Тайна третьего постул ата
Путенихин П.В.
m55@mail.ru
Введение Приведённые в данной статье выкладки и доводы основаны на Очевидности, Здравом смысл е и Логике. Многое в наблюдаемых явлениях очевидно, то есть не нуждается в каком-либо обосновании и объяснении. С возражением, что одному очевидно одно, а другому – другое, можно согласиться: это очевидно. Здесь, в данной работе, очевидность служит мне оправданием отказа от строгих математических доказательств, являясь как бы призывом к оппонентам: кто не согласен - пусть докажет обратное. Следует понимать, что она допускает не столько недоказуемость выкладок, но, в первую очередь, возможную их ошибочность. Приводимые ниже выкладки, наблюдения, очевидные и логические построения интересны сами по себе даже при отсутствии их доказательств. Арбитром в этом конфликте очевидностей выступает Здравый смысл . Именно он и заставляет нас признать эту «многополярную» очевидность. В наше время очень часто можно услышать высказывание в адрес Здравого смысл а, что он ошибается, что он «пошатнулся» и ведёт нас по неверному пути. Говорят, Эйнштейну принадлежат примерно такие, можно сказать, уничижительные слова: «Здравый смысл – это набор заблуждений, приобретённых человеком к 18 годам». Могу сказать лишь одно: «Не отвергай здравого смысл а, иначе он тебя покинет». Именно Здравый смысл требует от нас опираться на Логику, а уж по поводу неё, надеюсь, возражений быть не может.
Из чего следует V постул ат? Среди аксиом (постул атов) Евклида V постул ат занимает особое место: «Если прямая падает на две прямые и образует внутренние односторонние углы, в сумме меньшие двух прямых, то при неограниченном продолжении этих двух прямых они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых». В наше время этот постул ат Евклида обычно заменяют на равносильную аксиом у параллельности: В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной. На протяжении столетий многие математики пытались доказать этот постул ат, исходя из предыдущих постул атов Евклида, пытались доказать, что он – лишний, то есть может быть доказан как теор ема на основании остальных аксиом . Но это никому так и не удалось [3]:
«Авторы этих доказательств ставили себе задачей вывести логическим путем V постул ат из остальных постул атов Евклида. Следует заметить, что хотя эта задача стояла перед геометрами на протяжении многих веков, она до конца XIX столетия оставалась неопределенной.
Действительно, определения и аксиом ы Евклида столь несовершенны, что не могут служить базой для развертывания строгих логических построений. Интересно, что проблема V постул ата, уже будучи решенной Лобачевским, все еще не была точно сформулирована, так как во времена Лобачевского недостатки евклидова обоснования геометрии оставались неустраненными.
После изложения аксиом Гильберта мы получаем возможность проблему V постул ата сформулировать точно следующим образом:
Приняв аксиом ы, перечисленные в группах I—IV, вывести из них аксиом у V.
Результат Лобачевского мы можем теперь выразить также с полной определенностью:
Аксиом а V не является следствием аксиом I—IV.
Этот же результат может быть формулирован иначе:
Если к аксиом ам I—IV присоединить положение, отрицающее справедливость аксиом ы V, то следствия всех этих положений будут составлять логически непротиворечивую систему (неевклидову геометрию)».
Обращаю внимание, что доказательство V постул ата Евклида в приведённой цитате предлагается делать не на основе его постул атов, а на основе аксиом Гильберта. Аксиом атика Гильберта - это новая система аксиом евклидовой геометрии. Разработана Гильбертом в 1899 году как первая достаточно строгая и более полная аксиом атика, нежели система аксиом Евклида. Попытки улучшения евклидовой аксиом атики предпринимались до Гильберта Пашем, Шуром, Пеано, Веронезе, но подход Гильберта, при всей его консервативности в выборе понятий, оказался более успешным. Вместе с тем, причиной неудачи известных доказательств V постул ата следует считать не столько слабость постул атов Евклида, сколько слабое определение основного понятия - прямой линии. Поскольку прямая определена слишком обще, появилась возможность подмены понятий.
Определяющим следствием пятого постул ата является единственность прямой, параллельной данной и проходящей через внешнюю точку. Очевидно, что это утверждение допускает два противопоставления: такой прямой нет вообще и прямая не единственная. Первое противопоставление привело к появлению геометрии Римана, второе - к геометрии Лобачевского. Эти два обстоятельства – нечёткое определение прямой и примеры нарушения постул ата – наталкивают на мысль, что эти две криволинейные геометрии и должны стать основой для доказательства постул ата. Если дать корректное определение прямой и плоского изотропного пространства, то появится возможность доказательства V постул ата Евклида строго на основе его предшествующих постул атов. Отсюда можно дать и обратное определение «действительно прямой линии». Это такая линия, для которой выполняется V постул ат Евклида. У Евклида постул аты I-V сформулированы так [1]:
«Допустим:
1. Что от всякой точки до всякой точки <можно> провести прямую линию.
2. И что ограниченную прямую <можно> непрерывно продолжать по прямой.
3. И что из всякого центра и всяким раствором <может быть> описан круг.
4. И что все прямые углы равны между собой.
5. И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньшие двух прямых».
Какова же причина того, что указанные обстоятельства оказались незамеченными на протяжении двух тысячелетий? Почему была принята эта очевидная подмена понятий: кривую линию назвали прямой? Как утверждается в цитате, результат Лобачевского, его «воображаемая геометрия» выражает невозможность вывода V постул ата Евклида из четырёх предыдущих. Однако, присмотримся к постул атам Евклида более внимательно. Поскольку постул ат 4 был доказан на основе предыдущих трёх, будем говорить о выводе 5-го постул ата из 3-х предыдущих. Особый интерес представляет постул ат 3. Обратим самое пристальное внимание на слова «всяким» в этом постул ате: «из всякого центра и всяким раствором». Это очень важное слово. Евклид будто предвидел появление геометрий Лобачевского, Римана и других возможных неевклидовых геометрий. Этот постул ат явно все их отсекает! Поэтому с учётом третьего постул ата можно использовать геометрии Лобачевского и Римана для доказательства V постул ата. Однако на важность 3-го постул ата никто не обратил внимания. Более того, в аксиом ах Гильберта для абсолютной геометрии 3-ий постул ат оказался «спрятан», и эта подмена понятий вообще стала не видна. Попробуем найти, в какой из 20-ти аксиом Гильберта «спрятался» 3-й постул ат Евклида [2]:
I1 . Каковы бы ни были две точки А, В, существует прямая а, проходящая через эти точки.
В данной аксиом е просматривается явное сходство с первым постул атом Евклида: «Что от всякой точки до всякой точки <можно> провести прямую линию». Второй постул ат присутствует неявно, в том смысл е, что прямая продолжена дальше, чем от точки до точки.
I2 . Каковы бы ни были две точки А и В, существует не более одной прямой, проходящей через эти точки.
И эта аксиом а относится больше к первому постул ату, как его неявное усиление, расширение. Здесь видно, что единственность прямой вступает в противоречие со сферическим пространством Римана, но приём отождествления в эллиптическом пространстве устраняет это противоречие. Третий постул ат в этих аксиом ах не просматривается.
I3 . На каждой прямой лежат, по крайней мере, две точки. Существуют, по крайней мере, три точки, не лежащие на одной прямой.
Первая часть выглядит как обратная формулировка первого постул ата. Вторая её часть, перекликается с разыскиваемым нами третьим постул атом Евклида, хотя и очень отдалённо: «И что из всякого центра и всяким раствором <может быть> описан круг» . Действительно, три точки, не лежащие на прямой – это точки, которые могут быть связаны только дугой (окружности).
Если внимательно рассмотреть остальные группы аксиом , то можно легко обнаружить отсутствие в них какого-либо сходства с третьим постул атом. Только аксиом а I3 отдалённо напоминает третий постул ат Евклида, принципиально отличаясь от него. Отсюда вывод: третий постул ат Евклида исключён из аксиом Гильберта и не влияет на формирование последующих аксиом и постул атов. Поэтому пятый постул ат Евклида никак не может быть выведен из аксиом Гильберта, и «явиться следствием аксиом I-IV Евклида»: решающий постул ат отсутствует.
Однако, рассмотрим, зависит ли пятый постул ат от исключённого, отброшенного третьего постул ата? Как указано выше, он не может быть выведен из предыдущих постул атов Евклида (с первого по четвертый). Это не так: третий постул ат является необходимым и достаточным условием справедливости пятого постул ата. Если существует третий постул ат, то и пятый имеет силу строго в формулировке Евклида, то есть является его следствием. Действительно, допустим, V постул ат не соблюдается. Для удобства рассмотрим производную от этого постул ата формулировку - о единственности параллельной линии через внешнюю точку. Возможны несколько вариантов отрицания этого постул ата:
1. Не существует ни одной прямой (геометрия Римана).
2. Существуют две прямые (геометрия Лобачевского).
3. Существует более двух прямых (другая неевклидова геометрия).
Рассмотрим подробнее каждый из этих трёх вариантов отрицания пятого постул ата Евклида.
Не существует ни одной прямой Первый из приведённых вариантов отрицания об отсутствии указанных прямых приводит к кривому анизотропному (деформированному) неевклидову пространству - Риманову. Если через точку нельзя провести ни одной прямой, то постул ат Евклида для этого пространства ложен. Но ложен он, как я утверждаю, исключительно вследствие некорректного определения прямой линии. В геометрии Римана прямая - это геодезическая, кривая линия. Если определение прямой линии Евклида считать верным в расширенном толковании, вопреки вложенному в него геодезическому смысл у, то отсутствие параллельной прямой означает, что пространство кривое, сферическое. Но это не евклидово плоское пространство, каковым его, несомненно, представлял Евклид. Получается: если прямую провести нельзя, значит пространство - кривое. Следовательно, доказательство означает, что прямую нельзя провести, только если пространство кривое.
Не смотря на это, принимается доказанным нарушение V постул ата Евклида. Но это не так! Постул аты Евклида определённо сформулированы им для плоскости - незамкнутой бесконечной поверхности с нулевой кривизной. Пространство Римана плоскостью не является. Кроме того, в нём нарушается ещё и третий постул ат Евклида. Действительно, не существует ни одного сферического пространства Римана, в котором можно было бы «из всякого центра и всяким раствором описать круг» : для любой сферической или эллиптической поверхности можно выбрать раствор больше радиуса сферы, когда круг очертить не удастся. Отсюда следует: изменённый V постул ат Евклида об отсутствии прямых не относится к постул ированному Евклидом пространству. Это можно считать доказательством от противного: если V постул ат Евклида ошибочен, то мы получаем неевклидово пространство, в котором нарушаются его другие постул аты, то есть абсурд. Следовательно, V постул ат Римана ошибочен, а постул ат Евклида верен. Действительно, рассмотрим сферическое или эллиптическое пространство Римана в плане применимости к ним третьего постул ата [6]:
Рис.1. Сферическое и эллиптическое пространства Римана с отождествлёнными точками. Две отождествлённые точки - это одна и та же точка на сфере (a=a′ и b=b′). Невозможно описать круг на сфере радиусом, больше диаметра сферы.
То, что аксиом а Гильберта I3 имеет в этих пространствах силу, очевидно: всегда можно найти три точки, не лежащие на одной прямой. А вот третий постул ат Евклида – нет! Если мы возьмём один из «всяких растворов» циркуля размером в два диаметра этого пространства, то не найдём центра на плоскости Римана, чтобы можно было описать круг. Причиной этого является замкнутость пространства: римановы сферические и эллиптические пространства не отвечают постул атам Евклида.
Таким образом, если предположить, что через точку вне прямой не проходит ни одной параллельной этой прямой, не пересекающей её, мы неизбежно приходим к непротиворечивой сферической (эллиптической) геометрии Римана. Но эта геометрия отвергается третьим постул атом Евклида. Значит, методом от противного, отвергается и сделанное предположение. Отсюда следует вывод: в согласии с пятым постул атом, через точку вне прямой обязательно проходит, по крайней мере, одна параллельная прямая. И, как видим, этот вывод следует, только если справедлив третий постул ат. В данном случае V постул ат Евклида требует наличия третьего постул ата, является его следствием. Схематично можно сказать так: если есть третий, то есть и пятый; если третьего нет, тогда нет и пятого.
Существуют две прямые Второй вариант отрицания, как утверждается, доказывается геометрией Лобачевского. Действительно, предположим, что прямых линий, отвечающих условиям постул ата, может быть две. Это предположение, как известно, приводит к непротиворечивой геометрии Лобачевского. Однако, на самом деле здесь присутствует всё та же подмена понятий. Скажем, называть шар кубом как-то не принято. А назвать геодезическую, кривую линию Лобачевского прямой линией – запросто. Но прямая Евклида и «прямая» Лобачевского – это разные понятия. Определение прямой у Евклида недостаточно корректно, но, несомненно, подразумевает действительно прямую линию, а не геодезическую.
Рассмотрим внимательнее гиперпространство Лобачевского. Не существует полной и регулярной поверхности, внутренняя геометрия которой представляла бы геометрию полной плоскости Лобачевского. Известно, что Гильберт доказал наличие у этой плоскости существенных особенностей [2]:
«не удаётся с помощью ни одной из известных до сих пор поверхностей постоянной отрицательной кривизны осуществить целиком всю плоскость Лобачевского»
«не существует аналитической поверхности постоянной отрицательной кривизны, не имеющей нигде особенностей и повсюду регулярной»
«на поставленный в начале статьи вопрос о том, можно ли по способу Бельтрами осуществить в евклидовом пространстве на некоторой регулярной аналитической поверхности всю плоскость Лобачевского, надо ответить отрицательно».
«Первоначально я доказал невозможность существования поверхности постоянной отрицательной кривизны, не имеющей особых точек»
Суть регулярности поверхности Лобачевского состоит, очевидно, в постоянстве отрицательной кривизны во всех её точках. Известно множество различных вариантов таких пространств [8]. Например, поверхности, соответствующие различным решениям уравнения синус-Гордона, получаемым с помощью метода обратной задачи рассеяния - одного из наиболее эффективных современных методов интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений:
Рис.2. Псевдосферические поверхности, полученные в различных научных публикациях
В литературе описаны разнообразные псевдосферические поверхности вращения [8]:
Рис.3. Псевдосферические поверхности вращения
Многие поверхности постоянной отрицательной кривизны названы именами математиков, которые их исследовали и описали:
Рис.4. Поверхность Дини (слева) и поверхность Бианки - Амслера (справа)
Рис.5. Геликоид Дини (слева) входит в класс поверхностей постоянной отрицательной гауссовой кривизны, псевдосфера является его частным случаем и поверхность Куена (справа) [4].
Существует также класс так называемых многосолитонных решений и соответствующее им бесконечное число псевдосферических поверхностей. На приведённых рисунках видно, что поверхности постоянной отрицательной кривизны либо имеют край, либо замкнуты. Для дальнейших рассуждений рассмотрим наиболее известный вариант фрагмента поверхности Лобачевского - псевдосферу Бельтрами с постоянной отрицательной кривизной [5]:
Рис.6. Псевдосфера Бельтрами
Замечу, что название «псевдосфера», не совсем точно отражает её форму. Поверхность больше похожа на внутреннюю часть тора, поэтому название «псевдотор» больше соответствовало бы её виду. У обычного двухмерного тора внутренняя поверхность имеет седлообразную форму с отрицательной кривизной, а внешняя - сфероподобную форму с положительной кривизной [9]. Можно сказать, что в некоторой степени тор снаружи - это подобие сферического пространства Римана, а внутри - гиперболического пространства Лобачевского.
С сохранением общности рассуждений можно утверждать, что на поверхности псевдосферы (в любом её мыслимом варианте) невозможно описать без самопересечения окружность диаметром, большим видимого «диаметра» псевдосферы. Как видно на рисунке, псевдосфера Бельтрами является замкнутой, как бы конической в две стороны. Поэтому на ней невозможно очертить окружность достаточно большого диаметра. Следовательно, этот вариант плоскости и сама «воображаемая геометрия» Лобачевского вступают в противоречие с третьим постул атом Евклида. Не претендуя на строгость доказательств, в подтверждение сказанному и для использования в последующих выкладках приведу две теор емы - о замкнутой геодезической и о круге. Определения:
Локально замкнутой областью поверхности назовём такую область поверхности, которая при неограниченном продлении (протяжении) по поверхности в некотором направлении пересечёт эту поверхность.
Кругом (окружностью) на поверхности будем считать геометрическое место точек концов геодезических равной длины и проведённых во всех направлениях от точки, которая называется центром круга.
Теорема о замкнутой геодезической На любой локально замкнутой поверхности существует, по меньшей мере, одна замкнутая геодезическая.
Доказательство. Выберем на локально замкнутом участке две точки и проведём между ними геодезическую. Такая геодезическая, несомненно, есть, поскольку поверхность не имеет разрывов. Затем соединим эти точки через другую часть поверхности (в обход) произвольн ой линией. Начнём движение одной из точек по этой линии, каждый раз удлиняя геодезическую, соединяющую её с оставшейся точкой. В конечном счёте, обойдя поверхность по выбранной линии полностью, мы придём к оставшейся точке с другой стороны, замкнув геодезическую. Что и требовалось доказать.
Теорема о круге На замкнутой поверхности существует, по меньшей мере, одна точка, из которой невозможно очертить на поверхности круг любого наперёд заданного диаметра.
Доказательство. Выберем на замкнутой поверхности точку на замкнутой геодезической (согласно теор еме о замкнутости). В соответствие с теор емой о круге, проведём из неё во все стороны геодезические линии длиной, превышающей длину выбранной замкнутой геодезической. Согласно теор еме о замкнутой геодезической, по меньшей мере, одну из этих геодезических провести не удастся, поскольку она пересечёт сама себя. Следовательно, по меньшей мере, одна точка круга не может быть построена. Что и требовалось доказать.
Из теор емы о круге следует, что в гиперболической геометрии Лобачевского, как и сферической геометрии Римана, третий постул ат Евклида не соблюдается. В абсолютной же геометрии Гильберта мы вообще не имеем права задавать вопрос: «является ли пятый постул ат следствием третьего постул ата Евклида». В абсолютной геометрии, основанной на аксиом ах Гильберта, этого постул ата нет.
Доказательство Лобачевского о нарушении V постул ата Евклида означает, по сути, что «прямых» может быть более одной только в случае кривого анизотропного (деформированного) пространства, пространства отрицательной кривизны, в котором настоящей евклидовой прямой линии быть просто не может. Можно сказать так: на неевклидовой плоскости неевклидовы прямые не обязаны соблюдать постул аты Евклида. Следовательно, для евклидовой плоскости и евклидовой прямой линии предположение V постул ата Лобачевского о двух прямых - ложное, на плоскости Лобачевского таких прямых нет, нет вообще никаких прямых, есть только кривые. Если две прямые постул ата превращаются в геодезические и ведут неизбежно к кривому, неевклидову пространству, значит, в евклидовом пространстве две такие прямые существовать не могут - они ложны. Вывод: в евклидовом пространстве через точку можно провести не более одной прямой. Если же рассматриваемых прямых две, то мы выходим из рамок геометрии Евклида, приходим к абсурду. Поэтому говорить о нарушении геометрией Лобачевского постул ата геометрии Евклида, по меньшей мере, странно.
Существует более двух прямых Следует признать, что рассмотренные доводы являются необходимыми, но пока не достаточными доводами в пользу зависимости V постул ата Евклида от трёх предыдущих (четвертый постул ат также был доказан на их основе). Третий вариант отрицания должен начинаться с 3-х прямых, иначе он включил бы в себя геометрию Лобачевского. Мне не известна явно описанная геометрия такого рода, поэтому можно лишь предположить, что и в ней постул ат 3 Евклида нарушается.
В общем пространствами, принципиально отличающимися друг от друга, следует считать: плоское бесконечное пространство Евклида, сферическое замкнутое пространство Римана постоянной положительной кривизны, пространство Лобачевского постоянной отрицательной кривизны и неевклидовы бесконечные пространства переменной кривизны - гиперболическое, параболические, косинусные и тому подобные, на которых поведение третьего и пятого постул атов остаётся недоказанным. Такие бесконечные и бескрайние (либо с так называемым внешне - геометрическим краем) поверхности обязательно имеют области различной кривизны (положительной, отрицательной и их комбинации). Например, закрученный в спираль тор Архимеда или тороподобная поверхность «Двойная улитка» [9]
Рис.7. Тороподобная поверхность «Двойная улитка». Движение по поверхности от точки А через B и D к C происходит по спиральной геодезической
Внешняя часть этой поверхности стремится в бесконечность, а внутренние, свёрнутые спирально, имеют внешне - геометрические края.
Отдельно можно обозначить так называемую «Абсолютную геометрию на основе аксиом Гильберта» (поскольку исключён важный третий постул ат Евклида) и криволинейную геометрию Евклида на цилиндрических и конических поверхностях (третий постул ат не соблюдается). Рассмотрим наиболее наглядный вариант неевклидова бесконечного пространства переменной кривизны – гиперболический параболоид:
Рис.8. Гиперболический параболоид (косая плоскость)
Он имеет второе название – косая плоскость. Поверхность является незамкнутой и бесконечной. Образоваться она может двумя способами: движением параболы по гиперболе (отсюда название «гиперболический параболоид») и движением прямой линии по двум скрещенным прямым (отсюда название – «косая плоскость»). В каждой точке поверхности она имеет сечения гиперболы и параболы и отрицательную переменную кривизну. На бесконечном удалении от центра поверхность приближается к евклидовой, с нулевой кривизной. Очевидно, что на этой поверхности и на поверхности «Двойной улитки» третий постул ат Евклида выполняется в любой точке. При этом переменная отрицательная кривизна, видимо, позволяет лишь локально рассматривать эти поверхности как поверхности Лобачевского. Например, сумма углов треугольника в их локальных областях должна быть меньше 2-х прямых.
Теорема о V постул ате Евклида В предисловии к статье Гильберта «Основания геометрии» Рашевский отметил: в наше время доказать V постул ат пытаются только малообразованные дилетанты [2]. Не снимая с себя ответственности за предложенные доводы, всё-таки отмечу, что они не являются строгим доказательством как таковым, а лишь отражают наблюдения и сформировавшееся убеждение в том, что пространство Евклида и геометрия Евклида при всех её слабостях - первичны, являются основой любой иной геометрии, их фундаментом. При этом фундаментом самой геометрии Евклида является точка - «то, что не имеет частей». Как ни странно это звучит, но объект, имеющий нулевые размеры, является строительной частью всей математической реальности точно так же, как и физическая точка нулевых размеров является самой маленькой строительной частью всей физической реальности.
Итак, теор ема о V постул ате Евклида может иметь, например, такой вид:
Постул ат V Евклида в эквивалентной формулировке «В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной» является следствием постул атов I-IV Евклида (но не аксиом Гильберта).
Доказательство. Рассмотрим сначала первое из трёх возможных обратных допущений: по меньшей мере, одна параллельная прямая, проходящая через точку вне данной прямой, пересекает её. На основании постул атов I и II продолжим неограниченно эти параллельные прямые. Пусть они пересекутся в некоторой точке. Это обстоятельство - пересечение двух параллельных прямых соответствует непротиворечивой геометрии Римана на сферической или эллиптической поверхности. Однако, на этой плоскости Римана существует неограниченное число точек, из которых мы не можем очертить окружность согласно постул ату III, то есть, эта геометрия сама нарушает, отвергает один из исходных постул атов и мы не можем его использовать. Но постул аты являются описанием, свойствами, характеристиками среды, пространства, поверхности, где, собственно и разворачивается рассматриваемая геометрия. Эта среда называется плоскостью Евклида, именно для неё три первых постул ата являются определяющими, основополагающими, обязательными для всех последующих рассуждений. Поверхность, на которой не выполняются эти Основные законы, не подпадает под юрисдикцию геометрии Евклида. Тот факт, что где-то выполняется изменённый V постул ат, для этой геометрии - не довод. Напротив. То, что постул ат в формулировке Римана ведёт к другой геометрии - это довод в пользу истинности V постул ата в формулировке Евклида. Если мы исказим постул ат Евклида - то сразу же выйдем за рамки его геометрии. Первое обратное допущение опровергнуто.
Рассмотрим теперь второе обратное допущение: через точку вне прямой можно провести две параллельные прямые, не пересекающие её. На основании постул атов I и II продолжим неограниченно эти три параллельные прямые. Две параллельные нигде не пересекут исходную прямую. Это обстоятельство соответствует непротиворечивой геометрии Лобачевского. Однако, на поверхности псевдосферы существует неограниченное число точек, из которых невозможно очертить окружность согласно постул ату III, то есть, эта геометрия, как и в выше рассмотренном случае, сама нарушает, отвергает один из исходных постул атов. Повторяя выше приведённые доводы, мы приходим к выводу, что если мы исказим постул ат Евклида - то сразу же выйдем за рамки его геометрии. Второе обратное допущение опровергнуто.
Рассмотрим, наконец, третье обратное допущение: через точку вне прямой можно провести, по меньшей мере, три параллельные прямые, не пересекающие её. Мы должны признать, что это условие может осуществиться только в пространстве переменной кривизны, поскольку рассмотренным выше двум прямым соответствует пространство постоянной отрицательной кривизны Лобачевского. Очевидно, и это легко показать, существует возможность так локально искривить «плоскость», что в этой локальной области через точку вне прямой можно будет провести не менее трёх геодезических, параллельных ей. Но V постул ат Евклида и аксиом ы Гильберта сформулированы для пространств постоянной кривизны. Следовательно, это допущение противоречит исходным требованиям и поэтому отвергается.
Таким образом, поскольку все обратные допущения отвергнуты, V постул ат в формулировке «В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной» , является следствием постул атов I-IV Евклида, поскольку только их признание делает истинным V постул ат, что и требовалось доказать.
Литература Евклид, «Начала», книги I-VI, перевод с греческого и комментарии Д.Д.Мордухай-Болтовского при редакционном участии М.Я.Выгодского и И.Н.Веселовского, //Серия «Классики естествознания». Математика, Механика, Физика, Астрономия. ОГИЗ Государственное издательство технико-теор етической литературы, Москва-Ленинград, 1948 год. Гильберт Д., «Основания геометрии», пер. с 7-го немецкого издания И.С. Градштейна, под ред. и с вступительной статьёй П.К.Рашевского, Москва - Ленинград, ОГИЗ, Государственное издательство технико-теор етической литературы, 1948 г. Ефимов Н.В. Высшая геометрия (5-е изд.). М.: Наука, 1971 Лобачевского Геометрия, Научная библиотека избранных естественно-научных изданий, научная-библиотека.рф, URL: http://www.sernam.ru/book_e_math.php?id=66 Новиков И.Д., «Эволюция Вселенной», - Москва: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1979 Кривошапко С.Н., Иванов В.Н., Халаби С.М., Аналитические поверхности: материалы по геометрии 500 поверхностей и информация к расчету на прочность тонких оболочек, Наука, 2006 г., 539 с. Отрицательной кривизны поверхность, Математическая энциклопедия, URL: http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3820/ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ Попов А.Г., Псевдосферические поверхности и некоторые задачи математической физики, МГУ им. М. В. Ломоносова, Фундаментальная и прикладная математика, 2005, том 11, № 1, с. 227—239. © 2005, Центр новых информационных технологий МГУ, Издательский дом «Открытые системы» Путенихин П.В., Тороподобные поверхности, URL: http://econf.rae.ru/article/7159 http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/tor.shtml Риман Б., «О гипотез ах, лежащих в основании геометрии» (С комментарием Г. Вейля.) Пер. с немецкого В. Л. Гончарова //Классики естествознания - Математика, Механика, Физика, Астрономия. Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию её идей. Редакция и вступ. статья А.П.Нордена. Государственное издательство технико-теор етической литературы, Москва, 1956 год, с.309. Путенихин П.В., Тайна третьего постул ата, URL: http://econf.rae.ru/article/7177 http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/postulat.shtml Новиков И.Д., «Эволюция Вселенной», - Москва: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1979 Отрицательной кривизны поверхность, Математическая энциклопедия, URL: http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3820/ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ Попов А.Г., Псевдосферические поверхности и некоторые задачи математической физики, МГУ им. М. В. Ломоносова, Фундаментальная и прикладная математика, 2005, том 11, № 1, с. 227—239. © 2005, Центр новых информационных технологий МГУ, Издательский дом «Открытые системы» Путенихин П.В., Тороподобные поверхности, URL: http://econf.rae.ru/article/7159 http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/tor.shtml Риман Б., «О гипотез ах, лежащих в основании геометрии» (С комментарием Г. Вейля.) Пер. с немецкого В. Л. Гончарова //Классики естествознания - Математика, Механика, Физика, Астрономия. Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию её идей. Редакция и вступ. статья А.П.Нордена. Государственное издательство технико-теор етической литературы, Москва, 1956 год, с.309. Путенихин П.В., Тайна третьего постул ата, URL: http://econf.rae.ru/article/7177 http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/postulat.shtml