Многие проблемы, парадоксы, противоречия и заблуждения (от парадоксов теории множеств и до проблем алгоритмической неразрешимости) обусловлены неправильным определением и некорректным использованием (или не использованием) и:или непониманием (или неправильным пониманием) понятий. Из-за неумения обращаться с понятиями (определять, преобразовывать, применять) возникает множество семантических проблем и ошибок. Из-за незнания предназначения понятий проистекает множество неправильностей их применения и использования. В мета-математике имеются семантические ошибки из-за неразличения понятий истинности и правильности, в теории множеств и в логике Аристотеля – из-за противопоставления понятий единичности и общности (которые не сопоставимы). Даже профессиональные математики недостаточно ясно различают (а, точнее, зачастую не различают и смешивают) понятие множества и понятие совокупности, понятия неоднозначности и неопределенности. Все эти проблемы оказываются понятийными. Оказывается, что определение, преобразование и использование понятий одинаковы, что в математике или физике, равно как в философии или быту. Понятийные методы не зависят от прикладной области и обусловлены собственной спецификой. Понятия составляют предмет исследования теории понятий. Собственные понятия теории понятий (такие, как: утверждения, определения, теории, алгебры и даже само понятие “понятия” и др.) являются понятиями (в соответствии с собственным определением понятия).
Парадокс лжеца: некто говорит, что он лжец; если он действительно лжец, то он должен был бы сказать, что он не лжец; если он не лжец, то он тем более не мог сказать, что он лжец. Если же этот некто, несмотря на все это, заявляет, что он лжец, то на самом деле он просто мошенник, а не лжец. Эффект парадокса состоит в том, что понятия мошенника и понятие лжеца довольно близки (и даже одно “входит” в другое) и неправомерная подмена понятия более “узким” понятием создает семантическую некорректность, которая воспринимается как парадокс. Для теории понятий парадокс лжеца парадоксом не является – она его квалифицирует как неправомерную подмену понятий.
Парадокс Ахиллеса утверждает, что Ахиллес не сможет догнать черепаху; парадокс заключается в подмене понятий: ин-туитивно, неосознанно мы подменяем понятие “догнать” понятием “перегнать”, неосознанно полагая, что понятие перегнать включает понятие догнать и поскольку скорость движения Ахиллеса несравнимо больше скорости черепахи проблема представляется парадоксальной; но для того, чтобы догнать (или даже перегнать) черепаху, Ахиллесу в каждый момент времени необходимо знать когда, куда и как будет (и будет ли) далее двигаться черепаха (неизвестно, что черепахе в голову придет) что, конечно же, невозможно, и Ахиллес черепаху вряд ли сможет догнать. Конечно, если знать, куда, с какой скоростью, когда, по прямой или как будет двигаться черепаха, то можно все очень просто рассчитать, даже не прибегая к суммированию бесконечных рядов (что обычно предлагается в качестве решения этого парадокса).
Нормальный алгорифм, например, a→b в соответствии с его формальным определением дословно означает возможность переделки буквы “a” в букву “b”, ибо никакого смыслового значения теория нормальных алгорифмов для букв не предполагает и не допускает; правда в самой теории нормальных алгорифмов вместо совершенно понятного понятия “переделки” одного объекта в другой использовано ничего не значащее (для объектов) понятие “перевода”.
Доказательство теоремы Гёделя о неполноте основано на использовании утверждения, что некоторое предложение нечто означает. Это утверждение сделано без обсуждения вопроса, способно ли рассматриваемое предложение это делать, и если может, то как, каким образом оно это делает. И вообще, что означает, что некоторая сущность “означает” некоторую другую сущность. Это сугубо понятийные проблемы, и без их достаточного исследования и обоснования такие утверждения являются, мягко говоря, не очень понятными и адекватными.
В математических текстах можно встретить такую, например, фразу: «Рассмотрим некоторое N-мерное пространство». Исключая предложения рассмотреть, например, два N-мерных пространства, зададимся более простым вопросом, что на самом деле предлагает автор этого предложения рассматривать? Понятно, что пространства с неопределенным числом измерений в “природе” не существует. Может быть, что и рассматривать нечего? Ан, нет, вроде бы и 2-мерное пространство, и 13-мерное пространство позволительно рассмотреть. Так что за объект есть N-мерное пространство? Этот объект есть понятие пространства.
Бытует мнение, что вся математика может быть выведена из теории множеств (правда без каких-либо уточнений, какими средствами). Для всей математики это утверждение проблематично, а вот теория понятий выводится элементарно. Теория множеств зиждется на предположении, что множество подмножеств некоторого множества больше исходного множества. Пусть имеется множество {a, b, c}; выберем из этого множества два элемента, скажем a и b, образуем из них новый элемент d и до-бавим его в рассматриваемое множество; теория множеств полагает, что получающееся новое множество {a, b, c, d} больше исходного множества. Это справедливо, если множества организованы из ничего не значащих элементов. Если полагать, что элементы это такие сущности, которые способны нечто означать, то при добавлении в множество нового элемента (a, b) нельзя исключать, что, например, элемент (c) был получен точно таким же способом и тогда нового, более мощного множества при добавлении такого элемента не будет образовываться. Теория, которая получается с учетом этой возможности – допускать возможность элементов нечто означать, и будет теорией понятий.
С простейшими, но достаточно характерными понятиями приходится иметь дело еще даже до знакомства с арифметикой. Когда к трем яблокам требуется добавить две груши, то для того, чтобы имелась возможность сформулировать результат этой не сложной операции, требуется создание нового понятия — понятия фрукта. Без наличия такого понятия яблоки с грушами не “складываются”. Более трудная понятийная проблема может встретиться и в другой достаточно обычной жизненной ситуации. Так известно значения сигналов обычных дорожных светофоров – на зеленый можно ехать, на красный ехать нельзя. Теперь представьте, что подъезжая к светофору вы видите включенными оба сигнала: и красный, и зеленый. Что делать? Правила дорожного движения ничего об этой ситуации не говорят. И действительно, здесь законы и правила заканчиваются, и ехать дальше можно, но только уже не по правилам, а по “понятиям”. Правила кончаются у такого светофора. Во всяком случае, теория понятий утверждает, что ехать так, как будто вообще нет светофора не следует. И не дай Бог, если к такому светофору подъедет ортодоксальный математический логик – он, скорее всего, будет стоять у такого светофора до скончания века, ибо противоречие!
Многие абстрактные теории (и в наибольшей степени – математика) представляют собой работу с понятиями. Математи-ческие формализмы (такие как: теория множеств, теория алгоритмом, математическая логика и др.) с точки зрения теории понятий выглядят примитивными, кустарными поделками (хотя в прикладном, содержательном аспекте они представляют собой величайшие результаты). Многие философские понятия вообще зачастую выглядят малообоснованными с понятийной точки зрения. Так, например, во многих теориях рекомендуется использование более общих (как более продуктивных) понятий, а вот каким образом эти более общие понятия могут быть построены или получены и имеются ли методы построения общих понятий в этих теориях не говорится.
Работать с понятиями приходится практически на каждом шагу. Процесс работы с понятиями называется мышлением. Мышление необходимо в любой деятельности, особенно в интеллектуальной. Мышление – трудное и не простое дело! Ис-кусство мышление заключается в правильном определении, преобразовании и использовании понятий. Человеческое мышление не совершенно. Оно не формально и легко (как показывают парадоксы) может быть обмануто. Человеческое мышление не представляет собой достаточно надежного средства для построения и использования сколь-нибудь сложных понятий. Технология построения и работы с понятиями определяются специальной, новой дисциплиной – теорией аналитических понятий. Предлагаемая теория понятий обеспечивает семантически корректную технологию определения и использования понятий. Так, например, теория понятий предлагает концепцию (определение) понятия правильности, которое не только интуитивно не очевидно, не только индуктивно не выводимо, но и вообще не очень понятно, каким образом она возникло, хотя и удовлетворяет его определению. Теория понятий превращает искусство мышления в ремесло, в технологию. Технология мышления позволяет создать если не мыслящую машину, то машину для мышления или, в крайнем случае, машину для обучения мышлению. Профессиональный подход к технологии обработки понятий допускает и предлагает методы, неочевидные на интуитивном уровне, на уровне «здравого смысла». Технологию работы с понятиями следует не устанавливать, а познавать. Теория понятий (в этом смысле) ближе к естественным дисциплинам, нежели к гуманитарным.
К понятиям возможно применение различных действий, методов. Теория понятий предлагает некоторую схему применения методов к понятию. Эта схема называется понятийным (семантическим) гомоморфизмом. Новые понятия являются результатом некоторых действий над уже имеющимися понятиями. Преобразование понятий обеспечивает построение новых понятий аналитическим (а не интуитивным) способом.
И, тем не менее, зачем все-таки нужно мышление и эта работа с понятиями, кроме как для решения этих парадоксальных головоломок, которые, по большому счету, также не очень понятно, зачем решать? Как представляется, технология работы с понятиями необходима исключительно для рационализации поведения (деятельности) и принятия правильных (рациональных) решений, не исключая (и в том числе) самого мышления, т.е. исключительно из прагматических соображений. Такого ответа оказывается достаточно для обоснования почти всех аспектов теории понятий и ее прагматики и глубже погружаться в эту зыбкую тему (в целях безопасности) не имеет смысла. Технологическая, прагматическая ценность использования понятий заключается в том, что определение операции для понятия автоматически означает ее распространение на все сущности, допустимые этим понятием.
Предлагаемая теория понятий, несмотря на объявленный ее прагматизм, в свой основе парадоксальным образом базируется на совершенно парадоксальной концепции, полностью (на первый взгляд) исключающей ее прагматизм. Теория понятий создается как средство конструирования некоего виртуального мира, не имеющего никакого отношения к реальному миру. Парадоксальность заключается в том, что хотя создаваемый мир понятий виртуален (чистейшая выдумка), он имеет в арсенале своих средств средство конкретизации абстрактных понятий, которое предполагает и допускает существование реального мира, как “фрагмента”, составной части виртуального мира понятий. Конкретизация абстрактных понятий реальными сущностями, обеспечивает прагматику понятийных (и, тем самым, и собственную) теорий. Такой подход (используемая парадигма) оказывается более продуктивным. В то время, как различные теории (вплоть до философии) считают, что они призваны моделировать реальный мир (используя категорию истиностности как мерило соответствия теории реальному миру – не объясняя, правда, что есть соответствие, и как оно осуществляется, а лишь его оценивая: соответствие есть – истина, нет – ложь), теория понятий изначально, концептуально отделяет себя от реального мира, полагая своей задачей построение некоего виртуального, идеального, духовного мира. Даже само строительство осуществляется по собственным законам и правилам. Такой подход к построению и использованию формальных теорий оказывается более продуктивным. Виртуальный мир, строящийся средствами теории понятий, действительно представляет собой целый мир, мир со своими законами и правилами. Хотя в виртуальном мире все виртуально, сама виртуальность реальна. Более того, виртуальных миров су-ществует и может быть рассмотрено достаточно много. И более того, виртуальные миры в свою очередь могут образовывать иерархию, аналогичную иерархии реального и виртуального мира.
Поскольку при таком подходе соответствие реальности уже не может выступать в качестве критерия правильности построения теории, теория понятий предлагает собственный (идеальный) критерий правильности, который обеспечивает (в частности) и ее собственную правильность.
Теория понятий основана на использовании вводимого в ней отношения семантического гомоморфизма, обеспечивающего (в числе прочего) отношения сущностей реального и виртуального миров, чем определяется и обеспечивается прагматика как самой теории понятий, так и создаваемых в ней теорий. Теория понятий не объясняет реальный мир, но ее использование (как технологии) позволяет реальный мир понимать.
На самом деле построение теории понятий было вызвано семантической некорректностью в формализации интуитивного понятия алгоритма. В свое время, в связи с тем, что некоторые математические проблемы не поддавались решению, была вы-сказано предположение, что эти задачи вообще не могут быть решены, и была предпринята попытка доказательства “принципиальной невозможности” решения этих задач. Для этого, прежде всего, потребовалось определиться с тем, что понимать под принципиальной неразрешимостью задач. Было предложено считать, что проблема является принципиально неразрешимой, если она не может быть решена посредством некоторого, “наиболее общего, универсального” средства решения. (Другой, возможно более продуктивный, семантический вариант разрешения проблемы неразрешимости – анализ семантической правильности и правомочности постановки самих задач, насколько известно, не встречается.) В качестве “наиболее общего, универсального” средства решения проблем было предложено использование алгоритмов. Для доказательств невозможности алгоритмического решения проблем (т.е. алгоритмической неразрешимости) потребовалась формализация понятия алгоритма. Было предложено несколько, достаточно разнообразных (оказавшихся впоследствии эквивалентными) точных (формальных) определений понятия алгоритма. Основываясь на использовании формального определения понятия алгоритма, действительно удалось (и удается) показать невозможность (алгоритмического) решения различных задач. В тоже время, поскольку не имеется какого-либо обоснования невозможности усиления формального определения понятия алгоритма, предпринимались многочисленные попытки поиска усиления. Попытки построения средств, превосходящих формализованные таким образом алгоритмы, оказывались безуспешными до тех пор, пока не выяснилось, что самые обычные алгоритмические полно видовые языки прикладного программирования несводимы к классическим формализациям алгоритма. Камнем преткновения являлась методика сравнения формализаций алгоритмов: если сравнивать алгоритмические формализации по способности алгоритмов преобразовывать слова в алфавитах, то все формализации действительно оказываются эквивалентными; но алгоритмы, написанные на современных полновидовых языках, способны работать не только со словами в алфавитах, но и с более сложными, более содержательными объектами, которые словами всего лишь нотированы. Для лингвистического представления таких объектов требуется, чтобы используемые алфавиты включали не только буквы (в их традиционном, например, Марковском определении), но и некоторые специальные символы, которые под определение буквы не подпадают, хотя буквами и представляется. Безусловным и наиболее характерным примером “содержательного данного” являются сами алгоритмы. В работе [17, приложение 2] на конкретном примере самоприменения некоторого нормального алгорифма показана неудовлетворительность нормальных алгорифмов А. Маркова для осуществления обработки содержательных данных. В современных, строго типизированных алгоритмических языках слова в алфавитах рассматриваются не сами по себе, а в качестве значений данных, семантика которых дается описаниями типов данных. В классических же формализациях алгоритмов никакие иные структуры данных, кроме слов в алфавитах, не рассматриваются.
В формализациях алгоритмов, конечно же, возможность применения алгоритмов к алгоритмам исследовалась, но, похоже, что на заре эпохи программирования больше интересовала и завораживала сама практическая осуществимость в формализациях такого сорта формальных алгоритмических преобразований, нежели такие нюансы, как обеспечение семантической однозначности таких алгоритмических преобразований. Даже в настоящее время семантические аспекты алгоритмов остаются недостаточно исследованными. Действительно, если оказывается, что можно писать алгоритмы, которые могут преобразовывать слова, представляющие алгоритмы, и работа этих алгоритмов вполне однозначна, то, казалось бы, что ещё требуется, какие могут тут возникать вопросы? И вроде нет никаких проблем. Но! Проблему составляют семантические аспекты алгоритмических преобразований. Нормальные алгорифмы способны преобразовывать слова в алфавитах. Сами схемы алгорифмов не являются словами в алфавите алгорифма; поэтому для того, чтобы алгорифм мог быть применён к другим алгорифмам, работающим со словами в этом же алфавите, требуется схемы таких алгорифмов каким-либо образом “перевести” и представить в виде слов в этом же алфавите. Поскольку нормальные алгорифмы непосредственно к схеме нормального алгорифма применены быть не могут (ибо они применимы только к словам), то описание требуемого преобразования осуществить в виде нормального алгорифма невозможно и оно (по необходимости) может быть дано лишь неформальными средствами (например, на естественном языке). Уже в этом может быть усмотрена неудовлетворительность и недостаточность имеющихся формализаций алгоритма: на естественном языке требуемое преобразование, хотя и не формально, но может быть дано, а в нормальных алгорифмах оно невозможно. Эквивалентность всех разработанных формализаций понятия алгоритма ставит под сомнение саму возможность построения такой формализации, которая была бы способна осуществить решение сформулированной проблемы. В работе [17, приложение 2] показана принципиальная возможность усиления (модификации, обобщения) определения нормального алгорифма, обеспечивающего вполне семантически однозначное применение модифицированных нормальных алгорифмов к модифицированным нормальным алгорифмам. Модификация заключается в представлении в модифицированных нормальных алгорифмах семантических аспектов данных, что, в свою очередь, привносит в теорию алгоритмов семантический аспект данных, и ставит задачу раз-работки семантических формализаций алгоритмов (в дополнение, если не в замену символьным алгоритмам). К сожалению, определение модифицированных нормальных алгорифмов не решают всех проблем алгоритмических преобразований алгоритмов; так, в частности, остается проблема формального определения, чем является результат алгоритмического преобразования алгоритма: алгоритмом или некоторым другим (не алгоритмическим) объектом. Некоторое решение возникающих семантических проблем предлагается теорией понятий.
По своему характеру теория понятий предстает как мета-математическая дисциплина, хотя на самом деле разработка ос-нований (и, тем более, обоснований) математики не является задачей теории понятий; просто мета-математическая проблематика представляет собой подходящий, удобный полигон для отработки технологии формального мышления. А вот использовать (или не использовать) эту технологию правильного и продуктивного мышления в математике – решать, конечно, самой математике. Теория понятий не ставит своей целью формализацию интуитивного понятийного аппарата и, тем более, не является тезаурусом бытовых понятий, но является разработкой некоего формализма, обеспечивающего прикладной аспект формальных понятий, включая определение мета-алгоритмических преобразований. Сама теория понятий строится, естественно, в соответствии с собственными определениями и утверждениями.
Теоретико-понятийный формализм представляет собой новый, более совершенный тип формализма – семантический формализм [37,41]. Использование этого формализма для определения интуитивных понятий оказывается возможным в качестве одного из его прикладных приложений, чем и объясняется выбор именования этого формализма как теории понятий. В теоретическом, концептуальном аспекте теория понятий предстает как концепция дальнейшего совершенствования понятия алгоритма; практическая, прикладная ценность теории понятий заключается в решении теорией понятий семантических проблем формализаций: понятия обладают формальной семантикой. Теория понятий, как метаматематическая дисциплина, не занимается обоснованием математических утверждений, но утверждения, основанные на аналитических понятиях, являются гораздо более обоснованными. Теория понятий устанавливает новый, более жесткий стандарт строгости и обоснованности построения утверждений. Кроме того, представляют интерес мета-понятийные аспекты теории понятий: построение понятийных определений как некоторых специфических “методов” преобразования понятий, построение понятийных “методов” обобщения и конкретизации понятий, определение понятия определяющего отношения и построение конкретных отношений понятий. Теория понятий является своей собственной мета-теорией и в этом качестве обеспечивает свою собственную правильность. Построение теории понятий начинается с исследования и определения того, что есть само определение. Сложность в определении этого понятия обусловлена тем обстоятельством, что такое определение, будучи определением, должно удовлетворять себе, как “частный случай” определения. Что означает удовлетворять, естественно также должно быть определено определением определения. Конкретизация понятия определения позволяет дать формальные определения таким понятиям как понятие утверждения, понятие отношения, понятие теоремы, понятие теории, определение самого определения как понятия «понятие» и т.д. Диалектика понятий обеспечивается использованием гомоморфизма как способа наследования преобразуемого понятия в результирующем понятии. Понятие есть некая новая математическая структура в ряду таких структур как понятие числа, понятие матрицы, понятие полинома и т.д., но отличающаяся от них тем, что она предназначена для определения прикладных понятий (не исключая и собственного определения, т.е. определения понятия понятие). Понятие мета-алгоритма, как обобщения понятия алгоритма, представляет не только вычислительные, но и аналитические аспекты алгоритмических функций. Использование в построениях аналитических понятий вместо интуитивных позволяет формализовать ту часть построений, которая обычно выполняется “по наитию”, на основе «здравого смысла», без использования каких-либо формальных и обоснованных правил. Кроме того, теория понятий имеет обширную область прикладных применений: построение понятий составляет начало любой дисциплины, и использование аналитически построенных понятий и методов работы с ними вместо интуитивных позволяет избегать многих понятийных некорректностей и ошибок. В прикладном аспекте теория понятий, являясь аналогом и обобщением аппарата видов данных в языках и системах программирования, служит его объяснением и обоснованием. Многие прикладные проблемы оказываются понятийными. В частности, удается определить предназначение и способ использования семантического гомоморфизма и дать более корректное и строгое его определение; удается построить обобщение общей алгебры, предложить аналитическое определение и обоснование понятия пространства. Даже такое фундаментальное понятие, как понятие множества, прежде всего, является понятием, и работать с множествами следует по правилам работы с понятиями; бесконечное множество, как предел пополнения конечного множества, в явном виде представляет собой переход количества элементов в новое качество – в понятие множества. Этим, в частности, может объясняться спорность аксиомы выбора (элемента из бесконечного множества), поскольку о выборе элемента из понятия и речи быть не может.
Для обеспечения прагматики прикладных теорий (формализмов) они должны строиться как конкретизации понятий теории понятий, выступающей в качестве некоторой мета-теории прикладных теорий. С применением теории понятий рассматривается метод доказательства общих утверждений [42, 44]; теория типов данных в языках и системах программирования оказывается еще одним применением теории понятий [40], осуществляемого методом ее конкретизации. Применение теории аналитических понятий к лингвистике естественных языков помогает понять и объяснить некоторые аспекты представления и использования интуитивных понятий в естественных языках.
Теорию понятий можно рассматривать как технологию (диалектического) мышления; теория понятий превращает мышление в технологию. Основой любой науки (а в особенности математики) является «правильное» мышление; теория понятий посвящена технологии формального аналитического мышления. Математика основывается на понятиях. Вся работающая, продуктивная математика работает на (неформальных, интуитивных) понятиях. Без использования понятий даже яблоко к грушам не добавить! Из-за неправильного мышления предпринимается слишком много непродуктивных, ошибочных и даже контр-продуктивных действий и выводов (как пример, концепция алгоритмической неразрешимости – недоказуемость не может быть доказана).
В целом теория понятий предстает как технология аналитических рассуждений, как технология (диалектического) мышления: http://www.publicant.ru/book.aspx?id_d=747613