LUCA
Sr. PosterСообщений: 399
| 1. « Сообщение №21200, от Январь 14, 2011, 08:26:54 PM» |
Р. Пенроуз в своей аргументации неформализуемости разумной деятельности использовал способнось разума в метаязыковых рассуждениях обосновывать утверждения, которые бы выходили за рамки формальной системы.
Я хотел бы попытаться представить ещё два независимых довода, которые не используют понятие "формального вывода", но используют понятия "определить" и "выразить".
Как известно, формальные системы ограничены не только перечислимым множеством теорем, которое не охватывает неперечислимое множество истинных суждений (истинность их определяется не в формальном языке, а в метаязыке, то есть языке, в котором строят формальный язык).
Формальные системы ограничены и свойством выразимости свойств.
Как выразить понятие, что элементы какого-то арифметического множества обладают свойством в формальном языке арифметики? Достаточно сформулировать формулу, зависящую от одного параметра. Все значения параметра х, удовретворяющие этой формуле, будут составлять некое множество объектов, обладающим данное свойство.
Важно лишь, чтобы с помощью свойства мы задавали лишь те элементы х, что уже лежат в каком-то другом множестве, в данном случае в множестве натуральных чисел. В этом случае, давая определение, мы не придём к противоречию.
Итак, аргументы.
Аргумент 1. Нетрудно доказать, что в любой формальной системе, содержащей арифметику, есть бесконечное множество невыразимых в ней свойств. (Свойство отождествляется с множеством объектов, которые должны удовлетворять данному свойству). Объединим множество всех невыразимых свойств в одно множество. По принципу трансфинитной индукции это множество мы можем вполне упорядочить. Значит, мы можем назвать наименьший элемент этого множества. Значит, мы выразили этот наименьший элемент (то есть свойство) однозначно.
Условие формализации вносит чёткую фиксацию множества невыразимых свойств, подобно тому, как условие формализации вносит чёткую фиксацию множества доказуемых выражений. Так же как и в рассуждениях Пенроуза мы выходим за рамки множества выразимых свойств. То есть рассуждения похожи по форме.
Возможный недостаток данного аргумента.
Правомерно ли применять принцип трансфинитной индукции? Контраргумент. Никто не доказал, что в каких-то условиях его применение приводит к противоречию.
Этот парадокс (а его можно сформулировать и как парадокс) я сформулировал довольно давно, просто было бы интересно услышать доводы за и против.
Аргумент 2. Он основан на использовании антиномии Ришара.
В формальной системе множество определений чисел является строго фиксированным. Правила построения синтаксиса формального языка ПОЗВОЛЯЮТ составлять множества различных определений натуральных чисел. Неформально примеры: два в квадрате, 8 поделить на два и т.д. определяют одно и то же число. Но эти определения различаются количеством символов формального языка, которые используются в определениях. В формальном языке символы, как и аксиомы, фиксированы.
Поэтому, мы можем говорить о множестве всех натуральных чисел, которые могут быть определены НЕ МЕНЕЕ, ЧЕМ N КОЛИЧЕСТВОМ СИМВОЛОВ.
И мы можем в этом множестве определить число, задав количество символов меньшее, чем N, сделав N достаточно большим.
Неформально - "наименьшее число из множества всех тех натуральных чисел, которые нельзя определить менее, чем 30 словами" Количество слов для определения этого множетсва я использовал, меньше 30, но это число определил однозначно.
Примечание. Принцип трансфинитной индукции доказывается из аксиомы выбора.
Он гласит, что любое множество можно линейно упорядочить так, что каждое его подмножество будет иметь наименьший элемент.
Спрашивайте, если что непонятно.
| « Последнее редактирование: 2011-01-15 21:57:24 LUCA » |