Тема форума: «Мировоззренческий смысл теоремы неполноты Геделя »

автор: minski сообщение 26685

Итак, если в физической реальности можно смоделировать правила арифметики с двумя операциями (это не обязательно компьютер или чернила в тетрадях, это могут быть очень многие процессы, которые как бы "вычисляют", то есть осуществляют действия, интерпретируемые нами как совокупность арифметических операций). LUCA, кажется, часть вывода потерялась

Я хотел сказать, что, если в физической реальности (или учитывая замечания kak, в реальности, отражаемой результатами измерения), мы можем показать, что моделируется арифметика с двумя операциями, то неполнота формализмов, описывающих предсказания результатов измерений, нам гарантирована.

автор: nan сообщение 26697

Но, в самом деле, это достаточно понятно и не только интуитивно: то, что является первопричиной взаимодействий называют фундаментальным и формализованные законы таких взаимодействий - фундаментальными.

Вряд ли понятие "первопричина" можно считать столь уж понятным, чтобы говорить о том, что его можно понять достаточно точно, а не только интуитивно. Представим, что есть некая теория, претендующая на роль фундаментальной.
Во-первых, такая теория может быть сформулирован разными, но логически эквивалентными способами.
Не рассматривая конкретной природы такой теории (будь то ОТО, Стандартная модель или что-то ещё, неважно) отмечу, что почти все теории могут быть сформулированы разными, хотя и эквивалентными способами. Покажу аналогией - евклидовой геометрией. Её можно сформулировать, используя начальные понятия - прямая и точка и формулируя одни правила вывода (к коим относятся и аксиомы). А можно сформулировать на основе исходных понятий - точка и вектор и совершено других правил вывода.
Получается, что если рассматривать исходные постулаты, как отражение того, что мы воспринимаем опять же прежде всего ИНТУИТИВНО как первопричину, то эти постулаты отражают ОЧЕНЬ ПО РАЗНОМУ самое что ни на есть РАСПЛЫВЧАТОЕ понятие, которое можно уточнять (эксплицировать) весьма по разному.
Во-вторых, я не случайно писал, что разные теории не только допускают разные, но логически эквивалентные формулировки, но также разные модели, дающие один и тот же спектр эмпирических предсказаний, но даже ПРОТИВОРЕЧАЩИХ друг другу в допущениях модели. Пример также приводил с моделью Фейнмана, рассматривающей траектории как возможные.
Здесь понятие "первопричины" становится ещё более неопределённым. Если интуитивно полагать, что каждая из противоречащих моделей отражает то, что кроется за столь скользким понятием, как "первопричина", то разные модели эти первопричины "отражают" по разному. Критерии выбора первопричин становятся ещё более неопределёнными, и бритва Оккама не всегда выручает.

Опять же объясню аналогией из математики.
Многие теоремы анализа и топологии используют так называемую аксиому выбора. Однако эти же самые теоремы могут быть доказаны на основе другой аксиомы - детерминированности, которая однако логически несвоместима с аксиомой выбора.

Модели разные - многие теоремы те же самые.

В третьих. Понятие "первопричина" становится также весьма непонятным, если рассматривать законы "высокого уровня" - и это не только второй закон термодинамики.
Ценность той статьи, ссылку на которую я давал, ещё и в том, что к.х.н., будучи специалистом в области именно химии, продемонстрировал независимость постулатов хим. кинетики от теорий более низкого уровня.
И хотя нет доказательств того, что такого рода постулаты не могут быть выведены приципиально, есть очень веские основания считать, что часто это - именно так.
Возникает закономерный вопрос - все логически независимые постулаты о физических системах "высокого" уровня тоже относить к первопричинам?
Здесь я стою на однозначных позициях - редукционизм принципиально невозможен.
Что же тогда "фундаментальный"?

Подчёркивая такую неопределённость, могу сделать вывод, что понятие "фундаментальный" может стать понятным лишь после уточнения в ту или иную сторону, что я ранее и сделал. А вводить принцип первопричины хотя и не воспрещается, но такого рода введения требуют уточнения того, что под этим подразумевается.


автор: nan сообщение 26697

Мало того, сама теорема Геделя нуждается в граничных условиях (они умолчательны, как очень многое в мат.формализациях) и не может претендовать на верность исключительно при всех условиях.

Это действительно так, и я даже могу их сформулировать: кроме требования моделирования игрой символов арифметики с двумя операциями - сложения и умножения - или умножения и возведения в степень (я сделал, кстати обобщение на БОЛЬШУЮ группу пар разных операций - напишу, если интересно).
Другое ограничение - использование логики предикатов только первого порядка. ЛП второго порядка даёт ПОЛНУЮ арифметику, но всё равно неполные уточнения теорий множеств. Правда сама логика предикатов второго порядка НЕПОЛНА. Вот так вот.
Но и, пожалуй, главное ограничение - допущение существования ЭФФЕКТИВНОЙ процедуры (интуитивно довольно понятного понятия), уточняемого, однако, очень многими, однако эквивалентными способами в виде понятия "алгоритм".
Предполагается, что для наших манипуляций символами в нашей формальной игре всегда существует алгоритм, который позволяет определить, является ли данная комбинация символов аксиомой, какое логическое правило вывода мы применили каждый раз, и что именно мы доказали.
Требования такого рода видятся большинству специалистов обоснованными, и люди не придумали другой альтернативы для логического вывода. Поэтому, хотя ограничения есть, последнее вряд ли можно отменить для мыслимых формальных теорий.
Если же считать, что физическими теориями как-то моделируется арифметика с двумя операциями и используется ЛП первого порядка, то тогда вывод о неполноте обоснован.

автор: nan сообщение 26697

только понятие Теория - именно это и предпогает, не включая личное, не формализованное в символах общения представление

Возражаю.
Следим за мыслью.
1. Теория не может считаться теорией, если она НЕ ПРЕДПОЛАГАЕТ ЛОГИЧЕСКИЙ ВЫВОД. Если теория не допускает логический вывод, то она или не теория, или только ее неполный фрагмент.
2. Логический вывод возможен ТОЛЬКО КАК ИГРА СИМВОЛОВ. Никак иначе.
Говорят "только форма".

Можно разумно возразить - но в физике, да и в математике часто формулируют обозначения логического вывода неформально. Согласен. Но считаю, что всегда такого рода тексты СВОДИМЫ к игре символов.
Не буду цитировать известную книгу Нагеля, Ньмена "Теорема Геделя" - там на этот счёт хорошо отделяют мух от котлет.
У меня кончилось время, допишу завтра.

автор: nan сообщение 26697

>> я уже подчёркивал, что закономерности, проявляющиеся при оперировании с символами, носят ОБЪЕКТИВНЫЙ характер и являются частью ФИЗИЧЕСКОЙ, а не субъективной реальности. Почему? Главный тезис аргументации - потому что ЛЮБЫЕ синтаксические модели должны иметь ФИЗИЧЕСКИЙ аналог. Выделенное жирным утверждение не обосновано и недоопределено (что войдет в понятие синтетические модели? Субъективные формализации невербального характера, имеющие определенный смысл-значимость - синтетические?). Вообще говоря, любая логика (именно субъективно-абстракная модель внешних закономерностей) может быть неадекватная в чем-то реальности (в каких-то условиях) и далеко не все, что логически кажется безупречным и реально отражающим что-то в действительности, оправдывать это убеждение. В этом прокол школы Аристотеля. Да и собственно суть теоремы Геделя вовсе не описывает физическую реальность, она описывает законы субъективной реальности.

То, на что вчера не успел ответить.
Я принял поправки несёт понятия "объективный", и согласился, что уместнее заменять это понятие "устойчивостью в проявлениях" или чем-то подобным.
Также я готов заменить фразу "часть физической реальности" на "наблюдаемый нами через измерения физический мир".
С одной стороны, мы можем задавать правила синтаксической игры, и тогда говорим, что пользуемся формализмом. Но и в наших наблюдениях мы фиксируем явления, которые нами могут рассматриваться (интерпретироваться) как синтаксическая игра.
Пример. Мы рассматриваем работу компьютера как физическое явление, при котором из одной комбинации того, что мы распознаём как символы, получаются новые комбинации, которые мы распознаём, например, как доказательство теоремы.

Можно придумать и множество механических физических аналогов, которые нами будут распознаваться как физические процессы, в результате которых происходит игра с символами по определенным правилам (Пойа использовал для обозначения таких явлений термин "физическая математика").
Например, произвольное случайное вращение граней кубика Рубика будет сопровождаться проявлением закономерностей, которые одновременно можно трактовать и как физические теории (например, запрет появления одиннадцати двенадцатых из всех мыслимых комбинаций кубика) - эта модель запрещает их появление, причём запрет следует из теории групп.

Получается, что в наблюдаемой нами картине физического мира возможны процессы, которые можно рассматривать как манипулирование символами, если мы способны распознать эти процессы как символическую игру. И поэтому мы считаем, что многие виды манипуляциями символами возможны не только в нашей голове, на бумаге или в одругих устройствах, но и в природе, которая от нас не зависит. Субъективизм - он только в интерпретации результатов измерений. Но сами измерения - это мостик между нашим субъективным миром и физическими процессами. И пусть этот мостик содержит фильты субъективности, всё равно он может отражати "некие устойчивые явления" (устойчивые закономерности), которые по видимому не зависят от нас.
По крайней мере мы в своём субъективном мире имеем модели окружающего мира (от моделей бытового уровня до физических теорий), которые допускают независимость наблюдаемых явлений от нас самих - и именно это мы обычно именуем словом "объективность".
Сама модель объективности создана нашим субъективным миром, но её характер обусловлен эмпирикой, которая, хотя и проходит чере фильтр субъективности, но является единственным нашим способом судить о внешнем мире.

автор: Psina сообщение 26775

Таким образом, процесс познания последователен и объективен.

Объективность мы уже обсудили. Здесь это понятие мы понимаем лишь в смысле кажущейся нам независимости от нас явлений, однако кажущейся лишь в нашем субъективном мире. Впрочем, мне всё равно, как её подразумевают, из контекста обычно понимаю, кто имеет что в виду.автор: Psina сообщение №26775

Так как изначально правила логики основаны на опыте, то есть на "эксперименте", то возможность принятия формальных логических построений как "объективного" доказательства, по сути сводится к проблеме наглядного разложения логической конструкции на простые алгоритмы, в которых сложно усмотреть возможную необъективность.

Если говорить о конкретных правилах логики - вроде модус поненс, законов де Моргана и прочее и прочее, то я уже подчёркивал, что доказательство теоремы Геделя не имеет существенной привязки к конкретным логическим конструкциям.
Сам Гедель доказал неполноту для арифметики, в которой используется логика предикатов первого порядка (под кванторы попадают только индивидные переменные, но не предикатные (свойства)).
Однако неполноту достаточно сложных аксиоматических систем можно доказать и для логики предикатов больших порядков (при этом - вот незадача, сама логика окажется неполной - и поэтому такие логики очень редко используют).
Однако саму теорему Геделя можно доказать и без привязки к конкретной логике предикатов - на основе использования только того факта, что мы всегда сможем эффективно определить из текста, является ли текст доказательством, и что именно он доказывает. Это - ключевое требование. Оно накладывает определённые ограничения на множество всех теорем - из теории алгоритмов следует, что такое множество можно перенумеровать с помощью какого-то алгоритма (эффективной процедуры).
А множество истинных высказываний перенумеровать нельзя с помощью эффективной процедуры. Отсюда и несовпадение этих множеств в непротиворечивой системе.
автор: Psina сообщение №26775

Следовательно, никакой эксперимент никогда не подтвердит нам истинность логики или вообще фундаментальную (в границах всей Вселенной) истинность любого формального описания.

Дело не в том, что нам нужна какая-то "истинность логики". Нас интересует способ "разархивирования" модели, которая "сжата" в виде исходного текста.
Любая модель - это синтаксическая конструкция вместе с правилами оперирования символами. Нам ничто не мешает использовать любые правила разархивирования.
Таким способом разархивирования служат обычно тексты определённого вида, которые мы и называем "логическим выводом". Однако существенным остаётся требование того, чтобы у нас всегда был эффективный метод того, чтобы мы могли эффективно распознавать, является ли данный текст способом разархивирования и какие именно тексты в этом разархивировании приобретают определённый статус называться следованиями, являющимися важными для предсказаний нашей физической модели.
Само требование наличия таких эффективных процедур и приводит к принципиальной неполноте сложных архивов.
А истин или нет способ архивирования-разархивирования - это вопрос соответсвия предсказательной силы модели.
Конечно, наш опыт говорит о том, что логики предикатов первого порядка вроде как достаточно для охвата всех мыслимых способов архивирования. Но этот эмпирический факт также может быть опровергнут.
Возможно удастся найти и другой - нетекстовый способ разархивироания. Но это - умозрение, которое мне трудно представить.
А вот то, что имеются технические текстовые способы разархивирования - с помощью компьютеров - это состоявшийся факт.
Формальный вывод никогда не обеспечит полноту сложных архивов, если мы будем подразумевать необходимость наличия эффективных процедур распознавания того, будет ли текст способом разархивирования или нет, и что он разархивирует. Всегда найдутся тексты, которые будут выражать истинные высказывания, и которые не следуют из данного архива (системы исходных правил вывода и (или) аксиом).

Закон природы - это сжатый экономный способ охватить небольшим текстом большой круг явлений. Для того и нужно архивирование (формализация в виде исходных постулатов)."Теория должна быть проще данных, которые она объясняет, иначе она не объясняет ничего" (Лейбниц).
"Идея заключается в том, чтобы взглянуть на науку глазами программиста: научная теория подобна компьютерной программе, предсказывающей результаты наблюдений, т.е. экспериментальные данные. Такая точка зрения опирается на два фундаментальных принципа. Согласно первому («бритва Оккама»), из двух теорий, объясняющих некоторые данные, следует предпочесть более простую. Иначе говоря, наилучшей теорией является самая короткая программа, позволяющая рассчитать результаты наблюдений. Второй принцип, изложенный Лейбницем, в современных понятиях звучит так: теория, объем которой в битах равен количеству объясняемых ею данных, бесполезна, поскольку теорией такого размера можно описать совершенно случайные данные. Полезная теория обеспечивает сокращение количества информации: осмысление данных — это их сжатие в краткие алгоритмические описания. Чем проще теория, тем лучше понимание сути явления"http://elementy.ru/lib/430319

автор: Psina сообщение 26668

эти касания осознанием ты и ощущаешь

А вот такой вопрос: Степень этих касаний, их количество и качество /неважно в каких случаях, я имею ввиду сам процесс перебора вариантов мозгом/, а также их запоминание, закрепление, последующее осознание, классификация и приведение в какое-то подобие системы самого этого процесса, причем "принудительно"... вот это возможно? В принципе?

Даю книгу Успенского, рекомендованную LUCA

http://test.live-wtr.ru/Uspenskij_Teorema_Gjodelja_o_nepolnote.djvu

 

и его лекцию по теореме Геделя.

 http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?presentid=122&option_lang=rus