы совершенной источником. Противоречие исчезает, если принять во внимание, что в процессе зарядки по цепи течет электрический ток, поэтому на резисторе выделяется некоторое количество теплоты, то есть часть энергии источника переходит в тепловую. Мысленно разобьем время зарядки на малые промежутки Delta ti (i = 1,2,3...). Перепишем уравнение (1) в виде

~\varepsilon = IR + \frac{q}{C} , (5)

и умножим его на величину малой порции заряда, переносимого за малый промежуток времени Delta ti, Delta qi = Ii Delta ti . В результате получим

~\varepsilon \Delta q_i = I_i R \Delta q_i + \frac{q_i}{C} \Delta q_i . (6)

Здесь обозначено qi - заряд конденсатора перед перенесением рассматриваемой порции заряда. Каждый член полученного уравнения имеет явный физический смысл:

~\varepsilon \Delta q_i = \delta A - работа сторонних сил по перемещению порции заряда ?qi;
~\frac{q_i}{C} \Delta q_i = \Delta W_C - увеличение энергии конденсатора при увеличении его заряда на Delta qi;
~I_i R \Delta q_i = I^2_i R \Delta t_i = \delta Q - количество теплоты, выделившееся на резисторе, при протекании

порции заряда Delta qi.

Таким образом, закон сохранения энергии, выражаемый уравнением баланса (6) для малого промежутка времени оказывается выполненным, следовательно, он будет выполнен и для всего процесса зарядки. Просуммируем выражение (5) по всем промежуткам времени зарядки, в результате чего получим:

~\sum_i \varepsilon \Delta q_i = \varepsilon \overline{q} = A - полная работа сторонних сил по перенесению электрического заряда, равного стационарному заряду конденсатора;
~\sum_i \frac{q_i}{C} \Delta q_i = \frac{\overline{q^2}}{2C} = \frac{\varepsilon \overline{q}}{2} = \frac{C \varepsilon^2}{2} - энергия заряженного конденсатора;
наконец, ~\sum_i I_i R \Delta q_i = \sum_i I^2_i R \Delta t_i - количество выделившейся на резисторе теплоты.

Принимая во внимание уравнение (3) и формулы из «математического отступления», последнюю сумму можно выразить в виде

~Q = R \sum_i I^2_i \Delta t_i = R \frac{1}{2} I^2_0 \tau = R \frac{1}{2} \left ( \frac{\varepsilon}{R} \right )^2 RC = \frac{C \varepsilon^2}{2} . (6)

Эта сумма же может быть вычислена графически. Формула (1) задает зависимость напряжения на резисторе UR = IR от заряда конденсатора. Эта зависимость линейна, ее график (Рис. 147) является отрезком прямой линии. За малый промежуток времени через резистор протечет малый заряд Delta qi, при этом выделится количество теплоты ~\delta Q_i = I_i R \Delta q_i, которое численно равно площади узкой полоски, выделенной на рисунке. Полное количество теплоты, выделившейся при прохождении всего заряда численно равно площади треугольника под графиком зависимости UR(q), то есть

~Q = \frac{1}{2} C \varepsilon \cdot \varepsilon = \frac{C \varepsilon^2}{2} = \frac{q^2_0}{2 C} . (7)

Таким образом, энергетический баланс полностью сходится и для всего процесса целиком: работа, совершенная источником равна сумме энергии конденсатора и количества выделившейся теплоты A = WC + Q. Схематически преобразование энергии в этом процессе показано на рис. 148.

Интересно заметить, что количество теплоты, выделяющееся при зарядке, не зависит о сопротивления цепи и в точности равно энергии конденсатора. То есть, половина энергии источника переходит в энергию электрического поля, а вторая в тепловую энергию, выделяющуюся в цепи: природа требует своеобразный пятидесятипроцентный налог в виде тепловых потерь, не зависимо от сопротивления цепи и емкости конденсатора[1].

Примечания

  1. ^ Но эти параметры цепи определяют время процесса.



Последнее редактирование: 2013-12-20

Оценить статью можно после того, как в
обсуждении будет хотя бы одно сообщение.
Об авторе:
Этот материал взят из источника:
http://www.physbook.ru/index.php/%D0%A1%D0%BB%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B4%D1%8F%D0%BD%D1%8E%D0%BA_%D0%90.%D0%98._%D0%A4%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_10/16.4



Тест: А не зомбируют ли меня?     Тест: Определение веса ненаучности

В предметном указателе: Антигравитация | Гравитация | Гидротермальные источники — колыбель жизни на Земле? | Источники сотворения | Источниковедческая Фальсификация истории Украины | Новости: Жизнь зародилась в горячих источниках на дне океана | Новости: Источники сотворения или А не роботы ли мы? | Обсуждение Источники сотворения | Создан революционный источник света

Последняя из новостей: Рассматривая организацию нервной системы в порядке эволюционного совершенствования, видно, что все возникающие механизмы обусловлены необходимостью адаптации, в том числе и механизмы психики:
Адаптология

Как управлять генами силой мысли
Электрические ритмы мозга можно превратить в световой сигнал, который включит синтез нужного белка в светочувствительной клетке.
На этой странице:посетителейзаходов
сегодня:55
вчера:3947
Всего:4190848890

Из коллекции изречений:
>>показать еще...


Авторские права сайта Fornit
Яндекс.Метрика