>>в школах и учебниках почему-то это не применяется

В школьных учебниках отсутствует методика преподавания материалов. Они сделаны в виде справочников, лишь намекая на те моменты, которые нужно усвоить. Поэтому в школе учителя объясняют материал, а дома школьник по учебнику лишь вспоминает эти объяснения. А т.к. учителя толком не понимают, как нужно объяснять, чтобы школьники понимали и применяли, то в целом получается профанация. Есть книжки типа "Занимательная ....", но и там, дается лишь книжное, поверхностное описание. Есть популярные и занимательные видеолекции, где так же все ограничивается лишь восприятием каких-то явлений, но не нет возможности на практике что-то освоить.

>>непонятно почему тогда это "беда"?

Речь шла о недостаточности учета только моделей понимания, без очень тесно связанных с этим более низкоуровневых механизмов. Беда в том, что для эффективного обучения нужно учитывать все составляющие, а не только осознаваемую небольшую их часть.

А как можно организовать освоение, скажем, физики и химии, на практике - так, чтобы действительно понять и применять? Сама была бы не прочь восполнить школьные пробелы в этих областях.

ответ

Это уже как-то соответствует моему опыту. Попробую продолжить понимать контекст, образ и модели понимания в этом направлении. Пример. Давал 6 летним задачу: среди 15 монет одна фальшивая, которая отличается от них по весу. Двумя взвешиваниями на рычажных весах определить, легче они или тяжелее. Объяснил, что такое рычажные весы – не помогает. Принес палочку и показал рычажные весы – не помогает. Решили только после того, как научились уравновешивать палочку на пальце.
Пример показывает две вещи – необходимость включения в модель понимания низкоуровневых механизмов у детей, что и утверждается в цитате, и у меня – для достижения взаимопонимания с детьми. Последнее для меня, как преподавателя, очень важно- это показывает, что я должен "вытащить" из своей модели понимания, чтобы объяснить.
Верно?

ответ

«The Number Sense», Стр. 206.  «Г-н М не испытывал никакого затруднения преобразовывая туда и обратно эти два формата (время в формате часы плюс p.m./a.m. и в 24-часовом формате), хотя это формально эквивалентно сложению и вычитанию 12. Как и ожидалось, он испытывал полную неудачу, когда я представил ему численно эквивалентную задачу, как 8+12 в абстрактном контексте арифметического теста.
Это различие иллюстрирует, насколько бесполезно было бы искать область мозга, ответственную за значение числа. Числа имеют множественное значение. Некоторые «случайные» числа, такие как 3781, относятся только к одному понятию, чистому количеству, которое они передают. Многие другие, особенно когда они маленькие, вызывают множество других идей: даты (1492), часы (9:45 вечера), временные константы (365), коммерческие бренды (747), почтовые индексы (90210, 10025) , номера телефонов (911), физические величины (110/220), математические константы (3.14 .., 2.718 ..), фильмы (2001), игры (21) и даже законы о питии (21 снова!).
Inferior parietal cortex, по-видимому, кодирует только количественное значение чисел, с чем сталкивается г-н М. Отдельные области мозга должны участвовать в кодировании других значений»

У меня была ученица, которая мгновенно определяла цену товара, но со скидкой. Умножения она не понимала и просто отвергала. Другой пример. Верящий в творение человек, может стать ученым-физиком – учеба и опыты дадут ему знания, не зависящие от религии, но религиозный хлам будет засорять его мозги и мешать. Так, хотя пифагорейцы много знали о целых числах, они полагали, что вселенная построена на них. Поэтому, когда было доказано, что квадратный корень из 2 – не целое число, им пришлось долго освобождаться от их мифов.
Отсюда возникает вопрос - можно ли обучать математике, на основе уже наработанных у ученика навыков, непосредственно относящихся к математике, а не в контекстах, использующих математику? Например, формировать навык умножения. Можно делать это, как обычно – умножать яблоки на количество детей, килограммы товара на цену килограмма и т.п. Но при этом, по-моему, образуется много хлама.
Вот другое предложение. Я достаточное число раз убедился на опыте в следующем: бросаются 2 кости. Даже 6 летние дети быстро и точно отвечают на вопрос "сколько раз меньшее число входит в большее?" По моим наблюдениям, они суммируют меньшее число и сравнивают его с большим. причем, суммирование выполняется очень быстро и почти неосознаваемо. Что если, на основе этого формировать навык умножения? Например, так.
1. вопрос "сколько раз меньшее число входит в большее?" дополняется "сколько раз меньшее число входит в большее и есть ли остаток?"
2. затем, задается вопрос, "сколько раз меньшее число входит в большее?" и после ответа, пока ответ еще в памяти быстро (возможно загадочно) сообщается "если остатка нет, то большее число - это произведение меньшего на это число"
3. после достаточного числа повторений пункта 2, можно попробовать задавать вопрос на умножение чисел. при затруднениях можно напоминать пункт 2.
можно ли ожидать формирования навыка умножения таким способом?

>>это показывает, что я должен "вытащить" из своей модели понимания, чтобы объяснить ... можно ли обучать математике, на основе уже наработанных у ученика навыков, непосредственно относящихся к математике, а не в контекстах, использующих математику?

Убедиться в чем-то самому и объяснить другому - очень разные вещи потому, что очевидное для одного не всегда является таковым для другого. И если что-то очевидное дополняет уже имеющуюся модель у тебя, то у другого вообще может и не быть пока этой модели и представления об этом. И тогда придется формировать это представление, возможно, из более низкоуровневых распознавателей (пусть уже и косвенным путем потому как зоны таких распознавателей уже сформированы).

Казалось бы, естественное и простое: взять и повторить для другого свой путь понимания, оказывается часто почти невозможно. Поэтому сначала приходится исследовать понимание другого, обнаруживать недостающие звенья. И это - только начало процесса, ведь сформировать понимание - не просто сделать для кого-то очевидным, но и так заинтересовать, чтобы он сам загорелся нерешенной проблемой и наилучшим образом (исходя из особенностей своего тела, рефлексов и психики) уже сам прошел путь, с наводящими подсказками в ключевых местах и применил это в целевом своем решении.

>>что если, на основе этого формировать навык умножения?

Можно и нужно пробовать сформировать навык, но только в самом деле интересный и актуальный для человека, а не заготовки впрок там, где они не будут востребованы. Это - важный принцип и поэтому стоит прикидывать, а нужен ли такой навык (хотя бы как промежуточное звено для понимания более сложного и важного) или сегодня это - все равно как натаскивать считать на счетах. Например: "У меня была ученица, которая мгновенно определяла цену товара, но со скидкой. Умножения она не понимала и просто отвергала.".

>>Числа имеют множественное значение.

Вот!

ответ

"Хотя чистые количества могут быть обосновано связаны с Inferior Parietal Cortex, никто еще не знает, какие области мозга используют неколичественные значения чисел."

Следовательно, проблема формирования навыка перемножения чисел состоит не в рассмотрении этого в различных контекстах, а в связывании уже сформированного навыка в контексте чистых количеств, с другими контекстами. притом, что невозможно предсказать, в каких контекстах это может понадобиться человеку. распространить навык он может только сам

>>> Отсюда возникает вопрос - можно ли обучать математике, на основе уже наработанных у ученика навыков, непосредственно относящихся к математике, а не в контекстах, использующих математику?

Экстремальный случай - это Бурбаки. По методике Бурбаки обучали чистой математике в французских школах - это сильно навредило обучению. Про Бурбаки есть немного в Number Sense.

На мой взгляд, наоборот, лучше делать привязку к физическому мышлению, как это рекомендует Арнольд, Фейнман. Естественно, не всегда и не везде, а в задачах по математическому моделированию, где появляются переменные (x,y,z etc)

>>> Так, хотя пифагорейцы много знали о целых числах, они полагали, что вселенная построена на них. Поэтому, когда было доказано, что квадратный корень из 2 – не целое число, им пришлось долго освобождаться от их мифов.

Интересно, что в каком-то смысле Пифагорейцы были правы. Вселенная "построена" на числах, но в перевёрнутом виде. В первую очередь отбираются те математические теории и рассуждения, которые имеют практический смысл, а значит, в том числе физичны.

Из-за этого возникает ощущение, что законы вселенной выводимы из математики, хотя, на самом деле, верно обратное - выживают те математические приёмы, которые лучше соответствуют миру вокруг. Это создаёт пифагорейскую иллюзию математически выводимой вселенной. 

Пифагорейская иллюзия жива и здравствует. Насколько я помню, сейчас есть попытки на базе теории струн и исключительно математического аппарата вывести физические законы. На мой взгляд, в ближайшие столетия иллюзия того, что чистая математика содержит в себе законы устройства мира будет только укрепляться.

Если я правильно понял обсуждение – контексты запускают поведение. Соответственно можно осознанно создавать контексты, выделяя определенные признаки.

Например, у меня есть такая трабла – поздно ложусь спать, и утренние страдания нисколько не помогают в следующий раз лечь раньше. Я ночной слишком уверен, что я утренний более вынослив, чем оказывается по факту.

Если я решу сформировать новое поведение в контексте, например, выделяя вниманием несколько признаков (время на часах, еще что то значимое) – и просто вслед за этим не раздумывая ложиться спать. Если я правильно понял такая селекция вниманием признаков и последующее поведение закрепятся как контекст. Так как текущий контекст уже наработан на игнор позднего времени и прогнозов о тяжелом утре. И чтобы создать разновидность контекста, нужно выделить иные признаки или те же но с обновленным смыслом.

мне легче применить на практике и объяснить на примере, чем углубляться в теоретические споры. но скажу сразу - нижеизложенное не "бурбакизм", а наоборот, соответствие словам Арнольда "математики - наука экспериментальная"
1. уже достаточное количество раз я убедился, что начиная с 6-летнего возраста дети быстро и точно отвечают на вопрос "Сколько раз это число уложится в этом?". даже задавая этот вопрос на своем корявом иврите, я получаю быстрый и точный ответ. проверял это, бросая кости, чтобы было интереснее "сколько раз меньшее число содержится в большем?"
при этом ни на русском, ни на иврите дети не понимают вопрос "сколько будет это умножить на это?"
2. следующая задача, которую я поставил себе - правильно и понятно для детей задать вопрос об умножении. после нескольких экспериментов, выкристаллизовался вопрос "в каком числе это число содержится точно столько-то раз?". на него дети отвечают также быстро и точно, как на первый. проверю также и вариант "в каком наименьшем числе это число содержится столько-то раз?" - это по смыслу ближе к оценке
в соответствии с книгой "The Number Sense", которая и натолкнула меня на эти мысли, я полагаю, что заложенное природой чувство оценки небольших количеств (именно количеств-физическая величина, а не абстрактное число) применяется для ответа на оба вопроса через разбиение числа на части и оценки количества частей.
возможно, что у детей стимул, запускающий автоматизмы оценки более узок, чем у взрослых, которые могут активизировать его по смыслу (о чем неоднократно говорил nan)
эти результаты ошеломляют и меня, и родителей. дело за тем, чтобы обдумать развитие этой методологии с арифметики на геометрию и, если это удастся и это, очевидно надо менять способ преподавания математики.
интересно также, что когда я выкладываю перед ребенком, например, группу из 3 палочек и группу из 6 палочек и задаю вопрос "сколько раз это содержится в этом?", ребенок начинает считать число сочетаний из 6 по 3 и, конечно, запутывается, поскольку трудно различить одинаковые палочки. возможно, что у детей существуют не только автоматизмы оценки количеств, но и автоматизмы подсчета числа подгрупп. надо как-то это проверить