Поиск по сайту
Проект публикации книги «Познай самого себя»
Узнать, насколько это интересно. Принять участие.

Короткий адрес страницы: fornit.ru/863

Этот материал взят из источника: http://dr-klm.livejournal.com/123882.html
Список основных тематических статей >>
Этот документ использован в разделе: "Квантовая запутанность"Распечатать
Добавить в личную закладку.

Неравенства Белла
dr_klm


Анти-дополнение к заметке Гарика "Про теорему Белла и телепатию в квантовом мире".

В нелюбви к квантовой механике (точнее, к восприятию ее в качестве теории, описывающей реальность, а не процесс измерений) меня уже уличали не раз. ;-) Вот и здесь я хочу привести альтернативный взгляд на эксперименты по проверке неравенств Белла. В частности, эксперименты Аспекта (см. оригинальные статьи [1],[2]). Взгляд Гарика на эти вещи совершенно точно отражает официальную позицию, которая, вполне возможно, и является верной. Но все таки есть и другие точки зрения, вполне возможно и неверные, об одной из которых (т.н. локальном недетерминизме AKA локальном индетерминизме AKA local indeterminism) я хочу здесь рассказать.

Эксперименты Алана Аспекта считаются доказательством наличия "телепатии" в квантовом мире, spooky action at a distance или нелокальности. В них проверяется выполнение неравенств, полученных Джоном Беллом. Эти неравенства должны выполняться для широкого класса теорий со скрытыми переменными (предполагающими, что свойства микрообьектов имеют определенное значение до того как их измерили) и нарушаются квантовой механикой. Аспект (в т.ч.) провел экспериментальную проверку выполнения этих неравенств для пар когерентных фотонов и пришел к выводу о том, что они таки нарушаются (а значит есть дальнодействие, нелокальность, и т.д.).

Мы здесь, вооруженные языком J, поставим ряд численных экспериментов и убедимся, что (в той мере, в которой можно понять процедуру, проведенную Аспектом в упомянутой работе), результаты его измерений и рассчетов согласуются с моделью локального недетерминизма, предполагающей таки наличие у фотонов определенной поляризации и не требующей никакого дальнодействия.

Вкратце, схема эксперимента, впервые предложенного в работе Эйнштейна, Подольского и Розена следующая (для более подробного описания, рекомендую заглянуть на страничку, с которой я перепечатал эту картинку).

Источник пар фотонов с разными направлениями поляризации и разными частотами, окружен светофильтрами, пропускающими противоположно поляризованные фотоны (отличаемые по цвету, т.е. длине волны) в разных направлениях. Дальше с обоих сторон стоят поляризаторы, разделяющие потоки фотонов, поляризованных вдоль некоторого выделенного направления (которое можно менять) и перпендикулярно ему. Эти четыре потока фотонов (по два с обоих сторон) регистрируются фотоумножителями и сравниваются четырехканальным компаратором. При наличии в нем одновременно (точнее, во временном окне 18 наносекунд) двух сигналов слева и справа регистрируется событие. События бывают четырех типов: справа "вдоль оси", слева "вдоль оси" (будем обозначать цифрами 11); слева "поперек оси", справа "вдоль" (01); "вдоль", "поперек" (10); и "поперек", "поперек" (01). Дальше вычисляются вероятности событий P00,P01,P10,P11 и коэффициент корреляции
E(?,?) = P00 + P11 - P10 - P01,

где ? и ? направления осей поляризаторов (от них зависят относительные вероятности различных событий и, как следствие, коэффициент корреляции). E(?,?) принимает значения от 1 (означающее, что потоки фотонов вдоль оси обоих поляризаторов в точности совпадают) до -1 (когда поток "вдоль" одного из поляризаторов совпадает с потоком "поперек" другого), тоесть от полной корреляции до анти-корреляции.

Неравенство Белла (точнее, его усовершенствованная версия CHSH, названная по первым фамилиям авторов) заключаются в том, что величина
S = |E(?,?) - E(?,?')| + |E(?',?) + E(?',?')| < 2

Квантовая механика предсказывает максимальное значение S=2v2 = 2.82843 > 2, тоесть нарушение этого неравенства. Вопрос теперь заключается в том -- нарушается ли оно в эксперименте. Если оно нарушается -- то значит один фотон, будучи измеренным, определяет поляризацию другого фотона (находящегося от него на расстоянии 13м, которое свет за 18 наносекунд пройти не успевает), тоесть, имеет место "spooky action at a distance" (более подробно см. elsewhere).

Алан Аспект утверждает, что в его эксперименте получено значение S>2, свопадающее с предсказанием квантовой механики. Мы сейчас проведем численный эксперимент, основывающийся на предположении, что поляризация фотона четко определена и не требующий никакого дальнодействия. Далее мы обработаем его результаты аналогично тому, как обработал их Аспект, и тоже получим нарушение неравенства Белла.

Итак, первым делом нам нужно научиться генерировать поток фотонов со случайной (но определенной для каждого фотона) поляризацией. Делать это мы будем при помощи глагола photons, определяемого и работающего следующим образом:
   photons =: [: +:@:o.@:? 0&(#~)
   photons 10
2.81562 1.54684 3.48911 0.280702 1.17107 0.6156 4.20375 4.28221 2.23325 3.8509

Аргументом служит количество требуемых фотонов, на выходе получаем массив их случайных равномерно распределенных в интервале (0,2?) поляризаций.

Теперь соорудим сплиттер. У него уже будет два аргумента: слева -- направление его оси (угол в радианах), а справа поток фотонов. На выходе он выдаст массив нулей и единиц, обозначающий по какому каналу ("вдоль" или "поперек") пошел данный фотон. Определяется и работает сплиттер так:
   splitter =: ([: ? 0 #~ #@]) <: [: *:@cos -
   0 splitter photons 10
1 1 1 0 0 0 1 0 0 0
Тоесть, работает он вероятностно (потому в описании этого способа интерпретации присутствует слово "индетерминизм"). Вычисляется квадрат косинуса угла между поляризацией фотона и направлением оси сплиттера (совершенно классический и общеизвестный закон Малюса), а потом генерируется случайное число в интервале (0,1). Если это число меньше вычисленного косинуса квадрата -- фотон отправляется по каналу "вдоль" (для него в результирующем массиве выдается 1), если меньше -- по каналу "поперек".

Для развлечения и проверки, сконструируем на базе сплиттера еще и поляризатор:
   polarizer =: [ #~ [: +/ splitter
   0 polarizer photons 10
0 0 0 0
   1r2p1 polarizer photons 10
1.5708 1.5708 1.5708 1.5708 1.5708 1.5708 1.5708 1.5708
Тоесть он, получая в качестве аргумента направление оси, просто выбрасывает те фотоны, которые сплиттер посылает по каналу "поперек", а пролетевшим задает определенное направление поляризации, совпадающее с направлением оси (константа 1r2p1 на языке J служит записью числа ?/2).

Имея поляризатор мы уже можем поставить, для проверки, один из известных (и на первый взгляд неочевидных) экспериментов. Когда мы подаем на поляризатор (с любым направлением оси) поток неполяризованных фотонов, в среднем, через него проходит только каждый второй:
   # 1r2p1 polarizer photons 1000000
500189
Если поставить в ряд два поляризатора, оси которых направлены под углом 90 градусов (&pi/2) друг к другу -- не пройдет ни один фотон:
   # 0&polarizer 1r2p1&polarizer photons 1000000
0
А вот теперь, если вставить между ними поляризатор с промежуточным углом (в данном случае, с направлением оси 45% или pi/4 или 1r4p1), то фотоны, "вдруг", снова начнут проходить:
      # 0&polarizer 1r4p1&polarizer 1r2p1&polarizer photons 1000000
125129
Точнее, их пройдет восьмая часть от исходного неполяризованного света, либо четвертая часть от света, прошедшего через первый поляризатор. Тоесть наши поляризатор и сплиттер правильно воспроизводят этот классический эффект.

Вернемся к эксперименту Аспекта. Первое, что он измерил -- вероятность совпадения результатов в обоих сплиттерах (справа и слева от источника). Мы это тоже можем легко посчитать
   coinccount =: (splitter~ {.@])~ (+/@:=) (splitter~ {:@])~
   0 0 coinccount photons 1000000
749693
   0 1r2p1 coinccount photons 1000000
250234
Здесь справа задается поток фотонов, а слева углы поворота осей обоих сплиттеров, левого и правого (в данном случае оба угла равны нулю). На выходе получаем количество совпадений. Как видим, при перекрестной ориентации осей сплиттеров, часть фотонов все равно проходит. Применим первый трюк Аспекта (ну мы-же хотим доказать правильность квантовой механики, а ради такой великой цели можно ВСЕ ! ;-) и вычтем этот "фон" (accidental rates, как он это называет). Потом построим график зависимости вероятности совпадений от угла между поляризаторами (теперь уже выраженного в градусах)
   crate =: (1000000 %~ [: coinccount&(photons 1000000) [: (0&,)@:(1p1&*) %&180)
   crate 90
0.249762
   crate 0
0.750904
   load 'plot'
   plot (];(crate@:(90"_) -~ crate)"0) 90 * 9%~ i. 10
Этот график в точности воспроизводит Рис. 4 в работе [2] и соответствует утверждению (на третьей странице работы [1] через один абзац перед формулой (4)), что coincidence rate (40 совпадающих событий в секунду) в два раза меньше полного числа событий (80 в секунду).

Теперь посчитаем корреляцию E(??).
   0 0 eab photons 1000000
498802
   1r2p1 1r2p1 eab photons 1000000
500400
   0 1r2p1 eab photons 1000000
_499564
   0 1r4p1 eab photons 1000000
_1288
Как видим, корреляция меняется в пределах от половины числа событий до минус половины числа событий (т.е. от 1/2 до -1/2). Это согласуется с аналогичным верхним пределом для вероятности совпадения событий и с наличием вычтенного "фона". Если подставить такую корреляцию в формулу для S то окажется, что неравенства Белла выполняются (и ничего квантового в системе нет). Тут наступает время для второго трюка Аспекта (он не описан им явно, и потому, возможно я и не прав, но по-другому, насколько я вижу, просто не получается) -- перенормировке корреляций. Мы будем делить корреляцию не на полное число фотонов (которое в эксперименте Аспекта тоже не известно), а на на максимальное количество фотонов, которые мы видим при самой благоприятствующей прохождению ориентации поляризаторов (тоесть на половину от этого числа, в данном случае на 500000). Тогда получится, что, при изменении углов, eab меняется в интервале от -1 до 1.
   eabnorm =: 500000 %~ [: eab&(photons 1000000) [: (1p1&*) %&180
   plot (];([: eabnorm 0&,)"0) 90 * 9%~ i. 10
Это воспроизводит график 3 из работы [1].

Теперь дело за малым. Вычисляем eab для разных значений ? и ?, при которых ожидается наибольшее отклонение предсказаний классической механики от предсказаний квантовой
   eabnorm 0 22.5
0.709056
   eabnorm 0 67.5
_0.70588
   eabnorm 45 22.5
0.709096
   eabnorm 45 67.5
0.70486
(сравните с таблицей на вот этой страничке, посвященной более детальному описанию эксперимента Аспекта) и вычисляем S
   (0.706968 - _0.705128) + (0.706908 + 0.707384)
2.82639
Получаем нарушение неравенств Белла в точном соответствии с предсказаниями квантовой механики. Стоп ! Но ведь квантовой механики у нас никакой не было ! ;-))

Вы скажете, что нам пришлось местами подмухлевать ? Да, пришлось. Но мы этого и не скрываем... ;-)

Так что ? Есть действие на расстоянии ? Вы еще доверяете квантовой криптографии ? Хотите вложить деньги в фирму по производству квантовых компьютеров ? ;-))

Последнее редактирование: 2015-04-08

Оценить статью можно после того, как в обсуждении будет хотя бы одно сообщение.
Об авторе:
Этот материал взят из источника: http://dr-klm.livejournal.com/123882.html



Тест: А не зомбируют ли меня?     Тест: Определение веса ненаучности

Поддержка проекта: Книга по психологии
В предметном указателе: Относительность неравенств Белла или Новый ум голого короля | Обсуждение статьи Что такое неравенства Белла? | Эксперимент по схеме Аспекта с источником псевдо-запутанных частиц или когда неравенства Белла не нарушаются (ppv) | Что такое неравенства Белла? (ppv)
Последняя из новостей: Обзор эволюционного появления субъективных моделей действительности: Субъективные модели действительности.
Все новости

Нейроны и вера: как работает мозг во время молитвы
19 убежденных мормонов ложились в сканер для функциональной МРТ и начинали молиться или читать священные тексты. В это время ученые наблюдали за активностью их мозга в попытке понять, на что похожи религиозные переживания с точки зрения нейрологии. Оказалось, они похожи на чувство, которое испытывает человек, которого похвалили.
Все статьи журнала
 посетителейзаходов
сегодня:45
вчера:88
Всего:43935117

Авторские права сайта Fornit
Яндекс.Метрика