В ортогональной системе
координат трехмерного пространства вращение задается уравнением
(1.
Кроме того, при вращении остается инвариантной форма вида:
Поэтому можно получить уравнение для коэффицентов матрицы вида:
(1.
Тогда
преобразования от координат без крышечки к координатам с крышечкой
записываются в виде системы линейных уравнений:
Рисунок 1.
Для экваториальной системы координат она задается следущим
уравнением:
(1.
Для преобразования координат от декартовой системы к
экваториальной системе координат можно использовать, например,
уравнение для единичного вектора указывающего направление на
небесный источник:
(1.
Как видно из приведенных
уравнений, для высокоточных наблюдений типа РСДБ - наблюдений,
приведение источников на место согласно уравнениям (1.
В дальнейшем приведение на истинное положение (редукция)
будет обобщена на случай учета релятивистских поправок, которые
изменять тривиальные уравнения типа (1.
1 Кинематика специальной теории
относительности
Прежде чем выводить основные кинематические уравнения СТО
сформулируем принцип постоянства скорости света на языке математики.
Из уравнений теории электромагнитного поля ( уравнений Максвелла)
мы знаем, что пространственно - временная точка , связана с пространственно -
временной точкой , равенством вида:
(2.
В системе координат точка движется согласно системе уравнений:
(2.
8)
Отсюда легко заключить, что центр системы координат движется в системе со скоростью:
Теперь выражая гиперболические синус и косинус через
гиперболический тангенс приходим к уравнениям для преобразования
координат:
(2.
24) и
получаем уравнения для определения элементов матрицы :
(2.
31)
Кроме этого, общего, уравнения можно также привести еще несколько
уравнений, которые являются очень полезными при выводе уравнений
редукции, хотя они обладают меньшей общностью, чем (2.
Из условия равенства частот получаем, что косинус угла между
направлением движения источника фотонов и направлением на
наблюдателя есть:
Из приведенного уравнения видно, что эффект смещения частоты
может отсутствовать лишь для источника удаляющегося от наблюдателя.
Теперь для целей точной навигации (на поверхности Земли)
необходимо использовать уравнения общей теории относительности для
редукции наблюдений.
Дифференциал в нетильдованной системе связан с дифференциалом в
системе координат с тильдой уравнениями вида:
В геометрии вводится понятие геометрического объекта.
Определим также обратные тензоры согласно уравнению:
Здесь - символ Кронекера, который
определяется следущими условиями если и если.
6)
В пространстве с заданной метрикой можно определить связь между
ковариантными и контравариантными компонентами тензоров, так для
вектора связь между этими компонентами задается уравнениями:
Теперь можно определить норму вектора, аналогично тому, как это
делается в эвклидовой геометрии.
Кроме этого важного свойства приведем также уравнение описывающее
угол между двумя векторами и в неэвклидовой геометрии:
(5.
С другой стороны, вариации
квадрата есть:
правую часть этого равенства можно представить в виде суммы:
Воспользуемся равенствами и и получим уравнение для вариации
дифференциала интервала:
Третий член в круглых скобках уже приведен к виду пригодному для
вычисления первой вариации.
Для приведения к такому же виду первых
двух членов воспользуемся равенством:
Воспользуемся теперь этими равенствами и вычислим первую вариацию
полного пути:
В этом уравнении первый член после второго знака равенства
представляет из себя вариации в конечных точках пути, по определению
эти вариации равны нулю [13],
[14].
10)
получаем уравнение вида:
Величина
(5.
Стандартный вид уравнения геодезической линии в неэвклидовой
геометрии записывается с помощью символа Кристоффеля:
(5.
12)
Кроме этого, стандартного вида уравнения геодезической линии,
можно также записать как меняется дифференциал касательного вектора
при переносе вдоль геодезической
линии:
(5.
15)
Вычисляя символ Кристоффеля получаем, что все компоненты равны
нулю за исключением двух:
Уравнения геодезических линий имеют вид:
(5.
Тогда уравнения, которые описывают
малый круг есть:
отсюда легко найти первые и вторые производные от координат по
афинному параметру:
Подставляя эти значения в уравнения геодезических приходим к
противоречию:
Таким образом малый круг на сфере не является геодезической
линией.
Для вычисления частной производной в
точке используем вычисления вряд Тэйлора
по малому параметру - величине дифференциала :
аналогичные вычисления проделаем для самого векторного поля:
Все величины теперь вычислены в точке , поэтому можем строить дифференциал
и производную векторного поля по обычным правилам:
а производная этого векторного поля вычисляется как:
Второй член в этом уравнении обладает признаками тензора,
преобразуется как тензорное поле второго ранга.
Теперь распишем уравнение сохрания скалярного произведения более
подробно
Преобразуем правую часть уравнения, выделив член нулевого порядка
малости по бесконечно малому смещению и два члена первого порядка
малости, вторым порядком малости здесь будем пренебрегать.
Первый
член в правой части сократится с членом, который стоит в левой
части, а два члена первого порядка малости дадут уравнение для
вычисления :
Подставим в это уравнение изменение касательного вектора вдоль
геодезической (5.
13)
и получим уравнение для изменения вектора :
Отсюда получаем решение:
В современных [10] и
классических курсах [8] по
общей теории относительности уравнение для вычисления изменений
компонент вектора при параллельном перносе выводится методом
переноса вдоль прямой в касательном пространстве [10] или
в галилеевых координатах [8].
Контравариантные компоненты от ковариантных отличаются знаком:
Теперь можно написать уравнения для ковариантных дифференциалов
а также уравнения для ковариантных производных от векторов
Знак ";" означает ковариантную производную.
Ковариантный дифференциал является тензором, поэтому согласно
правилу поднятия и опускания индексов в метрических пространствах
можно написать уравнение:
(6.
Этот пример не уникален, и мы могли бы привести для иллюстрации другие примеры,
например, для векторного уравнения в трехмерном пространстве с граничными условиями.
Процедура
поиска других решений, которые мы будем именовать как параллельные
решения волнового уравнения, непосредственно связана с введением в новое
решение дополнительной функции, которая обладает иными, отличными от
волновых, пространственными и временными свойствами.
Чтобы сравнить особенности различных калибровок, мы
будем считать, что уравнения и калибровки этих уравнений справедливы в
некоторой фиксированной системе отсчета, где покоится наблюдатель.
5)
напряженность электрического поля Eins через градиент скалярного
потенциала -gradfins , Ew через векторный
потенциал и
напряженность магнитного поля Hw запишем как rotAw
, то получим кулоновскую калибровку уравнений Максвелла.
7)
Следует заметить, что при таком
выводе калибровок неизбежно появляются дополнительные поля (потенциалы)
благодаря более высокому порядку операторов, действующих на E и H
в уравнениях (2.
Из рассмотренной выше связи
следует, что физическая калибровка электромагнитных потенциалов, связанная с
выбором условия для divA, имеет прямую связь с математической
калибровкой волновых уравнений и сводится к ней.
Итак, продольные волны скалярного и векторного
потенциалов, описываемые волновыми уравнениями, могут компенсировать друг
друга при r®¥ тогда и только тогда, когда
плотность потока и плотность энергии поля скалярного потенциала и
соответствующие плотности продольного векторного потенциала имеют противоположные
знаки.
Благодаря тому, что правая часть уравнения для векторного
потенциала содержит только соленоидальные источники, продольные волны
запаздывающего потенциала отсутствуют даже вблизи источника
излучения электромагнитных волн.
Поэтому поиск той единственной
калибровки уравнений Максвелла, которая соответствовала бы результатам
экспериментальных исследований физических явлений, крайне необходим.
Чтобы показать ошибочность этого заключения,
преобразуем правую часть векторного уравнения, используя уравнение непрерывности
для скалярного потенциала
(А.
4)
где: А и f исходные электромагнитные потенциалы; A'
и f' новые электромагнитные
потенциалы; f есть некоторая функция (калибровочный потенциал),
удовлетворяющая однородному волновому уравнению: (А.
При
этом, по утверждению апологетов теории относительности, форма математических
операторов и уравнений в релятивистской механике сохраняется, а при v<<c релятивистская механика должна
переходить в классическую.
В отличие от классической механики релятивистский интеграл
действия дает множество различных уравнений движения и неизвестно: какое из них
отвечает объективной реальности.
Таким образом,
изменение релятивистского интеграла действия всегда равно нулю не в силу
произвольности вариации, а в силу ортогональности 4-вариации уравнению
движения.
Именно благодаря ортогональности
мы получаем счетное множество уравнений движения, поскольку к любому уравнению
движения мы можем добавить любой член, ортогональный к δxi.
Следовательно,
уравнения для электромагнитных и гравитационных полей, которые были получены с
помощью релятивистского принципа наименьшего действия, неоднозначны, а
потому весьма сомнительны.
Используя релятивистский интеграл
действия и релятивистский принцип наименьшего действия, мы получаем счетное множество
уравнений движения, и нет критерия, который бы позволил определить, какое
уравнение отвечает физическим явлениям.
Во второй Части мы показали, что вектор Пойнтинга не универсален,
электродинамика не может обойтись без уравнения Пуассона, а в третьей Части
было установлено, что мгновеннодействующие потенциалы не противоречат принципу
причинности.
В Части 2 мы высказали
предположение, что поля зарядов и электромагнитная волна имеют различные свойства
и, соответственно они должны описываться разными уравнениями.
6)
В механике сплошных
сред существует уравнение сохраняемости вектора а и
интенсивности его векторных трубок [4], которое записано ниже:
Если в
нем мы заменим вектор а вектором Е=-grad f/c2, тогда мы получим уравнение (2.
Как предполагалось в Части 2,
электродинамика имеет дело с двумя видами полей: с квазистатическими мгновеннодействующими
полями зарядов (уравнение Пуассона, вектор Умова, инерциальная масса покоя
заряда и т.
Поскольку,
уравнения Максвела не могут предсказать появление электрического поля вокруг
движущегося проводника, чтобы исправить этот дефект уравнений Максвелла, мы вынуждены
выдвинуть рабочую гипотезу.
Хотя я старался избегать специальной терминологии и уравнений, радикально новый характер излагаемых понятий может побудить читателя иногда сделать паузу и обдумать ту или иную главу либо объяснение, чтобы дальнейший материал был ему понятен.
По причинам, которые будут становиться все более очевидными по мере продолжения нашего рассказа, при объединении уравнений общей теории относительности и квантовой механики начинается тряска, грохот и шипение пара, как в перегретом котле.
Теория струн способна показать, что все удивительные события во Вселенной – от неистовой пляски субатомных кварков до величавых вальсов кружащихся двойных звезд, от изначального огненного шара Большого взрыва до величественных спиралей галактик – являются отражениями одного великого физического принципа, одного главного уравнения.
Вместо этого физики используют лишь приближенные варианты этих уравнений, и даже эти приближенные уравнения столь сложны, что пока поддаются только частичному решению.
С другой стороны, если бы мы могли, при-хватив с собой движущиеся часы, перемешаться со скоростью, равной, скажем, трем четвертям скорости света, то, согласно уравнениям специальной теории относительности, неподвижный наблюдатель установил бы, что наши часы идут со скоростью, равной двум третям от скорости хода его часов.
Например, уравнения специальной теории относительности показывают, что если тело движется со скоростью, составляющей примерно 98 % скорости света, то неподвижный наблюдатель будет видеть его сократившимся на 80 % по сравнению с длиной тела в состоянии покоя.
В этом уравнении Эйнштейн утверждает, что энергия объекта (Е) и его масса (т) не являются независимыми величинами; зная массу, мы можем определить энергию (умножив массу на квадрат скорости света, с2), а зная энергию, мы можем рассчитать массу (разделив энергию на квадрат скорости света).
С точки зрения положений, которые мы развивали в этой главе, уравнение Эйнштейна дает наиболее четкое объяснение фундаментальному факту, состоящему в том, что ничто не может двигаться со скоростью, превышающей скорость света.
Ньютон не просто дал это качественное описание, он сделал больше, сформулировав уравнения, количественно описывающие силу тяжести, действующую между двумя телами.
Конкретно, эти уравнения утверждают, что сила тяготения между двумя телами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
Это говорит о том, что Ньютон принимал существование тяготения, и разрабатывал уравнения, которые с высокой точностью описывают его действие, но никогда не предлагал никакого механизма, объясняющего, как оно работает.
Используя уравнения общей теории относительности, основанные на достижениях в описании геометрии искривленного пространства, которых добился великий математик XIX в.
К его великому изумлению, применение этих уравнений не к изолированной системе (такой, как планета или комета, обращающаяся вокруг Солнца), а к Вселенной в целом, привело к поразительному выводу: общий пространственный размер Вселенной должен изменяться с течением времени.
По этой причине Эйнштейн пересмотрел свои уравнения и модифицировал их, добавив дополнительный член, ставший известным как космологическая постоянная, который позволял избежать такого вывода и возвращал нас в комфортные условия статической Вселенной.
История, закрепленная ныне в анналах науки, свидетельствует о том, что Эйнштейн вернул первоначальную форму своим уравнениям, признав их временную модификацию величайшим заблуждением в своей жизни 12).
, за несколько лет до наблюдений Хаббла, русский метеоролог Александр Фридман, используя уравнения Эйнштейна, детально продемонстрировал, что все галактики переносятся в субстрате расширяющегося пространства, быстро удаляясь друг от друга.
уравнения термодинамики, физики смогли определить, какое количество энергии передают горячие стенки духовки электромагнитным волнам каждой разрешенной длины волны, т.
Его аргументы, если опустить детали, состоят в том, что эйнштейновское уравнение Е = тс2 связывает массу с энергией; но с другой стороны, Планк и Эйнштейн связали энергию с частотой волн.
Всего через несколько месяцев после появления гипотезы де Бройля Шредингер сделал важный шаг в этом направлении, предложив уравнение, которое определяет форму и эволюцию таких вероятностных волн, или, как они теперь называются, волновых функций.
На самом деле Шредингер сначала сделал попытку включить специальную теорию относительности, но полученное в результате квантовое уравнение давало предсказания, находившиеся в противоречии с экспериментальными данными для атома водорода.
Расчеты, основанные на совместном использовании уравнений общей теории относительности и квантовой механики, обычно дают один и тот же нелепый ответ: бесконечность.
После нескольких лет поражающего воображение прогресса, достигнутого в течение первой революции теории суперструн, физики столкнулись с тем, что используемые приближенные уравнения оказались неспособными дать правильный ответ на ряд важных вопросов, тормозя тем самым дальнейшее развитие исследований.
Однако математический формализм его теории можно непосредственно обобщить и выписать аналогичные уравнения для Вселенной с дополнительными пространственными измерениями.
Но благодаря тому, что он включил дополнительное пространственное измерение, Калуца, как и следовало ожидать, получил новые уравнения в дополнение к тем, которые первоначально вывел Эйнштейн.
Новые уравнения, появляющиеся в результате добавления новых измерений, поразительно напоминают уравнения, используемые для описания электромагнетизма, а также сильного и слабого взаимодействий.
) Во-вторых, если уравнения теории струн (или, точнее, приближенные уравнения, которые мы будем обсуждать до главы 12) показывают, что Вселенная имеет девять пространственных измерений и одно временное, почему три пространственных измерения (и одно временное) являются развернутыми и протяженными, а все остальные – маленькими и свернутыми.
Дополнительные пространственные измерения теории струн не могут быть свернуты произвольным образом: уравнения, следующие из теории струн, существенно ограничивает геометрическую форму, которую они могут принимать.
Проблема состоит в том, что в настоящее время никто не знает, как определить из уравнений теории струн, какое из многообразий Калаби-Яу определяет вид дополнительных пространственных измерений.
Если бы конкретное пространство Калаби-Яу, выделяемое уравнениями теории, имело три отверстия, мы бы получили от теории струн впечатляющее «послесказание», объясняющее известную особенность нашего мира, которая в ином случае выглядит совершенно мистической.
Приближенные уравнения, используемые учеными в настоящее время, имеют недостаточную мощность для того, чтобы получить полную и точную физическую картину, которую дает выбранное многообразие Калаби-Яу.
Эти уравнения позволяют значительно продвинуться вперед в отношении приблизительной оценки свойств колеблющейся струны, которые, как мы надеемся, будут соответствовать наблюдаемым частицам.
Но точные и определенные физические вопросы, подобные тому, какова масса электрона или интенсивность слабого взаимодействия, требуют уравнений, точность которых намного превосходит ту, которую дают современные приближенные схемы.
Мы обсуждали ее в главе 3: она представляет собой дополнительный член, который был временно добавлен Эйнштейном к его первоначальным уравнениям обшей теории относительности, чтобы обеспечить стационарность Вселенной.
Хотя в дальнейшем открытие расширения Вселенной побудило Эйнштейна вернуть уравнениям их первоначальный вид, за прошедшее с тех пор время физики осознали, что не существует объяснения, почему космологическая постоянная должна быть равна нулю.
Однако мы хорошо знаем, что если характерные длины приближаются к планковской или становятся меньше нее, уравнения общей теории относительности теряют свою силу ввиду квантово-механических эффектов.
Уравнения общей теории относительности основаны на римановой геометрии, которая, как отмечалось в предыдущей главе, позволяет проанализировать искажения свойств расстояний между соседними точками пространства.
Если бы в структуре пространства существовали такие нерегулярности, уравнения общей теории относительности нарушались бы, оповещая о космической катастрофе того или иного рода: зловещая перспектива, которую наша Вселенная благоразумно обходит.
Однако решение этой задачи в лоб сулило непреодолимые препятствия, так как описывающие этот переход уравнения, особенно те из них, которые описывают разрыв пространства, крайне сложны.
) Тем самым, даже если получается строго определенная теория со строго определенными уравнениями, искомая неизбежность еще под вопросом, ибо уравнения могут иметь множество различных решений.
Когда физики начинали исследовать уравнения любой из пяти теорий, выяснялось, что у этих уравнений действительно много решений, например много возможных способов свертывания дополнительных измерений, и каждое решение соответствует вселенной со своими свойствами.
И хотя все эти вселенные возникали в качестве полноправных решений уравнений теории струн, большинство из них, казалось, не имеет никакого отношения к наблюдаемому нами миру.
(начало второй революции в теории суперструн) растет число свидетельств в пользу того, что точные уравнения, вид которых до сих пор находится за пределами наших познаний, могут разрешить эти проблемы и, тем самым, придадут теории струн статус неизбежности.
К удовлетворению большинства занимающихся теорией струн физиков уже доказано, что точные уравнения, когда их вид будет ясен, вскроют связь между всеми пятью теориями струн.
Мы кратко обсудим также возникновение идеи
обобщения принципа эквивалентности инерциальных систем отсчета (ИСО) и
непростую историю поисков и создания ковариантных уравнений
гравитационного поля.
Только после добавления этого множителя новые
преобразования стали строго удовлетворять требованиям (математической)
группы и соответствовать инвариантности уравнений Максвелла.
Уже Лоренц
заметил, что для анализа максвелловых уравнений существенны
преобразования, которые позднее стали известны под его именем, а Пуанкаре
еще более углубил это знание.
Дело в том, что эта теория основана на
предпосылке покоящегося неподвижного эфира; ее основные уравнения при
применении написанных выше формул преобразования не сохраняют своей
формы.
И далее после слов:
"Идея Лоренца состоит в том, что уравнения электромагнитного поля не
изменяются в результате некоторого преобразования, которое я назову именем
Лоренца.
12) "Далее, Пуанкаре исправил лоренцевы формулы
преобразования плотности заряда и скорости, — пишет затем Паули, — и,
таким образом, достиг полной инвариантности уравнений электронной теории"
([3], с.
Логунов, "Эйнштейну для
установления Лоренц-инвариантности уравнений Максвелла с источниками
необходимо было бы, кроме установления характера преобразования для поля,
показать еще, что по такому же закону преобразуется и сила Лоренца.
Правда, в этих замечаниях и Паули, и
Логунова речь идет лишь о неполноте достигнутого авторами
математического доказательства инвариантности уравнений Максвелла.
А для строгого и полного доказательства
инвариантности уравнений электродинамики в присутствии зарядов
потребовалось, не меняя самих построений, всего лишь внести исправления,
сделанные Пуанкаре - в одном случае, и дополнение, отмеченное Логуновым —
в другом.
В первой части работы, посвященной
электродинамике движущихся сред, Лоренц исходит из справедливости
уравнений Максвелла для описания электромагнитных полей в
неподвижном эфире.
Далее он предлагает некоторое
преобразование,22 связывающее координаты x٭, у٭, z٭ и t٭ = t со значениями местных координат
х', у', z' и t', и для поля в пустоте (отсутствие
зарядов) строго доказывает, что переход от обычных координат к местным
обеспечивает получение уравнений электродинамики, совершенно тождественных
уравнениям в исходной системе эфира.
Иначе говоря, в этой части
статьи автор рассматривает электромагнитные эффекты, обусловленные фактом
неинвариантности уравнений электродинамики относительно преобразований
Галилея, и старательно изыскивает условия, при которых стало бы невозможно
само наблюдение этих эффектов.
Иначе говоря, в этой ситуации самым естественным было
бы усомниться в сверхвысокой точности созданных ранее (1861-1865)
Максвеллом математических уравнений, описывающих электромагнитные явления
в неподвижном эфире.
Герц, прославившийся открытием электромагнитных волн Максвелла (Фарадея),
который привел эти уравнения к согласию с опытом Майкельсона-Морли, придав
им инвариантную относительно преобразований Галилея
форму.
Именно это обобщение делало его теоретическое построение,
основанное на признании уравнений Максвелла и неподвижности эфира,
потенциально полным,26 т.
В той же статье есть и
такие слова: "Напротив, Пуанкаре получил полную инвариантность уравнений
электродинамики и сформулировал "постулат относительности" - термин,
впервые введенный им.
Похоже, что автор лишь подводит итог
подробно обсужденных в научной литературе экспериментов, отмечая на первой
же странице своей статьи, что "неудавшиеся попытки обнаружить движение
Земли относительно "светоносной среды" ведут к предположению, что не
только в механике, но и в электродинамике никакие свойства явлений не
соответствуют понятию абсолютного покоя, даже более того — к
предположению, что для всех координатных систем, для которых справедливы
уравнения механики, имеют место те же самые элекродинамические и
оптические законы, как это уже доказано для величин первого порядка.
Это в известном
смысле нелогично; собственно говоря, теорию масштабов и часов следовало бы
выводить из решений основных уравнений (учитывая, что эти предметы имеют
атомную структуру и движутся), а не считать ее независимой от них.
По поводу уравнений
электродинамики перед тем, как приступить к доказательству их
инвариантности относительно преобразований Лоренца, Пуанкаре писал: "Эти
уравнения можно подвергнуть замечательному преобразованию, найденному
Лоренцем, которое объясняет, почему никакой опыт не в состоянии обнаружить
абсолютное движение [Земли" [5Ь] (см.
Тогда физический
закон получил бы совершенно новый вид: он не был бы уже только
дифференциальным уравнением, но приобрел бы характер статистического
закона".
Так, новые преобразования пространственно-временных координат он
с самого начала связывал с невозможностью обнаружения абсолютного движения
Земли и затем привел строгое и самое общее доказательство инвариантности
уравнений электродинамики относительно группы Лоренца.
Но, в
отличие от работы Эйнштейна, в палермской статье Пуанкаре высказывалось
твердое убеждение автора в необходимости аналогичной инвариантности
относительно группы Лоренца и остальных уравнений, описывающих любые
физические явления, в том числе и гравитационные
явления.
В палермской статье Пуанкаре не
только выдвинул идею общей инвариантности относительно преобразований
Лоренца всех уравнений, описывающих различные физические явления, но и
создал впервые Лоренц-обобщенный вариант скалярной теории тяготения.
На самом же деле эта теория открыла
совершенно иную форму относительности, которая скрыто существовала в
созданных Максвеллом уравнениях, развитых затем Лоренцем для
микроскопических явлений, и распространила этот новый принцип на механику
и на все остальные физические явления, провозгласив обязательность
лоренц-инвариантности всех уравнений, описывающих явления при больших
скоростях движения.
Именно лоренц-инвариантности как раз и соответствует
отмеченное нами подобие всех кинематических характеристик физических
процессов, тогда как полная тождественность кинематических соотношений
отвечает инвариантности уравнений относительно преобразований Галилея и
содержанию принципа относительности Галилея-Ньютона в механике и его
варианту обобщения на электродинамику, предложенному Герцем.
И поэтому встает, естественно, вопрос о
нахождении другой группы преобразований, соответствующей инвариантности
уравнений физических процессов, и о новой форме выполнения принципа
относительности для всех физических явлений.
Ведь совпадений
уравнений, описывающих соответствующие физических процессы в различных
инерциальных системах, вовсе недостаточно для вывода о тождественности,
раз для кинематического описания процессов требуется вводить несовпадающие
по одновременности собственные времена.
До этого считалось, что
фундаментальные работы Гильберта и Эйнштейна по общековариантному
уравнению гравитационного поля совершенно независимы [61, 62].
Смородинского, посвященной,
в основном, доказательству независимости путей Эйнштейна и Гильберта к
установлению общековариантного уравнения теории.
Похоже, что эту достаточно полную
информацию о своих докладах он посылал в Геттинген с единственной целью,
чтобы крупнейший математик скорректировал его дальнейшие поиски
окончательного решения проблемы, или даже просто подсказал недостающие
члены в посланном ему уравнении.
Отсюда мы и делаем свое предположение, что из письма
Зоммерфельда ему стало известно о получении математиком общековариантного
уравнения гравитационного поля.
в вопросе об уравнениях гравитационного поля авторы уклонились от
правильного решения этой проблемы, приведя несколько доводов против поиска
общековариантного решения.
Важнейшим доводом были трудности выполнения
принципа соответствия, согласно которому требовалось, чтобы в пределе
слабых полей и малых скоростей сложное десятикомпанентное тензорное
уравнение переходило в классическое уравнение Пуассона.
к требованию более общей ковариантости
уравнения поля, от которой я отказался с тяжелым сердцем, когда работал
вместе с моим другом Гроссманом" ([62], с.
Во втором своем докладе Эйнштейн
выдвигает снова то же самое тензорное уравнение, в котором геометрический
тензор Риччи приравнивался взятому со знаком минус тензору
импульса-энергии, умноженному на гравитационную постоянную.
Поэтому
он, в надежде получить неофициальную письменную информацию об
общековариантном уравнении Гильберта, посылает третью почтовую открытку в
Геттинген, дату отправки которого 15 ноября авторам статьи [60] удалось
установить лишь предположительно.
Но в
том же письме была и такая фраза, которая не могла не взволновать
Гильберта: "Предложенная Вами система (уравнений), насколько я могу
судить, в точности согласуется с тем, что я получил в последние недели и
представил Академии (см.
Доски физических аудиторий по всему миру испещрены абстрактными
уравнениями: физики вычисляют, возможно ли использование «экзотической энергии»
и черных дыр для поисков туннеля, ведущего в другую вселенную.
Эйнштейн нашел в них то, что упустил сам
Максвелл: уравнения доказывали, что свет перемещается с постоянной скоростью,
при этом было совершенно неважно, с какой скоростью вы пытались догнать его.
Таким образом, был обнаружен таинственный
источник энергии звезд — им оказалось преобразование материи в энергию согласно
уравнению, которое справедливо для всей Вселенной.
Так, в 1917 году Эйнштейн был вынужден
ввести в свои уравнения новый член, некий «поправочный множитель», он вводил в
свою теорию новую, «антигравитационную» силу, которая толкала звезды прочь друг
от друга.
)
В 1917 году голландский физик Биллем де Ситтер предложил еще одно
решение для уравнений Эйнштейна, где Вселенная была бесконечной и полностью
лишенной всякой материи.
Фридман не только первым применил комплексный подход к
космологическим уравнениям Эйнштейна, он также представил наиболее реалистичную
версию Судного Дня, конца Вселенной: исчезнет ли она в леденящем холоде, сгорит
ли в Большом Сжатии или же будет продолжать пульсировать вечно.
Например, мы можем показать, что электричество и магнетизм в
действительности разные аспекты одного и того же явления, поскольку существует
симметрия, которая может сделать их взаимозаменяемыми в рамках уравнений
Максвелла.
Это также
означает, что любое уравнение, которое мы составим для описания снежинки, должно
отражать тот факт, что она остается неизменной при повороте на количество
градусов, кратное 60.
Чтобы
осознать все, что влечет за собой факт возможного существования Мультивселенной,
необходимо прежде всего понять, что теория инфляции полностью укладывается в
причудливые уравнения Эйнштейна и квантовой теории.
Вопрос
снова всплыл в 1916 году, когда Карл Шварцшильд, немецкий физик, работавший на
армию и находившийся тогда на русском фронте, нашел точное решение уравнений
Эйнштейна для массивной звезды.
Вращающиеся черные дыры
Однако в 1963 году взгляд на вещи стал меняться, когда математик
из Новой Зеландии Рой Керр нашел точное решение уравнений Эйнштейна,
описывающее, возможно, наиболее реалистично умирающую звезду, вращающуюся черную
дыру.
)
Проблемы отрицательной энергии
Несмотря на то что, объявив о найденном решении уравнений
Эйнштейна, Торн произвел настоящую сенсацию, реализация его идей затруднялась
некоторыми серьезными препятствиями, трудноустранимыми даже в условиях
высокоразвитой цивилизации.
В 1925
году австрийский физик Эрвин Шрёдингер предложил уравнение (знаменитое уравнение
Шрёдингера), которое в точности описывало движение волны, сопровождающей
электрон.
Эта главная волновая функция (родительница всех волновых функций)
подчиняется не уравнению Шрёдингера (которое работает только для одиночных
электронов), а уравнению Уилера — де Витта, которое применимо для всех возможных
вселенных.
Мы смогли суммировать всю информацию, содержащуюся в струнной
теории, в уравнении длиной менее четырех сантиметров Теперь, когда полевая
теория струн была сформулирована, необходимо было убедить физическое сообщество
в ее силе и красоте.
При помощи струнной теории поля всю теорию можно было суммировать в
одном-единственном, не очень длинном уравнении: все свойства модели Венециано,
все элементы бесконечной аппроксимации возмущения, все свойства колеблющихся
струн — все можно было вывести из уравнения, которое поместилось бы в китайском
печенье с предсказаниями.
Калуца, впрошломмалоизвестньгйматематик, написал Эйнштейну письмо,
в котором предлагал переписать уравнения Эйнштейна применительно к пяти
измерениям (одно измерение времени и четыре измерения пространства).
С
математической точки зрения это никакой проблемы не представляло, поскольку
уравнения Эйнштейна могли быть легко переписаны для любого количества измерений.
Но в письме содержалось поразительное замечание: если выделить четырехмерные
части, содержащиеся в уравнениях, записанных для пяти измерений, то мы
автоматически, будто по волшебству, получим теорию света Максвелла.
Иными
словами, если мы всего лишь добавим пятое измерение, то из уравнений Эйнштейна
для гравитации получается теория электромагнитного взаимодействия Максвелла.
Подобно Мэтту Дэймону из
фильма «Умница Уилл Хантинг», Рамануджан грезил математическими уравнениями, в
данном случае эллиптической модулярной функцией: написанная для двадцати четырех
измерений, она обладает причудливыми, но красивыми математическими свойствами.
В отличие от струнной теории
(которую можно было выразить на основе простых струнных уравнений поля,
записанных мною несколько лет тому назад и содержащих в себе всю теорию), у
мембран вообще не было теории поля.
Пересмотренные уравнения Максвелла останутся совершенно
неизменными, если мы поменяем электрическое поле с магнитным и заменим
электрический заряд е на обратный магнитный заряду.
Однако физики посчитали примечательным тот факт, что в
уравнениях Максвелла содержалась скрытая симметрия, которой природа, по всей
видимости, не пользуется (во всяком случае, в нашем секторе Вселенной).
Уравнения для самих
кварков вывести очень легко, но разрешить их в четырех измерениях и получить
свойства протонов и нейтронов оказалось сложнее, чем считалось раньше.
Он проанализировал уравнение, называемое уравнением
Пуассона-Лапласа (которое управляет движением планетарных объектов, а также
электрическими зарядами в атомах), и обнаружил, что орбиты теряют свою
устойчивость в четырех и более пространственных измерениях.
Хотя позднее Эйнштейн нашел точное решение для своих уравнений,
допускавших существование гравитационных волн, он отчаялся увидеть при жизни
подтверждение своего прогноза, Гравитационные волны чрезвычайно слабы.
(В сущности, уравнения Эйнштейна предсказывают, что звезды в конце концов
столкнутся через 240 миллионов лет вследствие потери энергии, испускаемой в
космос в виде гравитационных волн.
Хотя вещество и энергия могут превращаться друг в
друга (с помощью знаменитого уравнения Эйнштейна Е = тс2), общее
количество вещества и энергии создать или уничтожить нельзя.
Уравнения Эйнштейна
известны своей сложностью, поскольку для вычисления искривления пространства в
какой-либо заданной точке необходимо точно знать местонахождение всех объектов
во вселенной, каждый из которых вносит свою лепту в искривление пространства.
Неважно, будет это
сделано при помощи струнной теории или нет, но у нас должен быть надежный способ
вычисления квантовых поправок к уравнениям Эйнштейна или же все наши теории
окажутся бесполезными.
)
Когда будет открыта теория квантовой гравитации и гигантские
ускорители частиц или детекторы гравитационных волн подтвердят ее верность, мы
можем начать отвечать на некоторые жизненно важные вопросы относительно
порталов-червоточин и уравнений Эйнштейна:
1.
Белая дыра представляет собой решение уравнений Эйнштейна, в
котором время течет вспять таким образом, что из белой дыры объекты
выбрасываются точно так же, как их засасывает в черную дыру.
Единственный способ выяснить это — проведение эксперимента с зондами и
использование суперкомпьютера для вычисления распределения масс во вселенных и
обработки квантовых поправок к уравнениям Эйнштейна, которые вносит
портал-червоточина.
Поскольку
уравнения Эйнштейна инвариантны относительно времени, то есть могут выполняться
как по его ходу, так и против, это означает, что любое выпадение вещества в
дочернюю вселенную может быть реверсировано во времени, в результате чего
образуется черная дыра.
Если же, как считают некоторые физики, в числе которых нахожусь и
я, основополагающие законы реальности могут быть описаны в уравнении не больше
дюйма длиной, тогда вопрос заключается в следующем: откуда взялось это
уравнение.
В случае если физики когда-нибудь добьются успеха
и напишут конечное уравнение, из которого можно вывести все физические законы,
все еще можно будет спросить: «откуда взялось это уравнение.
»
Создание нашего собственного смысла
В конечном счете, я считаю, что существование единого уравнения,
которое может описать всю вселенную в упорядоченном и гармоничном виде,
предполагает существование некоего проекта.
Одни
процессы при существующем уровне знаний допускают
описание с помощью детерминированных уравнений,
другие требуют привлечения вероятностных
соображений.
Если запись дифференциальных
уравнений означает постановку динамической
задачи, то их интегрирование соответствует
решению этой задачи.
В этом описании можно
выделить два элемента: положения и
скорости всех материальных точек в один
момент времени (часто называемые начальными
условиями) и уравнения движения, связывающие
динамические силы с ускорениями.
Интегрирование
уравнений движения развертывает начальное
состояние в последовательность состояний, т.
Опыт с шариком -
один из первых мысленных опытов в истории
современной науки - иллюстрирует одно общее
математическое свойство уравнения динамики: из
структуры уравнений динамики следует, что если
обратить скорости всех точек системы, то система
«повернет вспять» - начнет эволюциоиировать назад
во времени.
Действительно, непрерывный характер ускорения,
описываемого уравнениями динамики, разительно
контрастирует с дискретными мгновенными
соударениями твердых корпускул.
Уравнения, задающие временные изменения координат
и импульсов через производные от гамильтониана,
называются каноническими уравнениями.
Любое динамическое изменение, к которому применима
классическая динамика, может быть сведено к
простым математическим уравнениям - каноническим
уравнениям Гамильтона.
Используя эти уравнения, мы
можем проверить правильность заключений
относительно общих свойств динамических систем,
выведенных в классической динамике.
Канонические уравнения консервативны:
гамильтониан, выражающий полную энергию
системы в канонических переменных (координатах и
импульсах), сохраняется при изменениях координат и
импульсов во времени.
Мы уже упоминали о том, что
существует множество различных представлений
одной и той же динамической системы (или
множество различных точек зрения на одну и ту же
динамическую систему), в каждом из которых
уравнения движения сохраняют гамильтонову форму.
Действительно, как мы уже говорили,
изменение импульсов во времени в силу канонических
уравнений зависит от производной гамильтониана по
координатам.
Если имеется решение философской
проблемы времени, то оно зафиксировано в
уравнениях математической физики.
Если мы рассматриваем
динамические уравнения, инвариантные относительно
обращения времени, то такая асимметрия
представляется невозможной.
Такая запись («уравнение реакции») означает,
что всякий раз, когда молекула реагента А
сталкивается с молекулой реагента X (А
и X- исходные вещества), с определенной
вероятностью происходит реакция, в результате
которой образуется одна молекула вещества В
и одна молекула вещества У (В и У-продукты
реакции).
Эти
изменения кинетика описывает с помощью
дифференциальных уравнений - так же, как механика
описывает движение ньютоновскими уравнениями.
Если мы применим тот же
метод, то для реакции А + 2Х->ЗХ получим
кинетическое уравнение dXIdt= КАХ2,
т.
Характерные математические
особенности нелинейных дифференциальных уравнений,
описывающих химические реакции с каталитическими
стадиями, как мы убедимся в дальнейшем, имеют
жизненно важное значение для термодинамики сильно
неравновесных химических процессов.
Уравнения типа
«реакция с диффузией» для «брюсселятора» обладают
необычайно богатым запасом решений, отвечающих
качественно различным типам поведения системы.
Новым является то, что эти
понятия качественной теории дифференциальных
уравнений применимы к химическим системам.
В этом выборе неизбежно присутствует
элемент случайности: макроскопическое уравнение не
в состоянии предсказать, по какой
траектории
Можно было бы ожидать, что
при многократном повторении эксперимента при
переходе через точку бифуркации система в среднем
в половине случаев окажется в состоянии с
максимумом концентрации справа, а в половине
случаев - в состоянии с максимумом концентрации
слева.
Оба распределения равновероятны, но если
включить g, то бифуркационные уравнения
изменятся, так как поток диффузии будет содержать
член, пропорциональный g.
«Большинство поддающихся измерению
свойств любой такой системы в этом
апериодическом пределе может быть определено, по
существу, без учета каких-либо специфических
особенностей уравнения, описывающего каждую
конкретную систему.
И
детерминистический характер кинетических
уравнений, позволяющих вычислить заранее набор
возможных состояний и определить их относительную
устойчивость, и случайные флуктуации, «выбирающие»
одно из нескольких возможных состояний вблизи
точки бифуркации, теснейшим образом взаимосвязаны.
5, основным «оружием» теоретиков в химической
кинетике являются дифференциальные уравнения,
которым удовлетворяют концентрации веществ,
участвующих в реакции.
Нетрудно выписать
уравнение, описывающее, как изменяется
распределение вероятности Р (X, t) в
результате процессов рождения и уничтожения
молекул X.
Тем не менее уравнения
реакций с диффузией содержат параметры,
допускающие сдвиг в слабо неравновесную область.
В экологии классическое
уравнение, описывающее такую проблему, называется
логистическим уравнением.
Логистическое
уравнение можно представить в виде
dN/dt-rN(K-N)-mN, где г и
m - характерные постоянные рождаемости и
смертности, К - «несущая способность»
окружающей среды.
Кажущаяся простота
логистического уравнения до некоторой степени
скрывает сложность механизмов, участвующих в
процессе.
Вместо того чтобы записывать
логистическое уравнение в непрерывном времени,
будем сравнивать состояние популяции через
заданные интервалы времени (с интервалом,
например, в год).
Такое дискретное
логистическое уравнение представимо в виде
Nt+i = Nt(1+r [1-NtlK\), где N; и
Nt+i - популяции с интервалом в один год
(членом, учитывающим смертность, мы пренебрегаем).
Такой успех стал возможен благодаря простому открытию:
суть многих явлений природы можно записать в виде чисел и уравнений,
устанавливающих связи между числами.
Позднее, уже работая в Париже, Френель получил математические уравнения, точно
описывающие оптические процессы, происходящие на границе двух различных
оптических сред.
Ом пришел к выводу, что результаты опытов, проведенных с восемью различными
проволоками, могут быть выражены уравнением - частное от а, деленного на х + в,
где х означает интенсивность магнитного действия проводника, длина которого
равна х, а а и в - константы, зависящие соответственно от возбуждающей силы и от
сопротивления остальных частей цепи.
Таким образом, Герц в процессе своих исследований окончательно и безоговорочно
перешел на точку зрения Максвелла, придал удобную форму его уравнениям, дополнил
теорию Максвелла теорией электромагнитного излучения.
В 1890 году Герц опубликовал две статьи: "Об основных уравнениях электродинамики
в покоящихся телах" и "Об основных уравнениях электродинамики для движущихся
тел".
"Точно так же, как дифференциальные уравнения представляют лишь математический
метод вычисления и их подлинный смысл, - пишет Больцман, - можно понять только с
помощью представлений, основанных на большом конечном числе элементов, наряду с
общей термодинамикой, и не умаляя ее важности, которая никогда не может
поколебаться, развитие механических представлений, делающих ее наглядной,
способствует углублению нашего познания природы, причем не вопреки, а именно
благодаря тому, что они не во всех пунктах совпадают с общей термодинамикой, они
открывают возможности новых точек зрения".
Современник "ультрафиолетовой катастрофы", физик Лоренц грустно заметил:
"Уравнения классической физики оказались неспособными объяснить, почему
угасающая печь не испускает желтых лучей наряду с излучением больших длин
волн.
Пономарев в своей книге пишет: "Гейзенберг утверждал: уравнения, с помощью
которых мы хотим описать движение в атоме, не должны содержать никаких величин,
кроме тех, которые можно измерить на опыте.
Он указал также правила переноса отрицательных членов
уравнения в другую часть его с обратными знаками, взаимного уничтожения
одинаковых членов в обеих частях уравнения".
Основные достижения индусов состоят в том, что они ввели в обращение цифры,
называемые нами арабскими, и позиционную систему записи чисел, обнаружили
двойственность корней квадратного уравнения, двузначность квадратного корня и
ввели отрицательные числа.
Он
распределяет уравнения по видам, разъясняет, как применять правила восполнения и
противопоставления, формулирует правила решения уравнений различных видов.
В "Анализе с помощью уравнений с бесконечным числом членов", написанном в 1665
году, Ньютон изложил свои результаты в учении о бесконечно малых рядах, в
приложении рядов к решению уравнений.
В "Методе флюксий" учение Ньютона выступает как
система: рассматривается исчисление флюксий, приложение их к определению
касательных, нахождению экстремумов, кривизны, вычисление квадратур, решение
232
уравнений с флюксиями, что соответствует современным дифференциальным
уравнениям".
Леонард Эйлер
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ
"Основная теорема алгебры в виде утверждения: алгебраическое уравнение имеет
столько корней, какова его степень, высказана Жираром и Декартом, - отмечает в
своей книге "В мире уравнений" В.
В нем указывается на способ интегрирования рациональных дробей путем
разложения их на частные дроби и, кроме того, излагается обычный теперь способ
интегрирования линейных обыкновенных уравнений высшего порядка с постоянными
коэффициентами.
Эйлер так упростил и дополнил
целые большие отделы анализа бесконечно малых, интегрирования функций, теории
рядов, дифференциальных уравнений, начатые уже до него, что они приобрели
примерно ту форму, которая за ними в большой мере остается и до сих пор.
При доказательстве основной теоремы Эйлер установил два свойства алгебраических
уравнений: 1) рациональная функция корней уравнения, принимающая при всех
возможных перестановках корней А различных значений, удовлетворяет уравнению
степени А, коэффициенты которого выражаются рационально через коэффициенты
данного уравнения; 2) если рациональная функция корней уравнения инвариантна (не
меняется) относительно перестановок корней, то она рационально выражается через
коэффициенты исходного уравнения".
Благодаря письмам на родину великого норвежского математика
Абеля, доказавшего неразрешимость в радикалах уравнения пятой степени, мы знаем
о трудном пути, который он прошел, изучая теорию Гаусса.
Гаусс не преминул обратить внимания на пробелы у Эйлера, а главное, подверг
критике саму постановку вопроса, когда заранее предполагалось существование
корней уравнений.
Во втором
доказательстве, выполненном им в 1815 году, знаменитый математик опять вернулся
к критике доказательства основной теоремы алгебры при помощи рассуждения, когда
заранее предполагается существование корней уравнения.
Здесь Эварист выполнил исследование по теории
алгебраических уравнений и в 1830 году представил работу на "конкурс Парижской
академии наук Его судьба была в руках бессменного секретаря Академии - Фурье.
Рассматривая
уравнение, которое требовалось решить, он связывал с ним некоторую группу
операций (к сожалению, мы не имеем возможности уточнить здесь, как это делается)
и доказывал, что свойства уравнения отражаются на особенностях данной группы.
Хопфом - в результате чего в науку вошло "уравнение
Винера - Хопфа", описывающее радиационные равновесия звезд, а также относящееся
к другим задачам, в которых ведется речь о двух различных режимах, отделенных
границей.
Предложенная Леонтьевым алгебраическая теория анализа "затраты-выпуск" сводится
к системе линейных уравнений, в которых параметрами являются коэффициенты затрат
на производство продукции.
Уравнение Шредингера
Физические предпосылки создания
квантовой механики
Атомные спектры
излученияСогласно экспериментальным данным, полученным к
концу XIX века, частоты спектральных линий данного атома
где T(n)- функция
целого числа (спектральный терм), n=1,2,3,.
Учтем уравнение движения электрона с зарядом -
e в кулоновском поле ядра с зарядом e,
mv2/r=e2/r2,и
квантование момента: Отсюда находим
квантованные значения энергии электрона в атоме водорода:
Так Бор пришел к выводу о
существовании дискретного множества стационарных состояний
атома с энергиями En.
Рассмотрим сначала частный случай
монохроматической волны:
В нашем курсе мы ограничимся
нерелятивистскойтеорией, в которой энергия E свободной
частицы массы m связана с ее импульсом p
соотношением
E=p2/2m,что
дает следующую зависимость частоты дебройлевской волны от
волнового вектора k (закон дисперсии):
Для монохроматической волны
имеем
и учет закона дисперсии
приводит к дифференциальному уравнению для волновой функции
Это и есть уравнение
Шредингера (E.
Ввиду линейности этого уравнения (параболического
типа) оно выполняется для произвольной суперпозиции
монохроматических волн:
представляющей собой
общее решение.
Заметим, что фаза
монохроматической волны связана с решением S(t,r)
уравнения Гамильтона-Якоби (УГЯ) для свободной частицы
очевидным соотношением
а сама волновая функция
выражается через S в виде
Подставив это выражение в УШ,
получим для S уравнение
которое отличается от УГЯ
дополнительным слагаемым, пропорциональным постоянной Планка ,
и эквивалентно УШ.
Для нее получаем:
В силу УГЯ для S
функция удовлетворяет нелинейному уравнению.
Оно следует из квантового
обобщения уравнения Гамильтона-Якоби (КУГЯ)
и имеет вид:
Это уравнение Шредингера
для частицы в потенциальном поле.
Условие применимости классического
уравнения Гамильтона-Якоби принимает в стационарном одномерном
случае вид:
т.
Волновая функция
Волновой пакет и его
эволюцияРассмотрим специальное решение уравнения
Шредингера для свободной частицы в одномерном случае:
где C(k) - функция,
модуль которой имеет резкий максимум в некоторой точке
k=k0 и быстро убывает при Такое решение называется волновым пакетом.
Для
микрочастицы в общем случае необходимо использовать уравнение
Шредингера для волновой функции, которой, как мы убедились, нельзя
придать непосредственно прямой физический смысл.
Запишем уравнения для и комплексно
сопряженной к ней функции :
Умножив первое уравнение на
, а второе на , вычтем одно из
другого.
Получим
Введем плотность и
поток вероятности j:
В результате находим
уравнение непрерывности (ср.
Принцип
суперпозицииЛинейность уравнения Шредингера и
операторов наблюдаемых обеспечивает выполнение фундаментального
принципа суперпозиции, согласно которому:
Если квантовая система может находиться в состояниях,
описываемых волновыми функциями и то она
может также находиться и в состоянии
где
c1,c2- произвольные комплексные числа.
выше вывод СН):
Отсюда находим
и уравнение для определения
состояния, минимизирующего произведение неопределенностей,
принимает вид:
Рассмотрим случай координаты
и импульса:
В координатном представлении
и получаем
уравнение:
Здесь Нормированное
решение имеет вид:
В этом состоянии
СН "координата-импульс"
выражает отсутствие точной траектории у частицы.
2,где
cn - коэффициент в разложении по полной
системе собственных функций оператора :
Эволюция системы определяется уравнением Шредингера
где -
гамильтониан.
Изменение наблюдаемых со
временем
Эволюция средних значений
наблюдаемых Пусть - произвольное
состояние, эволюционирующее во времени согласно уравнению Шредингера
Получим уравнение для
изменения среднего значения наблюдаемой в этом состоянии.
Имеем
Здесь учтена эрмитовость Итак,
Это уравнение - квантовый
аналог классического уравнения для динамической переменной
A(q,p,t):
где введена скобка Пуассона
Таким образом, при переходе к
квантовой теории
Заметим, что алгебраические
свойства скобки Пуассона совпадают со свойствами коммутатора
наблюдаемых.
Стационарные
состоянияРассмотрим важный частный случай независящего от
времени гамильтониана:
В этом случае существуют
специальные решения уравнения Шредингера, которые легко получаются
методом разделения переменных:
где не
зависят от времени и являются (как и ) собственными
векторами гамильтониана:
Собственные значения E
являются допустимыми значениями энергии системы, так как
гамильтониан - оператор энергии, соответствующий классической
функции Гамильтона.
выше) оператор скорости:
В результате
Далее
Последний коммутатор проще
всего вычислить в координатном представлении:
В результате получим:
Отсюда для средних значений
следуют уравнения, впервые полученные Эренфестом (P.
Отсюда следует
квантовое обобщение закона Ньютона:
Эти уравнения выражают
содержание теорем Эренфеста.
Разложив силу в ряд по и усреднив по пакету, получим с точностью до членов
второго порядка малости уравнение движения
Здесь учтено, что При условии
движение центра волнового
пакета описывается классическим уравнением Ньютона.
Инвариантность означает, что из уравнения
следует такое же уравнение
для преобразованного вектора:
Отсюда получаем условие
инвариантности гамильтониана:
Естественно потребовать также
сохранения нормы вектора:
Следовательно, оператор
преобразования должен быть унитарным:
Для приложений представляют
интерес унитарные операторы вида
где -
эрмитов оператор т.
Бесконечное число неконтролируемо флуктуирующих переменных могут привести к уравнениям, которые "отбиваются от рук" и предсказывают бесконечные числа, когда вы задаете вопросы о вероятности наступления некоторого события или о величине некоторой силы.
Найти новую интерпретацию теории – новый способ прочтения уравнений, – которая реалистична, так что измерение и наблюдение не будут играть роли в описании фундаментальной реальности.
Недавно мы открыли, что когда мы проводим наблюдения на еще больших масштабах, соответствующих миллиардам световых лет, уравнения ОТО не удовлетворяются, даже когда добавлена темная материя.
Или имеется новая форма материи – или энергии (напомним знаменитое уравнение Эйнштейна E = mc2, показывающее эквивалентность энергии и массы), – которая становится существенной на очень больших масштабах.
Они были не одиноки, юный джентльмен тех времен делал хорошую карьеру в обновленных учреждениях, придумывая улучшение конструкций микроскопической оснастки, шкивов и ремней, чтобы они подразумевали лежащие в основе уравнения Максвелла.
До тех пор, пока мы наложили одно простое условие, они оказываются правильными уравнениями для описания электрического и магнитного полей и гравитации, объединенных вместе.
Гравитация и электромагнетизм были объединены одним ударом, и уравнения Максвелла были объяснены как вытекающие из уравнений Эйнштейна, и все благодаря простому акту добавления одного измерения к пространству.
Тот факт, что уравнения Янга-Миллса были скрыты в высокоразмерных обобщениях ОТО, не был открыт до 1950х, но их значение не было осознано до 1970х, когда мы, наконец, поняли, что эти уравнения описывают слабые и сильные ядерные силы.
Вейль был одним из самых глубоких математиков, когда-либо размышлявших над уравнениями физики, и именно он понял, что структура теории Максвелла полностью объясняется калибровочными силами.
Для наших целей достаточно будет помнить, что уравнения этой теории говорят нам, как геометрия пространства эволюционирует во времени не только для одного, но для любого возможного определения времени.
Уравнения Ньютона имеют бесконечное количество решений, соответствующих бесконечному количеству траекторий, поторые может выбрать мяч: Он может быть брошен выше или ниже, быстрее или медленнее.
Он заметил, что его уравнения гравитации допускают новую возможность, которая была в том, что плотность энергии пустого пространства может иметь величину – иными словами, она может быть не нулевой.
Это утешало, поскольку мы могли надеяться, что будут найдены новые принципы, которые совсем устранят затруднение из уравнений и сделают космологическую константу точно нулевой.
В самом деле, целый набор уравнений, описывающих распространение и взаимодействие сил и частиц, выводится из простого условия, что струна распространяется так, чтобы занимать минимальную площадь в пространстве-времени.
Когда вы исследуете это предположение, вы найдете, что необходимое условие для непротиворечивости теории струн заключается в том, что в определенном приближении пространственно-временная геометрия является решением уравнений высокоразмерной версии ОТО.
Другие имели возможные проблемы с нестабильностями или разрабатывались только на уровне классических уравнений, которые не достаточны, чтобы показать, существуют они реально или нет.
Катализатором была публикация физика-теоретика Абэя Аштекара, тогда работавшего в Сиракузском университете, о переформулировке ОТО, которая делает ее уравнения намного проще.
Тут имелся также прогресс в унификации, поскольку уравнения, описывающие разные виды частиц, приобретали одну и ту же простую форму, когда записывались в терминах пространства твисторов.
Она дала нам более глубокое понимание некоторых важных уравнений физики, включая главные уравнения теории Янга-Миллса, которые являются основой стандартной модели физики частиц.
Самое выдающееся преувеличение здесь то, что подразумевается, что М-теория существует как точная теория, а не предполагаемая, и что она имеет определенные уравнения, ни то ни другое не верно.
Представитель публики должен будет заключить отсюда, что имеется теория, называемая М-теория, с обычными признаками теории, которые заключаются в формулировании в терминах точных принципов и представлении точных уравнений.
Он изучил старую идею, впервые разработанную Луи де Бройлем в 1920х, именуемую теория скрытых переменных, в соответствии с которой имеется единственная реальность, скрытая за уравнениями квантовой теории.
Уравнение потенциала реверсии натрий--калий-кальциевого
обменника имеет следующий вид:
Исходя из
подсчитанных выше значений ЕNa
и ECa и принимая
значение ЕK за —90 мВ,
получим из уравнения Нернста Vr.
Напомним, что в главе 2 равновесный
потенциал для калия получался из уравнения Нернста:
где [К]1
и [К]0 — внутриклеточная и внеклеточная концентрации калия,
соответственно.
В наши дни можно с высокой точностью измерить мембранный потенциал, а также
убедиться в том, что изменения концентрации калия внутри и снаружи клетки
приводят к изменениям мембранного потенциала в соответствии с предсказаниями
уравнения Нернста.
Из уравнения Нернста следует, что изменение концентрационного
градиента в 10 раз при комнатной температуре приведет к изменению мембранного
потенциала на 58 мВ.
Уравнение
постоянного поля
Для того
чтобы вычислить точное значение мембранного потенциала для модели идеальной
клетки, необходимо принять во внимание отдельные ионные токи, протекающие через
мембрану.
ионы хлора находятся в равновесии), то, для сохранения неизменного значения
мембранного потенциала, калиевый и натриевый токи должны быть равны по величине
и противоположны по направлению:
Рассмотрим
это уравнение более подробно.
Уравнение называется «уравнением ГХК» по фамилиям
авторов, или уравнением постоянного поля, поскольку одним из допущений
при выводе уравнения является равномерное распределение градиента напряжения
(т.
Уравнение ГХК полностью аналогично
уравнению проводимостей, на его основании можно сделать те же предсказания:
когда проницаемости для натрия и хлора малы по сравнению с калиевой проницаемостью,
хлорный и натриевый компоненты уравнения становятся пренебрежимо малы, и
мембранный потенциал стремится к значению равновесного потенциала для
96
Раздел II.
Рассмотрим сначала пассивное движение ионов натрия и калия через
мембрану:
Отказавшись
от предположения о том, что токи эти равны по величине и противоположны по
направлению, но зная соотношение между ними, можно получить уравнение
мембранного потенциала, исходя из равновесных потенциалов для натрия и калия, а
также их относительных проводимостей.
Результат аналогичен только что полученному нами уравнению, основанному
на проводимостях и равновесных потенциалах:
где r — абсолютное
значение соотношения ионного транспорта (3 : 2).
1, получим потенциал покоя в морской
воде:
Становится
очевидным, почему при изменении внеклеточной концентрации калия мембранный
потенциал не строго подчиняется уравнению Нернста для калия, как показано на
рис.
в случае
полного соответствия с уравнением Нернста), и, следовательно, эффект изменения
уровня калия на мембранный потенциал меньше, чем в идеальной ситуации, когда
калий является единственным проводящим ионом.
Как мы знаем из уравнения
постоянного поля, увеличение натриевой проницаемости (также как и снижение
калиевой) приводит к деполяризации, то есть к смещению мембранного потенциала в
сторону натриевого равновесного потенциала.
(С) Зависимость между мембранным потенциалом и внеклеточной концентрацией
калия, рассчитанная по уравнению Нернста (сплошная линия), точно
соответствует экспериментальным данным, за исключением очень низких
концентраций калия.
Эта зависимость значительно
отличается от большинства нейронов, мембранный потенциал которых не соответствует
рассчитанному по уравнению Нернста в диапазоне физиологических концентраций [К]0
от 2 до 4 ммоль (глава 5).
В отличие от глиальных клеток,
нейроны деполяризуются при повышении внеклеточного К в меньшей степени,
поскольку зависимость их мембранного потенциала от наружного К отклоняется от
уравнения Нернста в физиологическом диапазоне концентраций (глава 5).
В течение длительного
периода наблюдений количество лет, в которые погибали 0, 1, 2 или 3 офицера,
приближались к значениям из уравнения Пуассона, при использовании только
средних значений «удачных» пиков в год (m) для
определения теоретически предполагаемого распределения.
Если известно среднее
количество монет, выплачиваемых за игру, то при длительном наблюдении за игрой
уравнение Пуассона точно предскажет, сколько раз игра будет проиграна, а также
сколько раз игрок получит одну, две и более монет.
Если
амплитуды потенциалов концевой пластинки распределяются в соответствии с
уравнением Пуассона, то m также может быть определено
по количеству нулевых ответов П0.
Сплошная линия
соответствует теоретическому распределению амплитуд потенциалов концевой
пластинки, рассчитанному по уравнению Пуассона с поправкой на разброс
амплитуды размера кванта.
Однако до сих пор ни в одной другой области не был
достигнут успех, сравнимый со значением уравнения Ходжкина— Хаксли для описания
изменений ионной проницаемости во время генерации потенциала действия.
этому
закону, величина тока I, проходящего через
проводник, прямо пропорциональна приложенной к нему разности потенциалов,
согласно уравнению I = V/R, где R —
сопротивление провода.
Равновесный
потенциал — уровень мембранного потенциала, вычисляемый с помощью уравнения
Нернста из разности между наружной и внутренней концентрациями иоиов, для
которых мембрана проницаема.
Она характеризуется потоками от заряда одного знака к
заряду другого знака и выражена в форме кванта потока магнитной индукции,
описываемого уравнениями Максвелла.
Но и уравнение Шредингера не отвечает на
вопрос о природе открытого волнового явления частиц и не раскрывает причину
существования стационарных орбит в атомах (в настоящее время орбиты электронов
в атомах заменены местами обитания облаков из электронов так, как будто картина
облаков решает все проблемы излучения атомов).
Все попытки
описать опытные данные без привлечения структуры среды, полученные за прошедшее
столетие, приводят только к очень сложным математическим построениям (вспомним
купола Птолемея, волновое уравнение Шредингера, матричные уравнения для метрики
пространства.
Лорд Питер Мей,
президент Королевского общества, комментируя результаты голосования, сказал:
«Многие люди могли бы сказать, что сравнивать Ньютона и Эйнштейна – то же
самое, что сравнивать яблоки и апельсины, но что действительно имеет значение,
так это то, что люди хорошо представляют достижения обоих ученых, и то, что их
вклад в судьбы мира превосходит значение лабораторий и уравнений».
» Шредингер воспринял это как личную обиду и задался целью
разработать волновое уравнение для описания частиц в рамках квантовой механики
– и с блеском справился с этой задачей.
Из уравнения Дирака следует, что электрон
обладает собственным механическим моментом количества движения — спином, равным ħ/2, а
также собственным магнитным
моментом, равным магнетону
Бора
eħ/mc, Характерная
особенность уравнения Дирака — наличие среди его решений таких, которые
соответствуют
состояниям
с отрицательными значениями энергии для свободного движения частицы (что
соответствует отрицательной массе
частицы).
Из уравнения Дирака
следовало, что должна существовать новая частица (античастица по отношению к
электрону) с массой электрона и электрическим зарядом противоположного знака; такая частица была
действительно открыта в 1932 К.
Выведем уравнение
энергии гамма-кванта для частоты условной «красной границы» hvrb и потенциальной
электрической энергии пары «электрон–позитрон»:
Дж
Эта энергия
превосходит энергию массы пары «электрон–позитрон» на небольшую величину,
определенную в опытах по превращению гамма-кванта в указанную пару: 2mec2=1,63742083•10-13 Дж.
Например, в качестве электрического заряда примем заряд электрона, позитрона,
протона, антипротона, равного табличной его величине e0=1,602176462•10-9 Кл:
(9)
Из уравнения находим
массу:
m=1,85944722•10-9=mPl кг,
x
при этом неизвестная масса зависит от массы
Планка.
Интеграл от индукции магнитного поля можно заменить
полным потоком магнитной индукции от источника внутри замкнутой поверхности и можно
переписать второе уравнение так:.
Так как магнитные величины прочно
связаны с электрическими величинами в электромагнитном излучении, то получим
второе волновое уравнение относительно электрической напряженности:.
Гут из Массачусетского технологического института предложил свою
версию теории большого взрыва, которая объясняет спонтанное возникновение этой
организации, устраняя необходимость искусственно вводить точные параметры в
уравнения, описывающие исходное состояние Вселенной.
Штайнгарт признают, что в их модели «расчеты приводят к
приемлемым предсказаниям только в том случае, если заданные исходные параметры
уравнений варьируют в очень узком диапазоне.
«Ничто», о котором говорит Гут, - это гипотетический
квантово-механический вакуум, описываемый еще не разработанной теорией единого
поля, которая должна объединить уравнения квантовой механики и общей теории
относительности.
Приводятся данные наблюдения космического аппарата WMAP и построен график поведения реликтового излучения и точки
решения уравнения движения скалярного «поля»:
Совпадение идеальное: как
тут не поверить в инфляционную теорию.
3
Уравнение сил Ньютона и Кулона (10) даёт:
и её зависимость:
Так как ожидается,
что электрическая постоянная среды с уменьшением скорости света
уменьшается, то, следовательно, гравитация должна также уменьшаться.
В настоящее время для теоретической оценки этого
явления используют уравнение Дирака,
релятивистскую зависимость массы электрона от скорости, наличие квантового
спина у электрона, влияния на магнитный момент электрона со стороны
электрического поля протона.
Но и уравнение Шредингера не отвечает на вопрос о природе
открытого волнового явления частиц и причину существования стационарных орбит в
атомах (в настоящее время орбиты электронов в атомах заменены местами обитания
облаков из электронов так, как будто картина облаков решает все проблемы
излучения атомов).
Все попытки описать опытные данные без привлечения структуры
среды, полученные за прошедшее столетие, приводят только к очень сложным
математическим построениям (вспомним купола Птолемея, волновое уравнение
Шредингера, матричные уравнения для метрики пространства.
Многие сказали бы, что сравнение Ньютона и Эйнштейна
походит на сравнение яблок и апельсинов, но что действительно имеет значение -
то, что люди оценивают огромное количество, которое и эти физики достигло, и
что их воздействие на мир простиралось далеко вне лаборатории и
уравнения.
» Шрёдингер воспринял это как личную обиду и задался
целью разработать волновое уравнение для описания частиц в рамках квантовой
механики — и с блеском справился с этой задачей».
Например, в качестве
электрического заряда примем заряд электрона, позитрона, протона, антипротона,
равного табличной его величине Кулон:
(9)
Из уравнения находим величины
кг, – неизвестная масса имеет оправдание
массой Планка,
Вебер – элементарный поток магнитной
индукции имеет оправдание из Физической Энциклопедии:
«Квант магнитного
потока – мин.
Интеграл от индукции магнитного поля можно заменить
полным потоком магнитной индукции от источника внутри замкнутой поверхности и можно переписать
второе уравнение так:.
Так как магнитные величины
прочно связаны с электрическими величинами в электромагнитном излучении, то
получим второе волновое уравнение относительно электрической напряженности:.
Гут из Массачусетского технологического института предложил свою
версию теории большого взрыва, которая объясняет спонтанное возникновение этой
организации, устраняя необходимость искусственно вводить точные параметры в
уравнения, описывающие исходное состояние Вселенной.
Штайнгарт признают, что в их модели «расчеты приводят к
приемлемым предсказаниям только в том случае, если заданные исходные параметры
уравнений варьируют в очень узком диапазоне.
«Ничто», о котором говорит Гут, - это гипотетический
квантово-механический вакуум, описываемый еще не разработанной теорией единого
поля, которая должна объединить уравнения квантовой механики и общей теории
относительности.
Приводятся данные наблюдения космического аппарата WMAP и построен график точки поведения реликтового
излучения и линия решения уравнения движения скалярного «поля»:
Совпадение
идеальное: как тут не поверить в инфляционную теорию.
Уравнение сил Ньютона и Кулона (10) даёт:
и её зависимость:
Так как ожидается, что электрическая
постоянная среды с уменьшением скорости света уменьшается, то,
следовательно, гравитация должна также уменьшаться.
В настоящее время для
теоретической оценки этого явления используют уравнение Дирака, релятивистскую
зависимость массы электрона от скорости, наличие квантового спина у электрона,
влияния на магнитный момент электрона со стороны электрического поля протона.
Были найдены точные решения указанной системы уравнений, описывающие не только электромагнитные, гравитационные и ядерные (сильное и слабое) поля А вот это - вранье: нет такой теории пока.
А в основу релятивистской квантовой механики легло релятивистское уравнение, описывающее движение электрона во внешнем силовом поле, полученное английским физиком П.
Теорема Белла утверждает: если некоторая объективная Вселенная существует и если уравнения квантовой механики структурно подобны этой Вселенной, то между двумя частицами, когда-либо входившими в контакт, существует некоторый вид нелокальной связи.
Поль Дирак составил уравнение, которое описывало движение электронов с учетом законов и квантовой механики и теории относительности и получил неожиданный результат.
Пенроуз, опираясь на идеи кривизны и кручения пространства- Он показал, что в основу геометрии могут быть положены, помимо поступательных, и вращательные координаты, и они определяют свойства пространства и времени, Пенроуз записал вакуумные уравнения Эйнштейна в спиновом виде (23, с.
Он еще не знал, что в результате блестящих работ Пенроуза вакуумные уравнения Эйнштейна уже были записаны в спиновом виде, что спиноры могут быть положены в основу классической геометрии и что именно они определяют топологические и геометрические свойства пространства-времени.
Шипов обратил внимание на то, что в' рассматриваемых уравнениях отсутствуют компоненты вращательного движения, которое сопровождает все в природе - от элементарных частиц до Вселенной.
Они обобщают все известные на сегодняшний момент фундаментальные уравнения физики и представляют собой самосогласованную систему нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, в которую входят геометризированные уравнения Гейзенберга, геометризированные уравнения Эйнштейна и геометризированные уравнения Янга-Милса.
Для учета кручения пространства Шипов ввел в геометризированные уравнения множество угловых координат: три пространственных угла (углы Эйлера) и три пространственно-временных угла (углы между временной и пространственными осями системы отсчета), что позволило ввести в теорию физического вакуума угловую метрику, определяющую квадрат бесконечно малого поворота четырехмерной системы отсчета (26, ч.
Уравнения физического вакуума удовлетворяют принципу всеобщей относительности, разработанному Шиповым, - все физические поли, входящие в уравнение вакуума, имеют относительный характер; пространство событий теории вакуума имеет спинорную природу; в основном состоянии Абсолютный вакуум имеет нулевые средние значения момента, импульса и других физических характеристик.
Найденные решения уравнений Шипова описывают искривленное и закрученное пространство-время, интерпретируемое как вакуумные возбуждения, находящиеся в виртуальном состоянии.
Чрезвычайно важным является то, что уравнения вакуума и принцип всеобщей относительности после соответствующих упрощений приводят к уравнениям и принципам квантовой теории.
Шипову удалось разрешить кризис в теоретической физике, получив ответы на вопросы, поставленные наукой много лет назад Волновая функция в уравнениях Шредингера и Дирака представляет собой реальное физическое поле - поле инерции; детерминизм и причинность в квантовой механике существуют- хотя вероятностная трактовка динамики квантовых объектов неизбежна; частица представляет собой предельный случай чисто полевого образования, при стремлении массы (или заряда) этого образования к постоянной величине.
На основании полученных результатов делается вывод, что мечта Эйнштейна о построении полной детерминированной квантовой теории путем обобщения уравнений общей теории относительности нашла свое воплощение в теории физического вакуума (80, с- 1).
52):
o построение эйнштейновской ЕТП как теории физического вакуума;
o соответствие уравнений физического вакуума всем фундаментальным уравнениям современной физики;
o построение детерминированной квантовой теории, удовлетворяющей требованиям Эйнштейна;
o открытие новых типов фундаментальных взаимодействий.
основанных на точном решении уравнений физического вакуума;
o теоретическое описание торсионного взаимодействия;
o принципиальная возможность создания движителя нового типа, использующего поля и силы инерции;
o создание излучателей и приемников монопольного электромагнитного излучения;
o создание приборов, использующих новые типы фундаментальных взаимодействий (например, торсионных) и многое другое,
Итак, российскому ученому Г.
Уравнения торсионного поля существенно нелинейны, поэтому торсионные поля могут обладать сложной внутренней структурой, что позволяет им быть носителями значительных объемов информации (121, с.
Дети с ярко выраженным косоглазием и близорукостью рождаются у пары, где один из родителей хочет девочку, а другой - мальчика" (108),
Все вышесказанное убедительно подтверждает: наши мысли и чувства - это торсионы, поскольку материя мыслей и чувств есть элемент торсионных полей, "Уравнения, описывающие мысль, нелинейны.
На рисунке видно, что для внешнего наблюдателя время движения фотона вдоль движущейся платформы туда и обратно составит:Преобразуем уравнение:Выражение второй дроби выглядит как квадрат некоторой величины.
Из уравнений (3) и (4) явно следует предельность скорости света «с» - никакая ИСО не может двигаться со скоростью v > c, поскольку в этом случае подкоренное выражение становится отрицательным.
Также в рассмотренной методике вывода приведённых уравнений просматривается принцип относительности: все выкладки мы могли вести, поменяв рассматриваемые ИСО местами, и получить точно такой же результат.
Следовательно, чтобы вычислить их длины в подвижной системе K`, мы должны воспользоваться полученным выше соотношением (3) для отрезков:соответственно, второй отрезок:Подставляем эти величины в исходное уравнение и получаем:Это уравнение показывает, какую координату в системе K` будут иметь неподвижные часы, имеющие координату x в неподвижной системе К через время t движения со скоростью v.
Преобразуем уравнение (4) следующим образом:В последнем выражении составного равенства произведём очевидную замену vt = x: (5)Таким образом, по прошествии времени t движущиеся со скоростью v часы удалятся на расстояние x и будут показывать время t`, и мы получаем все классические уравнения преобразований Лоренца (два последних добавляем из очевидных соображений - движения только по оси X): Последнее и самое загадочное из трёх известных основных следствий преобразований Лоренца - относительность одновременности выведем традиционным способом.
Это расхождение во времени тем больше, чем далее отстоят друг от друга с точки зрения системы K места, где они произошли:Итак, получив уравнения, в точности совпадающие с уравнениями преобразований Лоренца в СТО, мы показали, что преобразования Лоренца и основные следствия из них можно вывести, используя единственное предположение: скорость света «c» всегда одна и та же, независимо от того, движется ИСО или покоится.
Запишем результирующие уравнения преобразований времени и координаты между двумя инерциальными системами отсчета в следующем виде: x` = f(x, t, v), t` = g(x, t, v) (6)Задачу будем рассматривать как чисто математическую, идеализированную.
Подставляем x`=0 и x=vt в первое уравнение и получаем:откуда находим: (8)Теперь подставляем x=0 и x`=vt в оба уравнения и получаем:после упрощения:и затем после подстановки из второго уравнения в первое и учетом (8) получаем:Вставляем полученные соотношения в исходные уравнения (7):Введём обозначения (подстановки):Введённые параметры (подстановки) являются функциями скорости, но в дальнейшем для краткости мы будем записывать их без признака функциональности – без скобок с аргументом v.
Пометим координату x и время t цифровыми индексами, соответствующими номерам систем, к которым они относятся, и запишем преобразования для каждой из них:Подставим x3 и t3 из второй системы уравнений в третью:Раскроем круглые скобки:Вынесем за скобки общие множители:и сгруппируем общие члены:Полученные уравнения должны иметь (и имеют) такой же вид, что и уравнения системы (9).
Это значит, что, как и в системе уравнений (9) в этой системе коэффициенты при первых слагаемых в уравнениях - один и тот же коэффициент:После сокращения и элементарных преобразований получаем:Из этого равенства следует, что следующие отношения имеют одно и то же значение для всех систем отсчёта, независимо от скорости их движения: (10)Это отношение мы обозначили квадратом величины (константы) «c» - по первой букве слова «const».
Относительная скорость при этом меняет свой знак:Подставим в это уравнение значения штрихованных величин из исходной системы (9):и окончательно: (11)Из соотношений (10) находим:Подставляем это значение в (11) и получаем:В результате преобразований получаем: (12)Функция γ(v) является четной.
Следовательно, первое уравнение системы (9) будет иметь вид:Сравнивая эти уравнение, получаем:Раскрываем скобки:и получаем признак четности функции: (13)Подставляем полученное значение (13) в (12) и находим:Теперь находим значение функции гамма:и подставляем его в уравнения (9): ; (14)Имея два этих уравнения, можно легко вывести все остальные следствия преобразований Лоренца, как это было показано в предыдущем разделе.
Анализ принципов СТО Итак, мы вывели явный вид уравнений (6) преобразования между двумя инерциальными системами отсчёта и получили уравнения Лоренца (14), в которые мы были вынуждены ввести некую константу с, значение которой нам, строго говоря, неизвестно.
В СТО Эйнштейна есть раздел, в котором он анализирует уравнения Максвелла и приходит к выводу, что они инвариантны относительно преобразований Лоренца.
Тогда возникает вопрос: если принцип относительности соблюдается в виде инвариантности уравнений Максвелла по отношению к преобразованиям Лоренца, то как они могут быть одновременно инвариантны относительно других псевдо-Лоренцевых преобразований, в которых присутствует не скорость света, а какая-то другая константа.
В этом случае возможны только два вывода: либо уравнения Лоренца-Эйнштейна не соответствуют принципу относительности, либо найденная светоподобная константа – это скорость света.
Никакая система отсчёта не может двигаться с этой или большей скоростью, поскольку в знаменателе появляется ноль или квадратный корень из отрицательного числа:Но точно такое же уравнение появляется и при выводе преобразований из принципа относительности, но уже не со скоростью света, а с другой аналогичной константой.
Вывод уравнений Лоренца на основании одного только постулата о постоянстве скорости света также противоречит уравнениям, выведенным на основании принципа относительности «второго рода» (с трактовками Фейгенбауми и др.
Действительно, принцип относительности как принцип равноправия всех инерциальных систем отсчёта провозглашает, что во всех этих системах существует одна и та же максимальная скорость, один и тот же инвариант скорости, один и тот же вид уравнений Максвелла, а при выводе уравнений Лоренца неизбежно «порождает» одну и ту же константу скорости для всех систем, причём эта константа неизбежно проявляется как скорость света.
Это - и только это - уравнение состояния совместимо с
определением вакуума как формы энергии с всюду и всегда постоянной плотностью,
независимо от системы отсчета.
Тогда закон обратных квадратов дает уравнение движения для частицы на
поверхности шара:
(6)
Здесь - радиус шара, - его полная гравитирующая масса:
(7)
Воспользуемся этим приемом чтобы показать роль вакуума в динамике
космологического расширения.
Если в полную гравитирующую плотность шара включить плотности всех четырех названных выше
компонент космической среды, то получим
(8)
где гравитационный эффект давления (который отсутствует в ньютоновском
тяготении, но должет быть, конечно, принят во внимание в нашем рассмотрении)
учтен как для вакуума, так и для излучения с его уравнением состояния.
В этом случае сила и ускорение в уравнении движения (6) для шара
равны нулю, и для неизменности его радиуса остается только потребовать, чтобы и
скорость частиц шара равнялась нулю.
При адиабатическом сжатии или расширении однородного шара связь между
изменением плотности и давлением описывается уравнением
(9)
для любой компоненты среды, если между компонентами нет обмена энергией.
Из уравнения (9) легко найти,
как плотности вещества и излучения изменяются со временем при изменении его
радиуса в ходе расширения или сжатия шара:
(10)
Здесь три величины - произвольные постоянные интегрирования.
Если подставить соотношения (8,10) в уравнение
движения (6),
то последнее можно один раз проинтегрировать по времени:
(11)
Здесь - произвольная константа интегрирования; точнее,
это величина не зависит от времени, но является функцией полной массы шара.
Кинетическая
энергия стоит в левой части уравнения (12), а
потенциальная энергия (обе эти энергии тоже относятся к единичной массе) - это
взятая с противоположным знаком сумма первых четырех слагаемых в правой части
этого уравнения.
Замечательно, что во фридмановский космологии динамика расширяющейся
Вселенной дается уравнением точно того же вида, что и ньютоновский закон
сохранения энергии (11):
(13)
В теории Фридмана - масштабный фактор, пропорционально которому
изменяются все расстояния в расширяющемся мире; для моделей ненулевой
пространственной кривизны эта величина служит и радиусом кривизны трехмерного
пространства.
Знак кривизны в (13), (для закрытой, плоской и открытой моделей,
соответственно), противоположен знаку полной энергии в ньютоновском аналоге фридмановского уравнения.
Точное подобие релятивистского и ньютоновского уравнений не простая
случайность; это очевидное проявление в данном случае одного из основных
принципов теоретической физики, принципа соответствия, согласно которому новая
более общая теория включает в себя в качестве предельного или частного случая
старую теорию в области ее применимости.
Можно считать, что ньютоновские
уравнения для однородного шара применяются при условии, что скорость расширения
шара гораздо меньше скорости света, а гравитационный
потенциал на поверхности шара гораздо меньше скорости света в квадрате.
Но в однородном мире все без исключения частицы равноправны, и
значит, точно такое же уравнение движения можно записать и в системе отсчета,
связанной с частицей, которая находится, например, на поверхности того же шара.
На ранних этапах, при малых или (формально при ) слагаемое в правой части обоих уравнений,
которое описывает вакуум, должно быть меньше четырех других слагаемых ( ).
При больших временах роль вакуума становится существенной, и, как следует из
уравнений (11,13), рано или
поздно наступает этап динамического преобладания вакуума, когда вакуумное
слагаемое в правой части этих уравнений оказывается много больше трех других
слагаемых справа, описывающих не-вакуумные компоненты космической среды.
В этом
предельном случае больших времен (формально при ) тяготением не-вакуумных компонент можно
пренебречь, и решение уравнений (11,13) имеет вид:
(14)
для , соответственно.
Остается теперь записать решение фридмановского космологического уравнения
(13) для
всех времен:
(16)
Здесь принят знак плюс перед корнем квадратным, так как рассматривается
расширение, а не сжатие космической среды; в качестве начала отсчета времени
принят момент, когда.
Интересно, что в обоих предельных случаях, при и при , динамика космологического расширения не зависит
от знака полной энергии или знака пространственной кривизны , как это видно из уравнения (16).
Теория Фридмана с динамикой, даваемой уравнением (16), и
геометрией, даваемой интервалом (17), вместе с
наблюдательными сведениями о космических плотностях (2-5) и постоянной
Хаббла - это и есть стандартная космологическая модель наших дней.
К
сокращению плотности вакуума с планковского значения до реального могло бы
привести существование скалярного поля, имитирующего вакуумное уравнение
состояния с отрицательной энергией [62].
Реально аннигиляция могла прекратиться уже в весьма раннюю эпоху, когда
температура космической среды упала до значения (пользуемся, как и выше, системой единиц, в которой ), а характерное время аннигиляции (уравнение
(24) при
) оказалось больше возраста мира, т.
Тогда (28) принимает
вид:
(29)
Учтем также, что в ту эпоху; это позволяет записать:
(30)
В уравнениях (28,29) - радиус кривизны (или нормированный как в (14) масштабный
фактор) в момент ; - соответствующее красное смещение.
Кинетика, описываемая этими феноменологическим уравнениями, должна быть
дополнена физикой, ответственной за взаимодействие частиц космической среды в
данную эпоху.
Согласно общей формуле (12), интеграл
для вакуума с плотностью (27) есть
(31)
Рассуждая в том же направлении, нужно предположить, что красное смещение в
данную эпоху должно выражаться в таком случае простой комбинацией тех же двух
фундаментальных констант:
(32)
Кроме того, действуя последовательно, нужно считать, что в задаче вообще
должны иметься всего только две фундаментальные константы и , так что в уравнениях кинетической модели нужно
отождествить массу частицы с.
У него возникла идея заменить струну из нити заданной плотности конечным
числом материальных точек, расположенных на невесомой нити, и изучить колебания
этой системы; затем он перешёл к пределу, устремив число точек к бесконечности и
сделав, таким образом, струну однородной, откуда и получил уравнение
колеблющейся струны.
Этот метод оставался более или менее в тени в течение всего
XIX века и вышел на авансцену лишь в конце его в известных работах
Вольтерра и Фредгольма об интегральных уравнениях.
В уравнении
1
f (x) +
∫
K(x, y) f ( y) dy = g(x)
(0≤x≤1)
0
придают x значения n/N (0≤n≤N) и заменяют интеграл «римановой
суммой»
N–1
1
N
∑
K
(
n
N
,
m
N
)
f
(
m
N
).
m=0
Полагая
fn = f (n/N),
gn = g(n/N),
Knm = K(n/N,m/N),
получают таким образом систему N линейных уравнений относительно
fn:
N–1
fn +
∑
Knm fm =
gn (0≤n≤N–1).
Она простирается от теории чисел к уравнениям в частных
производных и охватывает алгебраическую топологию, дифференциальную топологию,
теорию линейных групп и т.
В чрезвычайно расширившейся
области современной математики мы постоянно сталкиваемся с понятиями
математического анализа, в частности с теорией дифференциальных уравнений (как в
обычных, так и в частных производных), — этим важнейшим инструментом
исследования скорости изменения различных величин.
После того как эти законы
были сформулированы для некоторых простых частных случаев, Джеймс Клерк Максвелл
открыл весьма общий количественный закон, связывающий магнитные и электрические
силы, а также скорости их изменения системой дифференциальных уравнений.
Раскрытие волновой
природы электромагнитных явлений на основе уравнений Максвелла вдохновило
Генриха Герца на проведение эксперимента по распространению радиоволн, что, в
свою очередь, привело к появлению отрасли техники совершенно нового типа и
открыло перед исследователями широкие горизонты.
Известно,
что в трёхмерном пространстве с координатами x1,
x2, x3 плоскости описываются линейными
уравнениями, а поверхности второго порядка (сфера, эллипсоид и пр.
Например, уравнение, записанное в общем виде как
λ1x12+ λ2x22+ λ3x32= 1, описывает поверхность второго порядка с
центром в начале координат и тремя главными осями, направленными по осям
координат.
Как и ранее, плоскости в таком пространстве снова
описываются линейными уравнениями, а поверхности второго порядка — уравнениями
второго порядка (квадратичными формами) относительно переменных
x1, x2,.
Теория квадратных уравнений была известна
ещё в древнем Вавилоне, а решение уравнений третьей и четвёртой степеней в общем
виде было получено математиками эпохи Возрождения Джироламо Кардано, Никколо
Тарталья и Людовико Феррари.
зависят от всей совокупности этих корней так, что порядок их
нумерации безразличен; например, если кубическое уравнение
x3 + ax2 + bx +
c = 0 имеет своими корнями r1,
r2, r3, то его коэффициенты могут быть
записаны как
–a = r1 + r2 +
r3, b =
r1 r2 +
r2 r3 +
r3 r1, –c =
r1 r2 r3.
Многолетняя работа над такими уравнениями позволила установить, что ключ к
решению задачи выражения корней уравнения через его коэффициенты лежит не только
в изучении таких симметрических выражений, но также в исследовании частично
симметрических выражений и анализе симметрии, которыми они обладают.
Даламбер
Не может быть языка более всеобъемлющего, чем аналитические уравнения,
и более простого, лишённого ошибок и неясностей, т.
Она складывалась исторически, и
существенное влияние на неё оказывали два фактора: уровень развития
математического аппарата и степень зрелости знаний об изучаемом объекте,
возможность описать его наиболее существенные черты и свойства на языке
математических понятий и уравнений, или, как теперь принято говорить,
возможность построить «математическую модель» изучаемого объекта.
) Ньютон также разработал математический
аппарат, позволяющий количественно описать, как реагируют тела на действие сил,
подобных гравитации, и решил получившиеся уравнения.
С этой точки зрения световые волны распространяются в эфире
так же, как звуковые волны в воздухе, и их скорость, выводимая из уравнений
Максвелла, должна измеряться относительно эфира.
Конечно, эта простая идея объяснила —
без привлечения эфира или иной привилегированной системы отсчета — смысл
появления скорости света в уравнениях Максвелла, однако из нее также вытекал
ряд удивительных следствий, которые зачастую противоречили интуиции.
Другое известное следствие теории относительности —
эквивалентность массы и энергии, выраженная знаменитым уравнением Эйнштейна Е
= тс 2 (где Е— энергия, т — масса тела, с —
скорость света).
внес специальную поправку в общую теорию относительности, искусственно
добавив в уравнения особый член, получивший название космологической
постоянной, который обеспечивал статичность Вселенной.
Но при
сделанных им предположениях уравнения Эйнштейна допускают три класса решений,
то есть существует три разных типа фридмановских моделей и три различных сценария
развития Вселенной.
Фактически все решения уравнений Эйнштейна, полученные для того
количества материи, которое мы наблюдаем во Вселенной, имеют одну очень важную
общую характеристику: некогда в прошлом (приблизительно 13,7 миллиарда лет
назад) расстояние между соседними галактиками должно было равняться нулю.
Уравнения, лежащие в основе физических теорий, могут давать весьма
разнообразные решения, выбор между которыми основывается на начальных или
граничных условиях.
(На практике, однако, мы
не можем решить уравнения ни для какого атома, кроме самого простого, атома
водорода, в котором только один электрон, и пользуемся приближениями и
компьютерами для анализа более сложных атомов и молекул.
Но если
она имела начало, то согласно классической общей теории относительности, чтобы
узнать, какое именно решение уравнений Эйнштейна описывает нашу Вселенную, нам
нужно знать ее начальное состояние, то есть точное состояние, с которого
началось ее развитие.
, когда Курт Гедель нашел
новое решение уравнений Эйнштейна, то есть новую структуру пространства‑времени,
допустимую с точки зрения общей теории относительности.
Однако за минувшие годы ученые, анализирующие уравнения Эйнштейна, нашли другие
структуры пространства‑времени, приемлемые с точки зрения общей теории
относительности и допускающие путешествие в прошлое.
Он предполагает, что, даже если пространство‑время деформировано
таким образом, что можно переместиться в прошлое, происходящее в пространстве‑времени
должно быть согласованным решением физических уравнений.
Тогда
полагали, что подобное уравнение будет выведено и для протона, единственной
известной в то время другой частицы, и это станет концом теоретической физики.
И
поскольку существует бесконечное число пар виртуальных частиц, они фактически
должны были бы иметь бесконечную энергию, а значит — в соответствии с известным
уравнением Эйнштейна Е = тс 2 , — и бесконечную
массу.
Попытки
применить перенормировку для устранения квантовых бесконечностей из общей
теории относительности пока позволили привести к желаемому виду только две
величины — силу тяготения и космологическую постоянную, которую Эйнштейн ввел в
свои уравнения, будучи уверен, что Вселенная не расширяется (см.
Но возможно, реальная причина
заключалась в ином, и тут мы снова сошлемся на его слова: «Уравнения для меня
важнее, потому что политика для настоящего, а уравнения для вечности».
Опуская промежуточные выкладки, приведу заключительное уравнение, с помощью которого и выводится это решение:«из которой ясно видно, что темп хода часов замедляется в гравитационном поле с потенциалом φ (то же справедливо и для эквивалентной ускоренно движущейся СO, каковой в нашей задаче является космический корабль с «близнецом» «В»).
Изменение этого темпа хода часов и даёт уравнение общей теории относительности [3]: (1)где:dτ, dt - интервалы времени, прошедшие по часам, соответственно, на «падающем» (Земля) и на гравитирующем теле (космическом корабле);x - расстояние между телами (между близнецами); понятно, что она зависит от времени, поскольку «падение» земного брата в «гравитационном» поле брата-космонавта происходит с ускорением;g(t) - ускорение свободного падения на гравитирующем теле;u - скорость падения или относительная скорость близнецов; понятно, что она зависит от времени, поскольку «падение» земного брата в «гравитационном» поле брата-космонавта происходит с ускорением;χ - так называемый, гравитационный потенциал, создаваемый «гравитационным» полем корабля при его развороте в точке пространства, в которой находится земной брат; также очевидно, что значение потенциала зависит от расстояния между близнецами и, соответственно, величины ускорения корабля в этой точке.
Уравнение движения корабля с точки зрения землянина в этом случае имеет вид: (2)где:где:vB – текущая скорость корабля;v0 – начальная скорость корабля, равная 0,866;а – искомое ускорение торможения корабля.
В соответствии с приведённым уравнением движения можно найти удаление, путь, пройденный кораблем в системе координат Земли: (4)Подставляя в него полученное значение ускорения разворота (3) и начальную скорость корабля, получаем уравнение его движения в системе Земли:После подстановки заданных условиями задачи числовых значений, получаем уравнение: (5)Именно это уравнение (5) было использовано для построения мировой линии корабля как функции расстояния от времени полёта на приведённой на рис.
Нам также известно, что время на корабле течёт медленнее, чем на Земле, поэтому мы можем по уравнению движения корабля вычислить темп хода времени на нём и, соответственно, время в пути по часам корабля:Подставляя в уравнение исходные данные, находим интегрированием время в пути по часам корабля:После подстановки числовых значений заданных условиями задачи, получаем уравнение для показаний часов на корабле с точки зрения Земли: (6)Показания часов корабля в соответствии с функцией (6) изображены на диаграмме рис.
Это свободное падение Земли описывается уравнением (1): (1)В рассматриваемом варианте мы приняли, что скорость света равна единице, а величина ускорения - постоянная:Это ускорение вычисляем по формуле (7), а «высоту», с которой «падает» Земля в эквивалентном гравитационном поле корабля, находим по формуле (4).
После упрощения получаем:Видим повторяющееся отношение, поэтому делаем очевидную упрощающую подстановку:Это уравнение и было использовано для вычисления гравитационного красного смещения при замедлении темпа хода часов Земли с точки зрения космического корабля.
Тогда уравнение примет вид: (8)Беглый взгляд позволяет предположить, что в процессе математических преобразований уравнения корень под корнем наверняка приведёт к длинному и «заковыристому» выражению.
Из уравнений общей теории относительности известно соотношение для постоянной Хаббла H, которое является релятивистским выражением уравнения закона Хаббла: (1)где а – масштабный фактор.
Из соотношения (1) следует, что уравнение для масштабного фактора имеет вид: (2)Действительно, лишь в этом случае:Подставим в уравнение (2) известные значения величин: (3)и вычислим: откуда находим:и подставляем в уравнение (3): (4)Это уравнение соответствует случаю хаббловского движения сверхсветового «края» Вселенной от Большого Взрыва до наших дней и его положению в наши дни на расстоянии 14,7 млрд.
Действительно, подставив в уравнение (4) возраст Вселенной, получим:Теперь мы можем написать уравнение движения «края», начиная с этого момента: Легко убедиться, что это верное уравнение.
При этом они пройдут путь:Очевидно, что за это же время Земля по отношению к краю движется по такому же закону Хаббла и удалится от края за это время на это расстояние Следовательно:Поскольку с=1 в принятой системе единиц (индекс у времени отбрасываем): Можно сказать, что это уравнение общего вида, описывающее движение области Вселенной, удалённой в настоящее время от Земли на расстояние 14,7 млрд.
1 Максимально доступное для наблюдения расстояние во Вселенной Предельное уравнение движения «края Вселенной» может иметь вид: Это максимально удалённый «край» Вселенной, фотоны с которого смогут достичь Земли.
За время жизни Вселенной фотоны из этой области достигнут Земли, пройдя расстояние: Уравнение приведено с такими чрезмерно точными параметрами исключительно для наглядности из условного предположения, что и использованные постоянная Хаббла и возраст Вселенной имеют такую же точность.
Например, для области с уравнением:итерационное решение сходится уже через 30 шагов, поэтому можно привести его полностью:Решение означает, что если в момент излучения звезда находилась на расстоянии 3,0 млрд.
лет, поэтому: Также по заданному условию свет достигнет Земли, следовательно, уравнение итерации должно сойтись и дать решение: Откуда находим удалённость источника от Земли в момент излучения: Полученное решение означает, что если звезда в момент излучения или фотоны реликтового излучения, пролетавшие мимо звезды, находились от Земли на расстоянии в 5,13 млрд.
Уравнение движения соответствующей области – источника реликтового излучения, из которой оно придёт через это время, принимает вид: Вычисляем коэффициент r0:И ставим его в уравнение движения для искомой области: Уравнение движения отражает изменение масштабного фактора в общей теории относительности.
Представление решения этих уравнений как движения
некоторой точки в пространстве с размерностью, равной числу переменных называют
фазовыми траекториями системы.
В качестве примера такой системы можно назвать систему
Лоренца, полученную из уравнений гидродинамики в задаче о термоконвекции
подогреваемого снизу слоя жидкости.
Здесь надо
оговорить, что в специальном смысле этого слова хаос означает нерегулярное
движение, описываемое детерминистическими
уравнениями.
При рассмотрении уравнений, управляющих поведением
этих переменных, выясняется следующая их важная особенность: они не инвариантны
относительно операции обращения времени в отличие от уравнений
и .
Таким образом, имеем
(1)Очевидно,
при обращении времени (t’=-t) и введении обозначений , для концентраций в
зависимости от времени уравнение (1) принимает вид:
Теперь это уравнение описывает
процесс, в котором вещество типа А не расходуется, а производится.
Количественное описание этих явлений, блестяще согласующееся с
опытными данными, дается следующими уравнениями, называемыми соответственно
уравнением Фика и уравнением Фурье:
(2)
(3)где
с—концентрация некоторого вещества, растворенного в жидкости, Т—
температура, D — массовый коэффициент диффузии н х—коэффициент
температуропроводности.
При обращении времени мы опять получаем совершенно
другие законы:
Согласно этим уравнениям, начальное
возмущение температуры или концентрации будет не затухать, а
возрастать.
Эволюция этих
переменных во времени будет описываться системой уравнений:
Здесь функции Fi могут сколь угодно
сложным образом зависеть от переменных Х и их пространственных
производных и явным образом—от пространственных координат r и времени
t.
Примеры функций скоростей первого
класса дают правые части уравнений (1)—(3), примером же второго класса является
вклад вязкости в уравнение баланса импульса жидкости, участвующей в конвективном
движении.
Представление диссипативной системы
в фазовом пространстве, а — система, описываемая одной переменной в соответствии с уравнением
(1), б—система с
двумя переменными, уравнение (5).
Менее тривиальным примером является химическая реакция, описываемая
следующей кинетической схемой:
(4)Соответствующие кинетические уравнения имеют вид
(5)
Фазовые траектории для такой
системы показаны на рис.
Например, классические уравнения преобразований Лоренца примут следующий вид:Понятно, что в этом случае абсолютное значение скорости для движущихся объектов будет не больше единицы.
Во всех уравнениях Лоренца инварианту отводится строго определенное место, отличающееся от другой величины – скорости движущейся инерциальной системы отсчета.
То есть, можно определенно заявить: в уравнениях Лоренца присутствуют две скорости – инвариантная скорость света и скорость движущейся системы отсчета:Как мы видели, скорость тахиона в принципе не может быть инвариантом, пока им является скорость света.
Это прямо указывается подстановкой скорости тахиона в то место уравнений Лоренца, куда ставится скорость системы отсчета, которая по определению содержит часы и оси координат.
При анализе с этой позиции свойств тахиона фактически используется двойной подход, двойные стандарты: уравнения для энергии и импульса рассматриваются как данность, но уравнения длин и времени обходятся в основном молчанием.
Из приведённого выше релятивистского уравнения энергии делается вывод о том, что энергия тахиона падает при увеличении его скорости, а масса его приобретает мнимое значение.
Если в неподвижной, лабораторной системе отсчета, в которой движется тахион, прошло время t, то для тахиона по уравнениям Лоренца прошло время t’… где.
Следовательно, координата галактики в нашей системе координат изменяется по уравнению:х = r0 + vtСкорость v в этом уравнении не реальная (пекулярная) скорость, а, как сказано выше, скорость фактического увеличения расстояния до галактики за счёт расширения пространства.
Или другими словами, за время t0 расстояние r0 возросло в Р раз:Соответственно, по истечении следующего такого же интервала времени t0 это расстояние увеличится ещё больше и составит:По истечении произвольного числа N интервалов времени t0 расстояние до галактики увеличится до значения:Число интервалов N равно отношению прошедшего времени к длине этого интервала, поэтому:Полученное многоэтажное уравнение можно упростить, если взять в качестве эталонного интервала времени единичный интервал, например, 1 секунду.
Приравняем значения скорости галактики в этих уравнениях:После сокращения получаем уравнение:Используем справочное значение постоянной Хаббла в безразмерном виде (умножив её на 1 секунду): H=2,3·10−18, и подставим его в полученное уравнение:Для оценки значения логарифма воспользуемся его разложением в ряд Тейлора:Как видим, уже начиная со второго члена ряда значение логарифма мало отличается от его переменной части, то есть для малых значений х с очень высокой точностью мы можем использовать подстановку:(7)Преобразуем уравнение с учетом подстановки:Второй сомножитель в правой части уравнения мало отличается от единицы и им можно пренебречь.
В результате мы приходим с достаточной точностью к тождеству:Это значит, что сделанные нами допущения, корректны и полученные выше уравнения верно описывают явление расширения пространства.
Полученные уравнения расстояния (5), скорости (6) и ускорения (8) при удалении от нас галактики являются возрастающими функциями времени.
Это становится особенно хорошо заметно, если умножить обе части уравнения на с2 и преобразовать:Вот мы и получили какую-то загадочную энергию чего-то, расталкивающего галактики:(9)Это уравнение какой-то энергии, видимо, и описывает расширение пространства.
Остальные страницы в количестве 383 со вхождениями слова «уравнение» смотрите здесь.
Дата публикации: 2015-12-26
Оценить статью можно после того, как в обсуждении будет хотя бы одно сообщение.
Об авторе:Статьи на сайте Форнит активно защищаются от безусловной веры в их истинность, и авторитетность автора не должна оказывать влияния на понимание сути. Если читатель затрудняется сам с определением корректности приводимых доводов, то у него есть возможность задать вопросы в обсуждении или в теме на форуме. Про авторство статей >>.